通过数学实验培养学生数学抽象素养*——以苏科版“数学实验室”栏目素材为例

程 花

(徐州市第三十四中学 221008)

数学实验是一种探究性实践活动，是学生通过动手动脑、以“做”为支架的数学教与学的活动方式[1].《义务教育数学课程标准(2011版)》指出，数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志，数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的[2].学科素养是在学科活动中形成的，开展数学实验教学，对于学生适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力的培养有着独特的教育价值.因此，数学实验是开展学科核心素养落地教学的重要载体.

史宁中教授认为数学抽象是数学的基本思想，数学抽象是舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，它主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系；从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征.数学实验所呈现的是原汁原味的数学现象，其目的是发现结论、解决问题，它是在认知与非认知因素参与下进行的发现结论、验证结论的数学活动.同时，数学实验是学生动手动脑的具身活动，学生在实验感悟中体验“做”数学的乐趣，感悟数量关系中的规律，从操作中感悟物体的空间关系，发展空间想象，完成从物体到图形，从图形到数学符号、数学结论的抽象过程.可见，数学实验的过程本身就是数学抽象能力发展的过程，数学实验活动是发展学生数学抽象素养的重要载体.通过理论思考和实践探索，我们认为，通过数学实验培养学生数学抽象素养的举措主要包括以下方面.

1 通过数学实验直观的“做”发展学生数学抽象素养

初中学生形象思维相对较强，而许多数学概念、结论是比较抽象的，非常不利于学生的理解.数学实验是通过动手动脑的“做”数学活动，是学生主动参与、积极动手动脑的数学活动，是1个学生“做”——在“做”中感受与体验——主动获取数学结论的活动过程.在概念学习和结论活动的教学活动中，教师设计数学实验活动，通过直观的“做”，将抽象的概念、结论通过具体化的教学活动呈现，实际上，数学实验与被抽象和加工之后的习题练习相比，数学实验呈现的是原汁原味的数学现象，学生在数学现象的体验中，找到数量与数量关系之间的一般规律与结构，形成数学结论的过程，是一次从具体到抽象的过程.

江苏科学技术出版社出版的初中教材《数学》(以下简称苏科版《数学》)七年级上册在“2.5有理数的加法与减法”中设置了“数学实验室”栏目，该栏目的设置目的是帮助学生在数学实验中归纳、概括出有理数的加法运算规律.具体内容是：1.把笔尖先放在数轴的原点，然后沿着数轴向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时，笔尖停在“-2”的位置上.用数轴和算式可以将以上过程及结果分别表示为：

实验中，“向左移动5个单位长度”和“向右移动3个单位长度”就是一次物理背景的抽象，这里用“左”、“右”表示意义相反的量，实现了一次“数”到“数量”的抽象，两次连续运动后笔尖停留在的位置，实现了一次“数量”关系到“加法运算”的抽象.教师在实验教学中，从一次实验过程的演示，到学生多次实验的操作，从尝试每一次实验过程，到用算式表达实验的过程与结果，实际上也是一次“特殊到一般”的思维发展，是实现“单一”到“一类”的归纳，实现“若干个事物的共同属性”的归纳，实现数学抽象的逐次逐级提高的过程.教学中，从体验数学实验的物理属性“笔尖的调动”，得到数学研究对象“有理数的加法运算法则”的过程中，学生的思维发展经历了数量与数量关系的抽象，事物的具体背景到一般规律的抽象，数学术语对数学现象的表征.反映了数学抽象的高度概括性和结论一般性，学生从实验活动中，也体验到了数学抽象的层次发展过程：直观描述到数学符号表征.在直观的“做”数学中，实现发展数学抽象能力.

