实施教育数学的“五化”策略*

赵思林 汪 洋 王 佩 尤 娜

(内江师范学院数学与信息科学学院 641110;2.成都西藏中学 610041)

使数学学习变得更加容易是数学教师追求的目标，也是“教育数学”产生的初心．张景中院士利用单位菱形的面积定义正弦，通过面积计算获得正弦定理和正弦和角公式；利用向量、复数或坐标的表达方式，轻松学习解析几何、复数、向量；利用中学知识，不用极限概念也可以学习微积分等．张院士的实践表明，可以用初等方式(方法)学习高等数学，可以将数学变得有趣、易懂，数学变得更容易是可行的．不少学者虽对教育数学作了一些研究，但专门针对教育数学的实施的研究比较少．因此，研究教育数学的实现路径是有益的．

1 教育数学的意义

1989年张景中院士出版的著作《从数学教育到教育数学》中提出了“教育数学”的观点．教育数学就是为教育而改造数学，让学生学习数学变得更容易[1]．教育数学被认为是降低数学学习难度、提高数学学习效率的可行方案．教育数学的提出，有助于数学教育理论的发展、提高数学教育工作者的学术素养、推动数学教育学学科的发展[2]．2004年中国高等教育学会专门成立了教育数学专业委员会．2009年科学出版社推出了一套丛书《走进教育数学》．张奠宙认为，数学具有三种形态：原始形态、学术形态和教育形态，教育数学是教育形态的数学[3]．对于数学教师而言，应着力把原始形态的数学和学术形态的数学改造为教育形态的数学．更具体地说，教师应把数学家发现的数学改造为学生易学易懂的数学．对此，张景中院士提出了教育数学的三条原理：在学生头脑里找概念、从概念里产生方法、方法要形成模式[4]．学生头脑里的东西其实就是经验，数学模式就是数学知识结构(知识体系)．这三条原理可理解为：从学生已有经验中抽象概括出数学原理(数学原理是指数学概念和数学命题)，从数学原理中提炼数学思想方法，从数学思想方法中形成数学模式．这三条原理深刻揭示了数学知识的建构规则和数学学习的认知逻辑：(数学)经验—数学原理—数学思想方法—数学模式．

学生不喜欢数学、害怕数学、痛恨数学甚至仇恨数学，是世界数学教育界的普遍现象．张奠宙认为，教育数学是一种使学生容易理解的教育形态的数学[5]．教育数学有利于降低学习数学的难度，增加学生学习数学的信心，让更多学生对学习数学有成功体验和成就感．因此，教育数学对学生来说无疑是重要的．

教育数学有助于数学教师对数学家发现的数学进行改造或再创造．张雄[6]、沈文选[7]认为，教育数学是一个再创造性的数学学科．张雄[6]认为，教育数学注重科学逻辑与认知心理的结合，是在学术性数学基础上的再创造、再提高的学科．沈文选[8]指出，教育数学根据已有数学知识和课本在教育上的适合性，选择哪些内容需要改造，哪种呈现方式最适合教育，哪种反映方法最优．教育数学有助于教师对数学的深刻认识和理解，让师生都获得教学的成功体验，并促使教师的专业发展．教师通过对学术形态的数学的钻研、改造、创新得到教育数学，可以降低学生学习数学的难度．教育数学在激发学生学习兴趣的同时提升师生的交互水平，从而提高教师教学成功的概率．教学数学形式的改造、发展、完善的过程就是数学教师专业化发展的过程，因此，教师创造教育数学并实施教育数学对促进教师专业化发展有益．

