几何的颜色 ——记漫画家克罗克特·约翰逊的数学绘画*

蒋 迅 王淑红

(河北师范大学数学与信息科学学院 050024)

1 约翰逊的漫画和儿童画

克罗克特·约翰逊 (Crockett Johnson，1906-1975) 是美国漫画家和儿童读物插图画家大卫·约翰逊·雷斯克 (David Johnson Leisk) 的笔名.他觉得Leisk这个姓太难发音了，自作主张将其改为约翰逊，而且索性连名也改了.但他最要好的朋友一直称其为大卫.

图1 约翰逊在他的一幅作品前

约翰逊的父亲是一位苏格兰移民，母亲是德国移民.1925年他刚上大学，他的父亲就去世了.他不得不辍学以帮助母亲维持生计.他换过几次工作，其中一次是被梅西百货开除，因为他没有按要求穿赛璐珞衣领.他最后在一家航空杂志的美编职位上表现出色而得到了赏识.于是他开始在夜校学习排版和设计.在学校里他有幸遇到了一位有名的老师弗雷德里克·古迪 (Frederic Goudy，1865—1947).有一个英语字体就是以他命名的.古迪的信条就是简单明了，决不保留不必要的线条和笔触.这似乎对约翰逊有重要影响，因为他描述自己的风格时说的就是“简单地、几乎是图解地讲清故事，避免所有的任意装饰”.1928年，麦格劳 - 希尔教育兼并了他所在的航空杂志社.他被分派到六个不同的杂志社里作艺术编辑.但这段美好的时光只持续了几个月.随着1929年的经济大萧条，他的工资也大大缩水.

图2 约翰逊发表在《新群众》上的一幅漫画作品

约翰逊具有左翼倾向，平时会跟一些激进的人在一起.他的第一幅漫画在1934年发表于宣传马克思主义的《新群众》(The New Masses) 杂志上.很快，漫画创作就成了他唯一的工作.

图3 “哈罗德和紫色腊笔”

他最著名的创作是从1942年到1952年的漫画专栏“巴纳比” (Barnaby) .这时候他的作品里就有了一点数学的元素.他会在漫画里添上一个公式，尽管可能没有任何实际意义.偶有读者提出批评后，他开始注意漫画中的数学内容的准确性.他后来开始厌烦这种每周五次的固定任务.在1952年初终于下决心停止了这个系列.同时他开始了他的第二个创作方向——儿童图书插图.这要归功于他的妻子，儿童图书作家露丝·克劳斯 (Ruth Krauss，1901—1993).事实上，他在1945年就为克劳斯的书作插图了.约翰逊也为自己的书作插图.1955年，他创作出版了儿童图书《哈罗德和紫色腊笔》(Harold and the Purple Crayon)并取得巨大成功.

2 约翰逊的几何画

我们下面要介绍的是他的另一部分不太著名的数学漫画.

1940年代，美国数学得到了迅速发展.哈代(Godfrey Harold Hardy，1877—1947)、库朗(Richard Courant，1888—1972)和考克斯特(Harold Scott MacDonald Coxeter，1907—2003)等人的著作得到了较为广泛的传播.这个现象对他产生了影响.他从1961年开始关注数学.用他自己的话说是在“姗姗来迟地发现毕达哥拉斯直角三角形和欧几里得几何中的审美价值”之后.对他影响最大的是美国数学史学家詹姆斯·纽曼(James Roy Newman，1907—1966).纽曼与哥伦比亚大学数学家爱德华·卡斯纳(Edward Kasner，1878—1955)合作出版了一本《数学与想象》(Mathematics and the Imagination).他后来花了15年时间编写了四卷的《数学的世界》(The World of Mathematics).约翰逊拥有这套书，并认真阅读了其中的部分章节，特别是《伟大的数学家们》(The Great Mathematicians).现在这部有约翰逊笔迹的书保存在美国国家历史博物馆(National Museum of American History)里.

他从虚拟夸张的漫画转到表现数学原理的作品是有难度的.约翰逊对数学的兴趣纯粹是一个业余爱好者的放胆涉猎.他没有任何数学和科学方面的训练.他的最高学历是大一辍学.经历了几年的潜心学习之后，他不但画出了平面几何的神韵，而且还在数学教育杂志《数学公报》 (The Mathematical Gazette) 上发表了文章.他是用画笔来描述他心中的数学概念.从1965年到他去世，他创作了一百多幅有关数学和物理的油画，其中相当一部分 (80幅) 保存在美国国家历史博物馆中.

约翰逊借助于几何来刻意将自己的抽象画与现代艺术区分开来.他在画布(实际上是灰泥板)上测试不同的理论.他用这种使用形状的几何绘画来试验装饰的颜色和视觉错觉、情感的呼唤，还有古代符号的表示或其他与几何无关的目的.下面我们用一些具体的例子来展现他的数学绘画的风格.