2 通过数学实验抽象的“思”发展学生数学抽象素养

数学实验是指在一定的数学思想、数学理论的指导下，经过某种预先的组织、设计，借助于一定的技术手段，进行数学化实际操作，包括对客观事物的数量化特性进行观察、抽样、测试、逼近、仿真等，进而解决数学和科学问题的一类科学研究方法[3].具体来说，中学数学实验则是借助一定的工具，在数学化的思维指导下，通过实际操作开展的数学实践活动.在数学实验中，从动手动脑的操作到符号、数学术语等数学化思维的过程，实际上已经完成了问题的数学抽象，从直观的操作、观察表象层面，演化到事物本质属性的数学问题思考，呈现的是思维发展从“物”到“形”的抽象思考过程.从数学实验呈现出的事物表象(包括物理背景，自然语言的表达)到数学问题(数学符号数学术语)表征，这是一次数学抽象思维的过程，实验所呈现的数学问题表象出的特殊性属性到事物共同的一般特性的发现，完成的是数学抽象由浅及深的层级发展，数学实验的过程为人的思维发展从具体都抽象再到概括，又回到具体的不断提升、循环发展提供了物质载体，学生的数学抽象素养在数学实验抽象的“思”中得以提升.

苏科版《数学》九年级下册在“6.7用相似三角形解决问题”中设置了“数学实验室”栏目，该栏目设置的目的是通过数学实验活动，探索在平行光的照射下，不同物体的物高与影长之间的关系.

实验：在学校操场上分别竖起长度不同的甲、乙、丙三根木杆，在同一时刻分别测量这三根木杆在阳光下的影长，并将有关数据填入下表：

木杆木杆长度杆影长度木杆长度杆影长度甲乙丙

通过观察、测量，你发现了什么？请与同学交流.

事实上，教材中的数学实验观察、测量、交流就完成了数学结论的抽象归纳.事物本质属性的发现应该始于抽象的“思”，终于表象的“理”，为此，该数学实验还需要在数学抽象的发展中继续做深入研究.我们可以继续引导学生，再从特殊到一般的数学抽象中继续延伸到数学理论的抽象，引导学生深入思考“如何用数学推理的方式说明，同一时刻，不同物体的物高与影长成比例？”，引导学生通过理论推理论证发现的结论，再次从“物”到“形(用相似三角形解决问题)”的抽象思考.由此可见，从数学实验直观的“做”，到抽象的“思”，数学实验对学生数学抽象素养的发展发挥着独特的作用.

3 通过数学实验引导学生学会数学抽象的方法

学生的数学核心素养是在掌握数学知识的基础上，在数学活动中逐步形成的.数学抽象有四个表现：形成数学概念和规则，形成数学命题和模型，形成数学方法与思想，形成数学结构与体系[4].我们认为，从数学实验活动的呈现到数学抽象的形成，可以按照如下框架引导：

例如，苏科版《数学》在七年级下册“7.4认识三角形”中设置了以下“数学实验室”栏目：从长度分别为3cm、4cm、5cm、6cm和9cm的小木棒中任意取3根，能否搭成一个三角形？试一试.

根据上述框架，教学过程如下：

辨别：有长度的小木棒.

分化：小木棒的长度对搭三角形有影响.

抽象：长度不等的线段.完成一次数学抽象.

抽象：构成三角形的三条线段，与线段的长度有关.完成一次数与形的抽象.

概括：不是任意的小木棒都可以搭成三角形，当两条线段的长度小于或等于第三条线段时，小木棒就不能首尾相接.

抽象：两条线段的长度之和大于第三条线段时，三条线段可以构成三角形.

概括：三角形两条边的和大于第三边.a+b>c.

在教学中，学生实验要经历失败与成功的对比，在反复的操作“试错”与“成功”的操作对比中，从操作“物”到反思“数”，从对比“数”到符号化概括“形”中，体验数学实验到数学抽象的发展.在实验活动中，教师按照思维的发展特点引导学生的数学抽象素养逐级发展，真正实现数学实验在数学思维活动的参与下，开展数学思考活动的目的.

4 通过数学实验引导学生在概括中提升数学抽象能力

概括是把抽象出来的若干事物的共同属性归结出来进行观察的思维方法，概括涉及一类对象[5].概括是从多个对象的考察中，寻找共同的相同属性，思维本质上是一种寻求共性.一般来说，学生的概括能力越强，总结出的结论就越深刻，越明确.概括水平直接反映学生对数学知识本质的认知程度.数学实验为学生发现并概括事物的本质属性提供了学习直观印象，在数学实验活动中，培养学生的概括能力，在概括中领悟特殊到一般的数学化思维，是培养学生数学抽象素养的有效策略.