2 教育数学实施的“五化”策略

数学具有高度的抽象性、严谨的逻辑性、广泛的应用性．这三大特点决定了，数学教学困难，数学学习更困难．教育数学的实现路径已有不少研究成果．如张景中对于数学知识的结构和表现方法提出以下三条标准[9]：逻辑结构尽可能简单，概念引入要平易直观，要建立有力而通用的解题工具．张院士高度概括了数学学习的三大难点：概念理解难，逻辑推理难，问题解决难．他提出的这三条标准意蕴深刻，内涵丰富，极富概括性和启发性．逻辑作为数学的生命，对学生学习来说既重要又困难，对此有三种应对策略：一是教材编写者或教师应重视把复杂的知识逻辑结构作简化和优化处理，尽力让知识逻辑与认知逻辑实现双适应、教师与学生实现双适应；二是采用扩大公理体系的方法，以降低教学和学习的难度；三是在学生初学某个命题的证明时，对过程较长、难度较大、理解困难的证明作分层次要求和分阶段要求，不必一步到位，可以分步到位，如让一些数学基础比较差的学生在初次接触繁难证明时仅作理解证明思路的要求，过一段时间再作更多、更高的学习要求．概念作为数学逻辑思维的细胞，是学生学习的重点和难点，对此有三种应对策略：一是重视讲概念的背景，包括讲概念产生的精彩故事，以激发学习动机和学习兴趣；二是重视各种数学直观，包括图表直观、教(学)具直观、技术直观、语言直观、模式直观、案例直观、经验直观等，通过数学直观降低教学难度是教育数学的普适做法；三是善于运用典型案例(包括正例和反例)对概念理解的强化作用，包括正面的强化作用和反面的强化作用．“通用的解题工具”一般可理解为数学解题中的通性通法，数学中的通性通法既包括像配方法、换元法、待定系数法、反证法、分析法、数学归纳法等具体方法，又包括更为普适的公理化、数形结合、化归与转化、分类与整合、数学模型等数学思想．“整合创新”与“返璞归真”是教育数学自身成长的两手抓[8]．“返璞归真优化数学是走进教育数学研究的主要途径”[8]．怎样做到“返璞归真优化”？一是需要用数学的眼光、数学的理性思维、数学建模思想方法等去看待和处理问题；二是需要以数学史(或数学文化)的视角去认识和洞察数学的本质；三是需要以本原问题溯源展现数学方法的本质[8]．教育数学以攻克技术难点、寻找课程焦点为方法达到实现简化数学的目的[10]．

由于数学教学包括数学知识的产生与形成的教与学，数学知识的理解与应用(迁移)的教与学，数学知识的发现的教与学，因此教育数学应在数学知识的产生、形成、理解、应用(迁移)、发现等环节上发力与落实，即教育数学的实施有背景化、探究化、经验化、迁移化、直觉化等“五化”策略．

2.1 背景化——让背景成为产生数学知识的起点

数学知识的产生一般都有特定的背景，包括数学文化背景、生活实践背景、学科发展背景等．数学知识产生的背景对学生内在动机的激发、弄清知识的来龙去脉是有益的．讲授数学知识产生的背景一般离不开数学史和数学家的故事，应从数学史料和数学家的故事中发掘育人素材和树人素材．李文林认为，通过数学史的介绍，有利于学生加深对数学概念、方法和思想的理解；有利于学生体会活的数学创造过程，培养学生的创造性思维能力；有利于学生了解数学的应用价值和文化价值，明确学习数学的目的，增强学习数学的动力；有利于学生树立科学品质，培养良好的科学精神[11]．数学文化可以改善知识认识，激活学习情感，激发数学兴趣[12]．

把数学教活、学活、用活是教育数学的本质要求．教育数学的实质是教“活的数学”、学“活的数学”．活的数学由无数的数学故事构成，故事是先进的数学教育中不可缺少的养料和调味剂[13]．数学故事是激发学生学习动机的最佳方式之一．数学故事是连接数学与教育的捷径．提倡数学教师讲知识产生的背景，究其本质是讲数学中精彩的故事．“知识的背景化”是学生弄清知识来龙去脉的基础，也是数学育人的重要途径．由于中国的高考、中考长期不考数学文化方面的知识，加之大多数数学教师在大学期间对数学史从未学过或仅选修过，导致这些教师关于数学史或数学文化的知识贫乏，进而限制了这些教师把数学当成故事来讲的能力，这也可能是很多数学教师不能讲知识产生的背景的原因之一．对此，数学教师应认真学习数学史，深刻领会数学文化的激趣价值和育人价值．把数学史和数学文化中的生动故事与数学知识产生的背景紧密联系起来，是教育数学的基本要求．

