基于高考试题综合难度模型的比较研究——以全国数学高考Ⅰ卷、新高考Ⅰ卷为例

刘 静 周思波

(四川师范大学数学科学学院 610068)

1 问题提出

2013年，教育部启动了普通高中课程修订工作，深入总结了本世纪以来我国高中课改的宝贵经验，于2018年印发了《普通高中数学课程标准(2017年版)》，指导新一轮课程改革的实践.新课标要求高考贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，坚持素养导向、能力为重的命题原则，在评价学生学业质量与课程内容的同时注重对学生数学学科核心素养的考查，落实立德树人根本任务，体现高考数学的科学选拔和育人导向方面的作用.最受师生关注的莫过于新高考提倡不分文理科，所有考生使用同一张试卷，试题的内容、形式和水平都将发生明显的改变.为了使高考试题具有精确的区分度，教育部考试中心的任子朝、陈昂等人(2019)开发了多选题、开放题等新型问题，命制了新题型测试卷，在浙江、山东、广东进行了测试，对新题型测试卷的题型质量、题型结构进行了系统分析，对新高考试题的命制进行了实证分析和理论探索[1].

2020年高考是新课标颁布以来，第一次启动不分文理科的新高考方式.教育部考试中心指出新高考数学坚持改革创新，全面贯彻高考评价体系的要求，更新评价理念，落实立德树人根本任务，在考试内容改革、题型创新、试卷结构改革以及科学调控难度等方面进行了积极探索[2].其中明显的题型结构变化是增加了多选题与结构不良试题，新题型的引入，为不同层次的学生提供了发挥空间.2021年将有8个省实行高考综合改革，使用新高考卷.在此背景下，有必要探究新高考卷的题型变化情况以及与传统高考数学试题的综合难度差异.但从试卷的表面特征判断难度变化只能得到浅表的结论，想要了解本质变化需要借助科学的工具进行深层次的分析.

武小鹏(2018)对鲍建生的习题难度模型进行了改编，在原有的背景、知识点数量、运算水平、推理、认知水平5维度模型上增加了思维方向、是否含参2个维度，形成高考试题的难度的评价模型，更符合标准化考试的评价，并用该模型对中韩高考试题进行了比较[3].李保臻,石烨(2020)认为高考数学解答题一般涉及到几个子问题，子问题之间是否有关联会影响试卷的综合难度，故而在武小鹏高考试题综合难度模型的基础上增加“梯度”因素，具体分为“问题互不干扰”、“问题间有联系”两个水平[4]，并用此模型对大陆与台湾地区的数学高考试题难度进行比较分析.张玉环,周侠(2020)也用武小鹏的高考试题综合难度模型对2015—2019中国与法国的高考试题展开了比较研究，作者结合中国新高考改革的要求对高考命题提出了几点建议[5].

由此可见，近年来对高考试题试题难度的关注与日俱增，研究工具也趋于完善.试题难度是反映试题质量的主要指标，对高考试题难度进行分析有助于试题命制者准确把握高考走向，对广大一线数学教师的教学也起着重要的调节作用.本研究拟对2020年数学高考全国Ⅰ卷文科、理科分卷和新高考Ⅰ卷在高考试题综合难度模型下进行定量分析与定性探索，为数学试题命制者和一线教师提供一定的实证依据.

2 研究对象与研究工具

2.1 研究对象

2020年高考由教育部考试中心命制了8套数学试卷，包括文理科全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷，以及不分文理科供山东使用的新高考Ⅰ卷、供海南使用的新高考Ⅱ卷.其中全国Ⅰ卷适用于河南、河北、山西、江西、湖北、湖南、广东、安徽、福建9个省份，考虑到全国Ⅰ卷的使用范围最广，本研究选取全国Ⅰ卷文、理科分卷与新高考Ⅰ卷作为研究对象.

从题型与题量上看，2020年全国Ⅰ卷在2019年的基础上继承与发展，文理科试卷一共23道题目，1-12题为选择题，13-16题为填空题，17-21题为必做解答题，22、23题为选考题.新高考Ⅰ卷共22道题，其中1-8题为单选题，9-12题为多选题，13-16题为填空题，17-22题解答题.

表1 试卷的题量与分值对比

在题型方面，新高考增设了多选题和结构不良两种题型.数学多选型试题具有无需解题过程、考查容量大、解题思路广、数学思想丰富、对学生进行多层次区分的特点.因此，多选题对能力的考查更加深入，要求学生具备完整、细致、全面的思维品质.例如新高考Ⅰ卷第9题考查圆锥曲线和直线的基本概念与性质，所考查的知识点广泛，学生若仅掌握了其中一种圆锥曲线的概念与基本性质，部分选对只能得3分，若对直线与圆锥曲线有较为全面的认识选对所有选项则可得5分.如此设置提高了试卷对不同层次学生的区分度.