一开始，约翰逊以纽曼的《数学的世界》及其他数学书籍为依据，开始了数学创作.几年后，他开始以自己的几何作图作为创作的素材.他一共创作出了一百多幅反映几何原理的作品.大多数抽象作品都是用油漆画在2×3英尺的纤维板上，然后选一些放大到4×4英尺的画板上.

2.1 西奥多罗斯螺旋和勾股定理

大多数1965年的作品都是平面几何和射影几何方面的，素材均取自纽曼的书，很多与勾股定理有关，但是其主题也涉及微积分、数论、物理和天文.这一节里，我们介绍他前期的工作.在后两节里，我们介绍他在数学上有更多自己创新的作品.

图4 约翰逊的“16的平方根(古罗马的西奥多罗斯)”(“Square Roots to Sixteen (Theodorus of Cyrene) )

图5 西奥多罗斯螺旋示意图

西奥多罗斯只进行到第16个三角形是因为画出的这16个三角形互不影响，但是从第17个三角形开始就会有重复的部分.传说古代的几何学家是在沙子上画出它们的线条.如果一定要画出第17个三角形的话，图像就会过于凌乱.

图6 约翰逊的勾股定理的证明

在约翰逊的几何绘画中，勾股定理是一个他始终围绕的中心.当然他不会错过这个定理的证明.这个定理可以用很多很多方法来证明.在上面的“勾股定理的证明”(Proof of the Pythagorean Theorem (Euclid))那幅画中，他选择的是欧几里得的原始方法.

2.2 “化圆为方”和古希腊三大几何问题

到1968年后，约翰逊开始了有自己在数学上独立见解的艺术创作.“化圆为方”(squaring the circle，不是指圆的平方)就是一个很好的例子.化圆为方是古希腊数学里尺规作图中的命题，它与三等分角、倍立方体问题并列为尺规作图三大难题.其问题为：作一个与给定的圆面积相等的正方形.如果尺规能够化圆为方，那么必然能够从单位长度出发，用尺规作出长度为π的线段.

这个问题直到1882年才被德国数学家林德曼(Carl von Lindemann，1852-1939)证明是不可能的.在认识到不可能化圆为方之后，人们就开始尝试用方形来近似圆形，也就是说用直尺和圆规来构造出近似等于π的线段来.

约翰逊最终也知道了在数学上化圆为方是不可能的.于是他也选择了近似π的道路.终于，他有了自己的解：

图7 约翰逊的“化圆为方”( “Squared Circle”)

约翰逊完成了他的作品之后，写出了自己的代数式去向数学家们请教.他首先把他的结果投给了《美国数学月刊》.主编哈利·弗兰德斯(Harley Flanders，1925—2013)拒绝了他.弗兰德斯在通知信上写到：

“我希望你能理解，我绝对不可能在本月刊中发表任何有关化圆为方方面的文章，除非可能是一个新的不可能性的简短证明.你无法想象我收到了多少化圆为方、三等分角等方面的文章.在这方面发表的一篇文章总是导致洪水般的新的投稿.而且，数学家们已经对这类问题不再感兴趣了.”

图8 约翰逊近似化圆为方构造法示意图

≈1.847759.

令N是线段OT的中点.过点N作线段AC的平行线，交AB于点K.易证点K是AB的中点.所以

另一方面，我们有

过点X作AB的平行线，交BC于点Y，则△XYC∽△ABC.由相似性，我们有

最后，过点X以|XY|为半径作圆，交线段AC的延长线于点Z.计算AZ的长度如下：

|AZ|=|AX|+|XZ|=|AX|+|XY|

≈1.772435.

约翰逊对三大几何问题中的另外两个也有创作.

对于三等分角，他选择了“莫雷角三分线定理”(Morley’s trisector theorem).这个定理是说，对所有的三角形，其三个内角作角三分线，靠近公共边三分线的三个交点，是一个等边三角形.这个定理是由英国几何学家法兰克·莫雷(Frank Morley，1860—1937)在1899年发现的.对外角作外角三分线，也会有类似的性质，可以再作出4个等边三角形.其神奇之处就在于，尽管我们无法用尺规作出三等分角来，但三等分角可以为我们带来一个等边三角形.约翰逊用绘画表达了这个含义.

图9 约翰逊的莫雷三角形

他的倍立方体作品叫作“提洛问题”(Problem of Delos (Menaechmus)).这个名字源于与倍立方体问题相关的神话故事.它发生在希腊的提洛.而古希腊数学家梅内赫莫斯(Menaech-mus， 前380—前320)是发现了利用抛物线和双曲线解决倍立方的第一人.约翰逊的作品表达的就是这个思想.