此外，数学知识的高等数学背景、其他科学背景、生活实践背景等，也需注意．

2.2 探究化——让探究贯穿数学知识生长的过程

数学探究包括两个过程，即“探”的过程和“究”的过程．更具体地说，“探”是弄清是什么的过程，“究”是弄清为什么的过程[14]．数学探究作为2017年版高中数学新课程的必修内容，应让数学探究贯穿在数学知识的发现、生长、完善、应用和拓展的全过程之中．

从数学探究的内容来看，数学探究的一个重要内容是，弄清数学对象之间的逻辑关系、发现数学对象之间的新关系(命题)．数学有一个显著特点，就是靠逻辑而生长．具体地说，数学中的每一个知识体系总是在一组不加定义的概念和一个公理体系的基础上靠逻辑演绎而生长出来．数学知识的生长与问题探究密切相关．数学知识的产生、生长、形成和完善并非一帆风顺，而是数学家们不断地在抽象与概括、尝试与探索、直觉与猜想、计算与演绎、建模与解模、证明与反驳等探究过程中逐步得到的．数学知识总是在探究中发现、生长和完善．也就是说，数学知识的生长过程就是数学家探究问题的过程，也就是数学家发现知识的过程．如果说数学教学应体现“过程与方法”目标，倒不如说数学教学应是师生在观察“问题”与“探究”的交互作用中发现知识、生长知识及完善知识．由此归结，数学教学应是“问题驱动”的教学，是“问题—探究”的教学，是发现知识的教学，是知识生长的教学，是知识完善的教学．在这里，“问题驱动”“问题探究”都只是教学的形式，知识的发现、生长和完善才是教学的实质．

从数学探究的方式来看，数学探究可以用古典方法即借助于纸和笔，也可用现代的数学实验方法即借助于数学软件．过去的数学家做探究主要借助于纸和笔，现在的数学探究除借助于纸和笔之外，也可借助数学软件(如几何画板)通过数学实验的方式来进行数学探究活动．数学实验或数学软件可实现数学探究的可视化，即让学生在数学探究问题的过程中可以通过“看”与“思”的方式来实现探究和发现知识．这样做既可增加学生学习数学的兴趣，又可降低学习数学的难度，还可以让学生主动去探究知识和发现知识．现在已有不少课堂实现了数学与现代信息技术的(深度)融合，让学生经历数学知识产生、生长和形成的过程，从而让学生更容易理解抽象的数学知识．

2.3 经验化——让经验成为理解数学知识的基础

数学学习是基于经验、激活经验、改造经验、创生经验的过程．学习的关键在于对知识的意义的理解，对知识的意义的理解的基本目的在于个体建立牢固的知识结构．奥苏伯尔认为，有意义的学习是把新知同化后纳入认知结构，进而内化为已有观念，扩建认知结构．具体地说，学习数学知识的过程是通过外在知识对已有知识经验进行改造重建，通过理解、消化、应用、掌握转变为自己的知识经验的过程．降低数学学习难度是教育数学的本质要求．由于同化学习比顺应学习的难度更低，并且同化学习是基于经验的学习，因此，最理想的教学是基于经验的教学．从而，学生积累丰富的知识经验是实现教育数学的前提．脑科学研究表明，人的大脑在感知、加工、存储信息(知识)时存在最简化倾向，据此原理推知，人的经验系统里面的东西一般是简单、特殊、具象、情境性的信息(知识)．因此，数学知识理解的心理机制一般是用简单理解复杂，用特殊理解一般，用具象理解抽象，用情境理解知识等．

(1)用简单理解复杂

数学的复杂性表现在数学知识的产生背景复杂，数学知识的生长和形成的过程复杂，数学问题的解决过程复杂，数学知识的认知加工复杂，数学知识的记忆复杂，数学知识的应用复杂等方面．把复杂知识(问题)简单化，体现了化归与转化思想，如在解方程(组)中把高次方程最终转化为一次方程、把多元方程最终转化为一元方程，把立体几何问题转化为平面几何问题，这些都体现了复杂问题简单化的思想．