结构良好试题是指题目的初始状态、目标状态和算子都是完整的，结构不良试题则缺少三个要素中的至少一个.学生在传统高考中遇到的都是结构良好试题，条件不多不少、问题目标明确、有规范的解题思路和方法.但现实生活中遇到的问题大多是结构不良问题，在高考中增设具有开放性的结构不良问题，有助于提升学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，符合新高考从能力立意到素养导向的转化[6].新高考Ⅰ卷第17题解三角形是结构不良试题，题目属于条件缺失的问题，要求学生从额外给定的三个条件中任选一条将题目结构补充完整再作解答.不同的选择导致解题策略的不同，实现了对学生知识与能力的掌握从多方面进行考查.

2.2 研究工具

本研究主要参考武小鹏在鲍建生难度模型基础上改进的高考试题综合难度模型.模型共提出了7个难度因素：背景因素、是否含参、运算水平、推理能力、知识含量、思维方向、认知水平.各因素的水平划分见表2.

表2 基于高考试题的综合难度系数模型结构与内涵

续表

根据难度模型框架编码所得的数据可带入公式①计算各因素的难度系数di(i=1,2,…,7)：

①

2.3 编码方法

按照表2中各难度因素不同水平内涵描述，对全国高考Ⅰ卷文、理科和新高考Ⅰ卷进行编码.编码示例如下：

例1(全国高考Ⅰ卷文理科第3题)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上高与地面正方形的边长的比值为( ).

该题编码为生活背景A2、无参数B1(题目涉及的计算都是静态的数值运算，没有涉及到数值的变化)、简单符号运算C3(需要设出未知数并解方程，涉及到对于符号的四则运算)、D1简单推理(推理只需要1步：根据提示和示意图列出各边长之间的等量关系，化简计算即可得出结果)、单个知识点E1(立体几何的结构特征)、顺向思维F1(按照现有的知识安排顺序，顺向直接解决问题)、运用水平G2(在立体几何基本特征的基础上通过不同生活情景做了构造，属于知识的运用).

例2(新高考Ⅰ卷第9题) 已知曲线C:mx2+ny2=1.( )

A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上;

D.若m=0，n>0，则C是两条直线.

该题编码为A1无背景(直接以纯数学知识为背景)、B2有参数(含有参数m和n)、C3简单符号运算(涉及参数的简单运算)、D1简单推理(直接由概念即可推理出结果)、E3大于等于三个知识点(该题考查圆锥曲线与直线的基本性质，包含椭圆、双曲线、直线的概念与基本性质)、F1顺向思维(根据题意和圆锥曲线性质，顺向解决问题)、G2运用水平(对圆锥曲线相关概念正确理解、并能对渐近线方程的求解方法进行运用).

对全国高考Ⅰ卷文、理科和新高考Ⅰ卷试题编码后的原始数据进行汇总统计，并计算各分维度难度系数后得到下表:

表3 全国高考Ⅰ卷文、理科和新高考Ⅰ卷试题综合统计

3 研究过程与结果

下面对三套试卷从难度模型的7个方面分别进行比较分析，最后对三者的综合难度系数作出比较.其中折线图的横轴表示每个难度因素的不同水平，纵轴表示三套试卷在不同水平上的占比.

3.1 背景因素

图1 背景因素上的折线对比图

关于三套试卷背景因素的统计图对比如图1所示.由图1看出全国Ⅰ卷文理科的试题背景设置上是一致的，23 道题目中只有3道以生活背景展开，其他都以纯数学背景的形式直接进行考查.新高考Ⅰ卷则明显更注重试题背景的设置，22道题中包含5道生活背景题目和2道科学背景题目，有背景题目的占比从传统高考的13.04%上升为新高考中的31.82%.

3.2 有无参数

图2 参数因素上的折线对比图

图2展示了三套试卷题目中有无参数的情况.可以看到新高考Ⅰ卷与全国高考Ⅰ卷文科的情况比较接近，不含参数的题目数量略高于含参题量.但总体而言，新高考Ⅰ卷不含参数的题目多于全国高考Ⅰ卷文理科，含参数的题目比二者少.

