飞过 请留下痕迹——变式教学低效的原因及对策

王修汤

(江苏省南师大附中江宁分校 211102)

“天空没有留下翅膀的痕迹，但我已经飞过.”这句话出自印度诗人泰戈尔的《飞鸟集》.一种消极的理解认为：我们都在不断遇见随后错过，我们学会了麻木，天空依旧泛着淡然，我们却已不再重返. 近期听了一节高三复习题，课题是“与三角形面积有关的问题”，授课教师采用变式教学方式与学生互动，听课时觉得很精彩，但是从学生课堂反馈及后期测试的结果看，效果一般，笔者深感意外，有一种“飞过”却没留下任何痕迹的感觉. 现将教学过程展示如下.

1 飞过

1.1 基础训练及例题

教师先投影3道基础训练题：

2.在△ABC中，角A，B，C对应边为a，b，c，若a=3，b=5，c=7，则△ABC的面积为.

3.直角三角形的斜边长是2，则其面积最大值是.

教师授课时，1、2两题请学生分析一下思路，直接报出答案. 对于第3小题，教师分别提问四个学生，学生给出以下四种解法(设两直角边分别为a，b，面积为S).

图1

接下来教师投影两道例题.

(1)求角A的大小；(2)若a=2，b+c=4，求△ABC的面积.

例2在△ABC中，角A，B，C对应边为a，b，c，若a2+b2+2c2=8，求△ABC的面积最大值.

对于例1，学生做完后教师投影学生做法如下：

(1)由正弦定理得，

(2)因a=2，由(1)及余弦定理得

即4=(b+c)2-3bc，又b+c=4，故bc=4，

所以△ABC的面积为

1.2 变式教学

教完例1，教师开始变式教学。

教师：若将例1(2)中条件b+c=4去掉，可得如下变式.

师生共同合作，从化边、化角、化“形”上分别考虑，给出以下三种解法.

方法1(化边)由余弦定理得

即b2+c2=4+bc≥2bc，故bc≤4，

所以△ABC的面积

方法2(化角)由正弦定理得

图2

变式2在△ABC中，若BC=2，AB=2AC，则△ABC面积的最大值为.

教师已经来不及讲例2了，匆匆总结了求三角形面积的最值可以从边、从角、从“形”不同角度去考虑.

2 无痕

上述整个教学过程，教师准备充分，学生精神饱满，注意力集中，看出来学生基础较好，师生关系融洽，课堂气氛活跃，不时有学生给出不同于别人的解法. 教师教学方法先进，以学生为主体，教师为主导，师生共同合作，一改过去“满堂灌”的教学方式.

对于本节课的重点和难点，即求三角形的面积最值问题，教师采取变式教学方式，在强化重点突破难点方面，起到了很好作用. 笔者全程参与听课，从基础训练到例1，全体学生基本上没遇到什么困难，不断有奇思妙想涌现并积极抢答，场面活跃，教师调动有方，把控得体. 到了变式1，学生感觉有些困难，几乎没人想到从“形”上去考虑顶点A的轨迹在一个圆上，教师追问想到此法的一个学生，学生回答是从大量解题经验中获得的灵感.

图3

对于变式2，教师将“a=2”改成“BC=2”，将“c=2b”改成“AB=2AC”，暗示学生可以从“形”上考虑建系，笔者巡视发现，绝大多数学生还是回到条件上想正弦定理或余弦定理，导致运算繁杂，最终没有计算出来. 尽管教师最后讲了“建系”这种方法且确实快捷方便，但收效甚微. 面对周测试卷上的一道题：“如图3，等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD=2，则△ABC面积的最大值为.”据了解，学生做对者还是很少，这引起笔者深入思考，看似那么精彩的课堂，教师象领头的大雁一样带领学生在知识的天空翱翔，天空中师生都确实“飞”过一遍，可为什么没有留下任何痕迹，感觉那节课就象没上过一样，其原因究竟在哪里？

3 原因

笔者反复走访授课教师及学生，授课教师说：“高一学习余弦定理之后就已经做过变式1，当时因没有学习基本不等式，所以主要介绍‘边化角’的方法，后来学过基本不等式之后又从‘角化边’的角度讲过一遍，学生对此印象深刻，而从‘形’上考虑建系，从来没有系统学习过”.听课学生说：“△ABC中有边又有角的条件，当然想到正、余弦定理了”；“又不是直角三角形或等腰三角形，谁能想到上去就建系？”；“对于周测试卷上题目，就更想不到‘BD=2，AB=2AD’，答案是变式1答案的两倍了”.

综合以上师生所说，结合多年教学的思考，笔者认为造成“无痕”的主要原因有以下四个方面.

3.1 定势思维困扰学生

造成多数学生只能想到正、余弦定理而想不到建系的主要原因是“定势思维”，高一学习“解三角形”那一章时，大量配套的例题、习题是利用正、余弦定理化边为角或化角为边，再加上本节课基础训练的三个题目基本都用正、余弦定理就能搞定，特别是例1，更是直接用正、余弦定理轻松得手，学生已经做得熟手了. 人们在思考问题时，一直按照同一种方式来思考、理解、记忆问题，久而久之，就在思考问题时形成一种习惯，使人只想到一个方面，这就是心理学上的“定势思维”，定势思维对问题解决既有积极的一面，也有消极的一面.大量事例表明，定势思维确实对问题解决具有较大的负面影响，当一个问题的条件发生质的变化时，定势思维会使解题者墨守成规，难以涌出新思维，作出新决策.

