数学问题解答

2021年3月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

2591(费—哈不等式的隔离): 若a,b,c,△分别为△ABC的三边长及面积,则有

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)

证明首先证明链中第一个不等式.注意到

∑a(b+c-a)=2∑bc-∑(b2+c2-a2)

=2∑bc-∑2bccosA

故链中第一个不等式成立.

链中第二个不等式与熟知的三角不等式

故知链中第二个不等式也成立.至此命题获证.

2592如图，D为△ABC中AB边的中点，ω1和ω2分别为△ACD和△BCD的外接圆，ω1在点A处的切线交ω2于点E和F，ω2在点B处的切线交ω1于点G和H，证明：AC·EF=BC·GH.

(河南辉县一中 贺基军 453600)

证明如图，设直线EC与圆ω1的另一交点为G′，直线FC与圆ω1的另一交点为H′.

在圆ω1上，D，G′，H′三点与D，G，H三点都是顺时针排列顺序.

连接G′A，G′D，EB，ED.

根据弦切角的性质得

∠AG′D=∠DAE=∠BAE，

又因∠G′AD=∠G′CD=∠DBE=∠ABE，

根据上式及题设AD=BD得

又因∠G′AB=∠G′AD=∠DBE，

故△G′AB∽△DBE，从而有∠DEB=∠DBG′，

由此可知直线BG′与圆ω2相切于点B.

同理，直线BH′与圆ω2也相切于点B.

因圆ω2在点B处仅有一条切线BG(BH)，故直线BG′，BH′与直线BG(BH)为同一直线，

因此G′，H′两点依次重合于G，H两点.

设圆ω1的半径为R，由正弦定理得

因 sin∠ADC=sin∠BDC，

sin∠GCH=sin∠ECF，

(江苏省常熟市中学 查正开 215500)

设an的个位数为xn，bn的个位数为yn，anbn的个位数为gn，则

由a1=1,b1=1得x1=1,y1=1,g1=1，

反复运用递推关系(2)立得

x2=3,y2=2,g2=6；x3=7,y3=5,g3=5；

x4=7,y4=2,g4=4；x5=1,y5=9,g5=9；

x6=9,y6=0,g6=0；x7=9,y7=9,g7=1；

x8=7,y8=8,g8=6；x9=3,y9=5,g9=5；

x10=3,y10=8,g10=4；x11=9,y11=1,g11=9；

x12=1,y12=0,g12=0；x13=1,y13=1,g13=1.

由此得个位数呈现周期性，其周期T=12，因此g2020=g4=4，

所以ab的个位数字为4.

2594已知⊙W1是△ABC的外接圆(如图)，AB>AC，∠BAC的平分线AT，在AT上取一点P(△ABC的内部)，点P在BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，点M为弧BAC的中点，过D、E、F三点的⊙W2交BC于点D、K，KS⊥EF于点S，射线AS交⊙W1于点N．求证：N、K、M三点共线．

(江西省高安市石脑二中 王典辉 330818)

证明设MK交⊙W1点N1．

过点N1作RQ∥FE交AB于点R，

交AC的延长线于点Q，

联结BN1、BP、BS、FD、SC、EK、CP、CN1，

因为B、D、P、F四点共圆，

故∠BPF=∠BDF．

又D、K、E、F四点共圆，

故∠BDF=∠KEF=∠KES，

所以∠BPF=∠KES，

有Rt△BPF∽Rt△KES,

有ES·BF=KS·PF, ①

同理，有Rt△FSK∽Rt△PEC，

有FS·CE=KS·PE;②

因为点P是∠BAC的平分线上的点，

PF⊥AB、PE⊥AC，

知PF=PE，由式①和②得

因为∠AFE=∠AEF，得∠BFS=∠CES．

结合式③，可得△BFS∽△CES，

因为KS⊥EF，知∠BSK=∠CSK，

由三角形内角平分线性质定理，得

因RQ∥FE，AF=AE，

则AR=AQ，∠ARN1=∠AQN1．

又因为A、B、N1、C四点共圆，

有∠RBN1=∠ABN1=∠QCN1

由于M为弧BAC的中点，

知N1K平分∠BN1C，

所以N1、N重合，

故N、K、M共线．

2595已知正数a，b，c满足a+b+c=ab+bc+ca，求证：

(a2+a+1)(b2+b+1)(c2+c+1)

≥3(a+b+c)2.

(河南省南阳师范学院软件学院 李居之 孙文雪473061)

证明设待证不等式的左右之差为M，

由条件a+b+c=ab+bc+ca两边平方可得

a2b2+b2c2+c2a2

=(a+b+c)2-2abc(a+b+c)，

所以

M=a2b2c2+abc(ab+bc+ca)+abc(a+b+c)+(a2b2+b2c2+c2a2)+(a2b+b2c+c2a+ab2+bc2+ca2+abc)+a+b+c+1-2(a2+b2+c2)-5(ab+bc+ca)=a2b2c2+2abc(a+b+c)+(a2b2+b2c2+c2a2)+(a+b+c)(ab+bc+ca)+1-2(a+b+c)2-2abc

=a2b2c2+2abc(a+b+c)+(a2b2+b2c2+c2a2)+1-(a+b+c)2-2abc

=a2b2c2+2abc(a+b+c)+(a+b+c)2-2abc(a+b+c)+1-(a+b+c)2-2abc

=a2b2c2-2abc+1

=(abc-1)2≥0.

从而原不等式成立，等号成立的条件是abc=1.

2021年4月号问题

(来稿请注明出处——编者)

(华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 彭翕成 430079 )

2597证明2103-23能被1000整除.

(江西省共青城市国科共青城实验学校 姜坤崇 332020)

2598如图，已知在△ABC中AC+BC=3AB，G、I分别是△ABC的重心、内心，求证：GI⊥AB.

(江苏省无锡市第一中学李广修214031)

2599设ai(i=1,2，…，n)是正实数，n≥3,求证：

(四川成都金牛西林巷18号晨曦数学工作室 宿晓阳 610031)

2600△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC延长线上的点，F,G分别是CD,AC上的点，且满足DF=3FC,GC=2AG.求证：BD=2CE，DE⊥EA，EF⊥DG这三个条件，任意已知两个，可得第三个.

(山西省临县一中 李有贵 033200)