3.3 运算水平

图3 运算水平上的折线对比图

由图3可知全国Ⅰ卷理科在符号运算的要求比文科要求更高，新高考Ⅰ卷在简单数值运算要求上居中，在复杂数值与简单符号运算上要求较低，处于复杂符号运算水平的题目比全国高考Ⅰ卷都多.事实上，三套试卷的选择压轴题12题的计算量可以在一定程度上反映这样的差异.

3.4 推理水平

图4 推理水平上的折线对比图

由图4可以看出新高考Ⅰ卷与全国高考Ⅰ卷在推理水平上有较大的差异.全国高考Ⅰ卷简单推理的题目数量高达60%、65%，相反的，新高考Ⅰ卷简单推理的题量低于50%，复杂推理的题量高于50%.说明新高考卷更注重对学生推理能力的考查.

3.5 知识含量

图5 知识含量上的折线对比图

图5展示了三套试卷题目所考知识点数量的情况，可以看出三者存在明显的差异.首先，全国Ⅰ卷文理科仅考查一个知识点的题量相当，新高考Ⅰ卷则比二者少；另外，新高考Ⅰ卷考查两个知识点的题量处于全国高考Ⅰ卷文理科之间；最后，新高考Ⅰ卷、全国Ⅰ卷文理科卷对三个及以上知识点进行考查的题量明显成递增的趋势：全国Ⅰ卷文科<全国Ⅰ卷理科<新高考Ⅰ卷.

3.6 思维方向

图6 思维方向上的折线对比图

由图6可知新高考相对传统高考的又一区别是思维方向的侧重不同.传统高考略重视顺向思维，全国高考Ⅰ卷文理科考查顺向思维的题量占比分别为65%、56%，而新高考对逆向思维、发散思维的重视程度有所增加，逆向思维题目数量占比为50%.

3.7 认知水平

图7 认知水平上的折线对比图

试卷重点考查的认知水平也是新高考与传统高考的一大差异.全国高考Ⅰ卷文理科在认知水平的三个层次上无差异，而新高考Ⅰ卷对理解和运用层次的考查明显低于全国高考Ⅰ卷，分析层次题量则多于全国高考Ⅰ卷.

3.8 综合难度

图8 三套试卷综合难度系数雷达图

通过绘制三套试卷在难度模型上的雷达图可以更清晰地看到：(1)传统高考与新高考考查侧重点的整体走向相近；(2)存在明显差异的是背景因素、知识含量、认知水平、推理水平四个维度；(3)新高考对含参题型的考查有所减弱，对新颖背景、高层次认知、知识点综合性、逻辑推理提出了更高的要求.根据试卷在各因素上的加权平均值和各因素的权重，将相应的值带入难度系数计算公式得到：全国Ⅰ卷理科的难度系数D1=11.55，全国Ⅰ卷文科的难度系数D2=11.30，新高考Ⅰ卷的难度系数D3=11.93.三者的难度由高到低排序为：新高考Ⅰ卷>全国Ⅰ卷理科>全国Ⅰ卷文科.

4 研究结论与建议

4.1 研究结论

(1)新高考与传统高考试题的“背景因素”有明显差异，新高考将重视问题情境的设置

新高考Ⅰ卷共有7道题分别在生活情境、数学文化、社会时事、科学背景进行对数学知识的考察，有背景的试题占比为31.82%，这在高考史上创下了一个新高，说明新高考将重视问题情境的设置.难度模型中的“背景”即“情境”，《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出，情境主要是指现实情境、数学情境、科学情境，新课标中共出现“情境”一词158次，而实验版课标中仅出现了28次，新课标强调“以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实”.在新课改提倡“以立德树人作为根本任务，发展素质教育”的当下，培养学生数学核心素养不能仅仅靠纯数学情境完成，国外研究者Katja Lengnik指出数学核心素养的获取应通过特定的情境潜移默化地进行[8].我国学者常磊(2017)也论述了情境与六大数学核心素养的密切关系，充分肯定了问题情境在培养学生是数学核心素养上的作用[9].

与纯数学背景题目不同的是，考生在面对生活或科学背景题目时，需要快速提取情境中的关键信息，将题干信息与自身认知结构中的知识与方法联系起来.在日常教学中，教师应引领学生在情境中抽象数学概念、积累数学活动经验，培养学生在较为复杂的情境中把握事物之间的联系、理清事物发展脉络的能力，潜移默化地提高学生在现实情境中用数学的眼光发现、提出、分析、解决问题的素养.