(2)用特殊理解一般

数学是特殊与一般的对立统一体．一般规律由特殊情况概括、归纳而来，数学知识蕴涵于特殊事例之中，特殊情况是发现一般问题的解题思路的指南针．正如波利亚所说：“注意对特殊情况的观察，能够导致一般性的数学结果．”数学知识的建构一般遵循“特殊—一般—特殊”的认识过程，即从特殊情况(案例)出发，探索并发现一般性结论(知识)，再把具有一般性的知识用于特殊案例(具体情境)的解决．因此，数学知识源于特殊、用于特殊．对数学知识的理解应立足于特殊，对数学知识的记忆往往都依靠特殊．特殊化是数学问题解决最基本的思考方法．遵循由特殊到一般的认识规律，运用特殊化思想解答某些数学题更直观、简洁、形象、容易．在解决问题时，常用“特值”法，这里的“特值”是特殊数值、特殊函数、特殊数列、特殊方程、特殊位置、特殊图形(点，线，面，体)等的简称．如在解答选择题和填空题时，最实在的思考方法是采用特值法，这样可将问题变得简单、直观，直击问题本质，实现多想少算．又如，在处理综合性的解答题时，可以把一般性问题“退”到特殊情形，从特殊情形着手就容易发现解题思路甚至发现问题的结论．

(3)用具象理解抽象

概念是数学的基础，符号是数学的生命；“运算是数学的童子功(章建跃)”，“推理是数学的命根子(伍鸿熙)”．严谨的数学概念、抽象的数学符号、繁琐的字母运算等，无一不体现数学高度的抽象性．数学高度的抽象性是学生学习数学困难的主要原因之一，其消解策略如下：①用“具象”破解“抽象”；②具体的形象思维与抽象的逻辑思维相结合，如“数”与“形”的结合；③数学概念案例化，即用典型、简单的案例去理解概念；④数学符号意义化，即弄清数学符号的数学意义，特别是几何意义；⑤字母运算数字化，即用数值运算去理解抽象的字母运算；⑥逻辑推理“导图”化，即用“思维导图”去标注和理解逻辑推理中每一个三段论推理的过程；⑦数学知识技术化，即用数学软件展示数学知识的生长和形成的过程；⑧教学语言的形象化、生动化、幽默化．

(4)用情境理解知识

2.4 迁移化——让迁移作为判断掌握知识的标准

“为迁移而学”是数学学习的基本任务．迁移是心理学的一个概念，其原意是一种学习对另一种学习产生的影响．对数学学习而言，有内化式迁移和输出式迁移之分，外在知识内化为个体的经验这是内化式迁移，用个体的知识经验去解决问题就是数学知识的应用，这是输出式迁移，也简称为迁移．学会知识的应用(迁移)是掌握知识的基本标志．理解是迁移的基础，但仅理解知识而不会迁移知识就是常说的“懂而不会”．学生学习某个新知识时，不能对知识的应用作过高的要求．也就是说，学生在弄懂一个初学的新知识之后，不应把综合性太强的题目或太难的题目作为课堂练习题，因为学生做综合性太强的题目或太难的题目很可能导致输出式迁移的失败，输出式迁移的失败会导致学生产生负面的情感体验，从而学生难以产生成功体验．输出式迁移的成功体验是数学教学成功的根本标志．用大白话来说，就是“会做题”是判断学生学习成功的根本标志，也是判断教师教学成功的根本标志．在数学课堂上，知识的应用(迁移)主要对应于例题和课堂练习这两个教学环节．对数学新课教学而言，不管是例题还是课堂练习题，都应控制题目的难度．当下很多数学教师为了与高(中)考接轨，总想一步到位，总是喜欢在上新课时选取一些高(中)考题作为例题和课堂练习题，其结果常常用一道难题直接就把(很多)学生“打蒙”或“打晕”，这就像一个小孩还不会“爬”就训练他走路一样，失败是必然的．分析其失败的原因主要有下面几点：(1)教师的新课教学总是想直接与高(中)考接轨，这样做是“为了接轨而接轨”，欲速而不达，其实是难以接轨的，这背后有深厚的功利思想在做主；(2)对教材中的“练习”、“习题”、“复习题”或“总复习题”的功能的认识不到位，“练习”主要作用是在新课知识和例题学完之后做“课堂练习”或教学及时反馈时用的，“习题”是供当天课外作业选用的，“复习题”是在一个单元或一章复习后布置课外作业选用的，可以看出，“练习”、“习题”、“复习题”主要分别是用于课堂、课外作业、复习后作业，其综合性越来越强、难度越来越高，题目的这种设计体现了认知逻辑，符合认知规律，当然有时也可挑选少量“习题”、“复习题”作为例题或课堂练习题，也可挑选个别高(中)考题作为例题或课堂练习题；(3)例题或课堂练习题的难度控制主要是凭经验或感觉；(4)让大量的劣质例题和重复练习充斥课堂，把数学思维活动演变成大量体力消耗的体力劳动，使学生成为“行为主义”的忠实实践者(执行者)；(5)过分重视实际应用问题甚至“应用至上”，脱离学生经验地去搞“数学建模”活动，会加大学习难度，加重学习负担．