3.2 新授课出现“盲区”

图4

3.3 微专题“贪大求全”

本节课教师确定的微专题课题是“与三角形面积有关的问题”，从这个课题就能看出涉及的内容很多，可以是已知边(角)求面积，也可以是已知面积求边(角)，还可以求面积的最值或已知面积的最值求边(角)，与三角形面积有关的问题甚至可以渗透到立体几何、解析几何及微积分中. 这个课题太大了，一节课时间有限，师生精力有限，不可能面面俱到，当学生解决了基础训练的3个小题及例1后，时间已经过去大半，再出现新的解法时，学生已经身心俱疲，心理上不愿接受新鲜事物了.

3.4 一题多解缺少“比较”

因误解新课程理念，教师授课时往往过分关注学生，课堂上有时会被学生的表现带“偏”，即改变了教师备课时的预设，随着学生的解法“游走”，等教师缓过神来，教学时间已剩下不多，为了赶教学进度，就会忘记教学中的一些重要环节.

本节课对于基础训练第3题的处理，如果教师在四种解法展示后能停留一下，请学生比较一下四种解法的优劣，有些学生可能会对方法4(坐标法)多一些关注，如果教师再能发表一下自己对四种解法的“喜好”，重点点评一下坐标法，可能会对后面的变式1、变式2的解法产生一定的影响.

4 对策

根据上述分析的原因，为了避免师生“飞过”但是“无痕”，让学生形成较强的分析问题解决问题的能力，让高三数学复习课的课堂更为扎实高效. 笔者给出以下对策供参考，不妥之处敬请指正.

4.1 新授课要“落地生根”

在“解三角形”一章教学中，不仅教学生“作高法”、“向量法”等证明正、余弦定理的方法，还要教会学生用“坐标法”证明，教师要强调“向量”和“坐标系”是处理几何图形的两个重要工具(南师大葛军教授称之为处理几何的两把“上方宝剑”)，突出“工具”意识. 教师要说到做到，平时对于较难的几何图形问题，要带领学生尝试“向量法”和“坐标法”，对于前面提到的教材第16页例题6，教师可以提问学生有没有其它解法，学生如果还是想不到，就启发学生：“可以用向量解决此题吗？”；“可以建立坐标系解决此题吗？”并给足时间让学生去体验.

4.2 微专题要“微小精悍”

什么叫微专题？“微”是选择一个比较微小的问题作为切入口，“专”是专门解决一个知识“点”的问题，而不是解决知识“面”的问题. 本节课如果能将课题改为“三角形面积的最值问题”，将基础训练第1题、第2题及例1全部删除(其实学生早已掌握)，直接教学基础训练第3题、变式1及变式2，那么更能突出重点、分散难点，学生更有精力和时间用新方法解决比较复杂的最值问题. 教师也可以从容一点，把“坐标法”强调到位，说不定师生还有时间完成较难的例2，周测试卷上的题目正确率也会提高很多.

4.3 一题多解要“画龙点睛”

一题多解，可以开拓学生解题思路，培养学生思维的灵活性和独创性. 许多老师在数学教学中特别重视和加强一题多解的训练，这对提高学生的解题能力，发展学生的智力，都是大为有益的. 但是，有些老师在一题多解训练中存在的主要问题是盲目追求解法多样，忽视解法优劣的比较.

对于基础训练第3题的四种解法，教师逐一分析展示后，无论教学任务多重，教学进度多慢，都要停下来“点睛”，即让学生比较四种解法的优劣，毕竟考试不可能将四种解法都尝试一遍.

笔者认为一题多解后教师一定要带领学生作比较，点出最简便也最容易想到的那个解法.不能几种解法同等地位，应侧重于通性通法的讲解，对于那些所谓的“巧解”，只需让学生了解一下即可，有的甚至不讲，对于基础中下等的学生应该将讲解“巧解”的时间空出来，让学生自己来寻求通性通法，掌握通性通法.

4.4 强化训练要“巩固到位”

光说不练是假把式，光听不做是走过场，每一项体育运动项目取得成功都是背后反复训练的结果.“曲不离口，拳不离手”说的也是这个道理. 本节课在教完变式1之后，教师将化边、化角、化“形”三种方法总结过后，不要急于出示变式2，应该请所有学生把三种方法重新再做一遍(对于那些原来不会做的学生，可以请他们到黑板上书写)，让学生亲自体验三种解法的繁简. 对于变式2，学生可能就会想到“坐标法”，变式2教学过后也应作同样要求，如果时间不允许，就布置为课后作业，学生反复体验之后，相信学生在周测中会有更多人做出那道题.

总之，变式教学、一题多解确实是当下高三数学复习课的主流模式，但如果处置不当，尽管“大雁听过我的歌”，也可能会“什么都没改变”.但愿教师能选择恰当的微专题课题，一题多解后作出比较，画龙点睛，对新颖解法反复训练，就一定能象喷气式飞机一样飞过高三的每一天，天天留下最美的云朵.