例如，苏科版《数学》八年级上册在“5.2平面直角坐标系”中设置了“数学实验室”栏目，活动内容是：通过学生操作，把一些简单图形置于平面直角坐标系中，进行图形的平移、翻折运动，引导学生用点的坐标来描述运动后图形的位置，探索运动后的图形与原来的图形的对应点坐标的关系.

实验1：在平面直角坐标系中，依次连接以下各点(最后一点不再与其他点连接)，将得到一个怎样的图形？(0.5, 4)，(0， 0)，(1， 3)，(2， 3)，(3， 2)，(3， 0)，(1， -1)，(2， -1)，(1， -3)，(0， -1)，(-1，-3)，(-2， -1)，(-1， -1)，(-3， 0)，(-3， 2)，(-2， 3)(-1， 3).(0， 0)，(-0.5， 4).

学生通过在平面直角坐标系中描出多个点的坐标，连接各点，对照图形中各点的关系，对照图形形状，建立“坐标”到“点”，“点”到“图”的数学抽象，在教学中，教师引导学生思考“图”的对称反映出“点”的对称，“点”的对称反映出“坐标”的对称之间关系，进而引导学生抽象概括，发展从特殊到一般，从一般到特殊的数学抽象素养.

实验2：观察所画图形，填空：

(1)点(1， -3)关于x轴对称的点的坐标为，关于y轴对称的点的坐标为；

(2)点(-1， 3)关于x轴对称的点的坐标为，关于y轴对称的点的坐标为；

(3)一般地，点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为，关于y轴对称的点的坐标为.

这个实验是典型的特殊到一般思维训练过程.学生从一个点的对称，考察多个点的对称，从这样多个考察对象中发现共同特征，通过数学化概括出平面直角坐标系中，点的对称的一般特征.其中，学生对多个点的坐标变换归纳(多个考察对象)抽象出变换后点的坐标规律(共同数学属性)，得出一般性结论并用数学符号加以表达.实验活动中，学生在操作中感知，在感知中概括，在概括中感悟特殊到一般的发展，学生的数学抽象能力逐步升级，数学实验为学生的数学抽象能力发展提供了物化载体.数学实验场景中的操作、观察、对比，为概括思维提供了形象化表达素材，学生在概括化表达中，体验思维特殊到一般的发展过程.

5 通过数学实验引导学生在比较分析中提升数学抽象能力

比较分析是常用的数学方法，是通过对多个考察对象的对比，分析找出事物的一般性规律或独特性特征的研究方法.在数学实验中，事物呈现的特征可能是多样的或不明确的，教师通过引导学生对比分析，寻找事物的本质属性，用数学的眼光观察事物，并且用数学语言(数学符号、数学术语、几何图形等)表达事物，形成数学结论，从而提升学生的数学抽象.

例如，苏科版《数学》七年级上册在“4.3用一元一次方程解决问题”中设置了以下“数学实验室”栏目：准备一本月历，两人一组游戏：(1)在月历的同一行上任意圈出相邻的5个数，并把这5个数的和告诉同学，让同学求出这5个数；(2)在月历上任意找出一个数以及它的上、下、左、右的4个数，把这5个数的和告诉同学，让同学求出这5个数.

在实验中，教师引导学生比较分析月历的特征：左右相邻的数字之间，上下相邻的数字之间分别有怎样的关系，通过比较分析，学生发现月历中的数字规律，对于月历的直观描述抽象比较容易.接着，教师引导学生从月历的直观表象中，将比较分析的规律用字母抽象，从“数”到“字母”的抽象，再通过字母表达出比较分析出的相邻数字规律，完成“字母”到“代数式”的抽象，通过代数式表达5个数的和，抽象出“和”的一般规律.在这个过程中，教师引导学生在比较分析中完成数学抽象的逐级、逐步提升.

学科素养是在学科教学活动中形成的，是学科课程标准的集中体现.数学实验具有情境性和体验性特征，这些特征决定了数学实验是教师讲授和学生刷题无法替代的教学活动和学习方式，决定了数学实验是培养学生数学抽象素养的重要载体.