2.5 直觉化——让直觉成为发现数学知识的帮手

著名数学家庞加莱有一句名言：“直觉用于发明，逻辑用于证明”．英国数学家伊思斯图尔特认为，数学在于直觉和严格巧妙地结合在一起．直觉是发现(发明)数学的心理机制．直觉是发现数学知识的基本方法．数学知识的发现依赖数学直觉，而直觉依赖于直观、经验、数感、美感、应急、惊奇或惊艳等．数学直觉是对所学的数学概念、定理、公式、结论等没有通过严格的演绎推理和逻辑思维活动就能产生直观感知的一种认识能力[15]．数学知识的发现(发明)源于数学直觉．数学直觉产生于无意识的思考，数学直觉源于对数学的观察力和洞察力．数学直觉既有先天的数感(对数学的感觉)，更需要后天的培养与训练．其培养策略有优化认知结构、创设直觉思维场情境、训练直觉思维方法、开发元直觉思维等；其训练方法有观察法、联想法、归纳法、类比法、猜想法、估算法等[16]．这些训练数学直觉的方法，本身就是一些发现数学问题、发现数学知识的常用方法．从发现数学知识的角度看，学习数学的过程就是找“数学的感觉(简称数感)”的过程．教师和学生要想发现(“再创造”)数学，既需要教师和学生对数学心生悟感并有所感悟，又需要教师和学生对发现(“再创造”)产生悟感并有所感悟，还需要培养发现(“再创造”)的勇气、发现(“再创造”)的眼光、发现(“再创造”)的思维、发现(“再创造”)的方法．由“知识源于问题”与“问题是数学的心脏”推知，发现(数学)问题很重要，但这正是中国数学教育的弱项．运用“直觉是发现数学问题的心理机制”这一原理，数学教学应然的做法是在问题提出、分析、探究、解决的教学中培养直觉，并利用直觉培养“四能”．需要注意的是，中小学学生发现数学知识很不容易，若随意拔高发现数学知识的要求，则会增加教学难度，也违背教育数学的初心．因此，中小学学生的知识发现主要采用“再创造”式发现，或通过运用直觉、培养直觉、提升直觉等方式间接地培养学生发现数学知识的能力．

3 结束语

教育数学是教师教好数学和学生学好数学的重要载体(教学内容)．教育数学是数学教师重要的核心素养．教育数学是消解数学知识逻辑与学生认知逻辑内在矛盾的根本方法，教育数学的有效实施需要教师对数学本质有较深理解，对学术型数学能够再加工和改造，对学生的学习逻辑和认知逻辑有深刻认识．教育数学的有效实施，需要教师树立终身学习理念，认真学习现代数学思想和教育心理科学，感悟教育数学之妙，敬畏教育数学之道，善于思考，大胆实验，精于总结和反思．