(2)新高考试题的知识含量要明显高于传统高考，新题型重视知识的综合运用

新高考Ⅰ卷试题中单独考查一个知识点的题量较传统高考有所降低，表明新高考试题的综合性更高，这与新高考增设了4道多选题型和1道开放题有一定关系.多选题的设置让学生拿分变得容易，但要拿全分则要求学生不仅对知识点的联系和区别有准确的把握，思考和运算的速度也需要提高.因为多个选项中往往涉及多个知识点，对题目所包含的定义之间的准确理解和融会贯通是多选题的考查重点.结构不良题型的开设也是同样的道理，不同的选择意味着不同的知识点，学生需要对题目所涉及的知识点有正确且全面的把握才能在开放题中拿到满分.

从立意上看，新题型是对四基(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)和四能(发现问题、提出问题、分析问题、解决问题)的良好考查形式，它强调对多个条件或结论之间的知识内在联系和方法的互通性的把握，能体现学生思维的灵活性和深刻性.新题型对考查学生数学核心素养能起到不可替代的作用，实现了高考功能从能力立意到素养导向的转化.鉴于学生对新题型考查理念的理解还不够，教学中教师应多为学生提供具有探究性的思考空间，引导学生主动创新，达到拓展学生思维深度与广度的目的.

(3)新高考对学生逻辑推理能力要求加强

逻辑推理是从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，包括从特殊到一般的归纳、类比推理，以及由一般到特殊的演绎推理方式，其中数学运算也是一种演绎推理.数学是从对现实世界中的数量关系与空间形态进行抽象的过程中发展起来，并在符号运算、形式推理的过程中变得更加严谨.逻辑推理是获得数学结论、建构数学体系的主要方式，它保证了数学的严谨性，也是人们在进行数学活动时不可缺少的基本品质.高考要求学生能够理解相关概念、命题、定理之间的逻辑关系，并能在具体的情境中结合题目条件探寻解决问题的思路.

由图4可以看到，传统高考试卷的简单推理试题占比较多，而新高考Ⅰ卷中复杂推理题量占55%，这与知识点的综合考查以及复杂情境的设置有关.例如新高考Ⅰ卷选择题第4题以中国古代的日晷为背景，考查线面夹角，涉及平面平行、线面垂直的性质定理.需多次运用演绎推理，结合球体、平面几何知识计算出结果，该题属于中档题，推理过程较复杂.选择题第6题以科学情境新冠状肺炎的传染模型为背景，用大量的文字介绍了流行病传染人数满足的指数函数模型特征，该题的求解需要结合题目条件与已有的知识，结合指数式化对数式的运算法则，边推理边计算.

4.2 建议

随着高中数学课程改革的推进，高考改革也得到了深化.《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》指出：高考应依据高校人才选拔要求和国家课程标准，科学设计命题内容，增强基础性、综合性，着重考查学生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力[10].2020年数学新高考在测评学生在现实情境中分析解决问题、综合运用知识解决问题的能力上较为突出的成果，为促进传统高考向着靠近新高考结构、难度要求的方向改革，文章基于研究结论，提出以下几点建议：

(1)为更好地发挥情境在引导素质教育、促进学生全面发展中的作用，激发师生重视社会现实问题、增强数学文化自信，在命题中，应适当结合现实情境与科学情境对知识点进行考查.根据《普通高中数学课程标准(2017年版)》，试题情境可分为熟悉的、关联的、综合的三类，就新高考Ⅰ卷而言，新高考的情境题型更倾向于对具有关联性的知识点进行考察，具有较强的综合性.比如新高考Ⅰ卷第6题在新冠肺炎疫情的背景下考察学生对指数函数模型的掌握情况，题目还涉及指数式化对数式等符号运算，相比于传统高考试题单一、熟悉的情境，新高考试题的命制在综合性上有所增加.

(2)鉴于开放性问题在考察学生的思维过程、实践能力和创新意识的优越性，命题时，应包含一定数量的开放性问题和探究性问题.根据新课标要求，开放性问题情境的命制应自然、合理.在评分的过程中应注意公平性和阅卷的可操作性：达到测试的基本要求即可视为满意，对于有所拓展或创新的情况可以适当加分.

(3)命题还要注意提高试卷的区分功能.2013年11月发布的《中共中央关于全面深化改革若干重大问题的决定》指出高考改革的方向，提出“探索全国统考减少科目、不分文理科、外语等科目社会化考试一年多考”[11].改革对数学科目试卷的区分功能提出了更高的要求，据教育部考试中心任子朝等人关于高考试题区分功能的研究结果：要提高试卷的区分度，首先应该提高试卷考查的目的性，其次，适中的试题难度可以保障试卷的区分度[12].