图10 约翰逊的提洛问题

2.3 正七边形

约翰逊后来的一些作品在数学上更加深刻，其中最有代表性的就是他在正七边形问题上的研究.我们知道，正七边形是第一个不能用尺规完成的作图问题.他恰到好处地使用了二刻尺.关于二刻尺，我们在“二刻尺作图的古往今来”[15]一文中作过详细介绍.他挑战的是正七边形的作图(A Construction for a Regular Heptagon).1593年，法国数学家韦达(Francois Viete，1540—1603)给出了第一个借助二刻尺画出的正七边形的方法.据说阿基米德(Archimedes，前287—前212)也给了一个非正统的类似二刻尺的方法.(但有人怀疑那个证明不是阿基米德给出来的.)

图11 七边形的二刻尺作图(几何版)

约翰逊并不想把古人的作法搬来用.他要自己设计出一个新的方法.有意思的是，他竟然是在阿基米德的出生地西西里岛的锡拉库扎(Syracuse, Sicily)旅游时想出来的.这真可算是借助了神力.他的思想是构造出一个三个内角比为3∶3∶1的等腰三角形.那么这个三角形的三个顶点就是正七边形的三个顶点.所以下面作这个三角形的外接圆，然后就容易用尺规找到其余的四个顶点.下面我们来描述约翰逊的作法.

图12 几何证明的辅助正七边形之一

显然，如果能证明这个结论，那么就完成了约翰逊的证明，因为这里的BQ就是前面图中的BJ.我们先需要一个

引理在一个正七边形中，其对角线满足下面的关系：

d1+d2=d1d2.

这里，d1≠d2，d1和d2分别是正七边形的长对角线和短对角线的长度.

证明上面的正七边形中有太多的三角形.为了证明的需要，我们提取出下面要用到的四个三角形.因为正七边形嵌入一个外接圆内，我们容易标出下面三角形中的所有的内角.

图13 引理证明的辅助三角形

图14 几何证明的辅助正七边形之二

过点Q作ED的平行线，交DB于点R.因为|EQ|=1，所以|DR|=1.由此得到，|AQ|=d1-1,|BR|=d2-1.

四边形BRQA是一个以AB和RQ为腰的等腰梯形，而且两腰满足|AB|=|RQ|=1.

证毕.

注意在上面的图中，我们看到Q是AE和GD的交点，R是BD和GC的交点.不过，我们没有用到这个事实.

约翰逊不是这样证明的.他的办法是借用三角函数来证明.在这里，我们也简单地把他的证明介绍一下.如下图，我们有2xsinθ=1.又根据余弦定理，2=1+x2-2xcos 2θ.利用上两个等式去掉x得到三角方程

8sinθ3-4sinθ2-4sinθ+1=0.

图15 约翰逊的二刻尺作图示意图

约翰逊在锡拉库扎还想出了另一个作图方法，也挺有意思.他那天在餐馆里等上菜时，用桌面上的菜单、酒瓶和火柴拼凑着他苦思冥想的3∶3∶1三角形，他居然想出一个七根火柴的证明方法.

在心满意足于他自己的杰作后，他创作了下面的两幅作品.左边一幅反映的是他的三角函数思路，右边一幅则是他的火柴思路.

图16 约翰逊的的正七边形的二刻尺作图

2.4 两个与力学有关的作品

约翰逊也有一些与物理有关的作品.这里我们只给出其中的两个.一个是“摆的运动”(Pendulum Motion)，另一个是“轨道速度定律”(Laws of Orbiting Velocities).显然他对伽利略很敬仰.这两个作品都表达的是伽利略的结果.

图17 约翰逊的“摆的运动”和“轨道速度定律”

他还把埃拉托塞尼 (Eratosthenes of Cyrene)测量地球周长(Measurement of the Earth)的方法用艺术的形式再现.我们在《数学都知道1》[14]中介绍过这个方法.

3 结束语

在约翰逊开始一个新的创作计划前，他突然因肺癌去世，终年68岁.作为一名画家，他给我们留下了可爱的“巴纳比”和“哈罗德”，以及我们今天特别介绍的抽象几何形象.作为一名左翼文人，他义不容辞地为中国左翼出版物《新群众》创作了许多反映底层人士生活、反战和反希特勒的作品.为了爱情，他留下了不少儿童喜爱的儿童书的插画.他还是一名作家和一名发明家.他的一生精彩纷呈，但最让我们震撼的是他最后阶段对数学艺术的追求.作为一名大一肄业生，我们可以想象他所经历过的困难.他为我们留下的作品不但表现了几何性质，而且包含了他自己的创新.他以一位艺术家的身份教给我们数学爱好者们作数学的一个新视野.他的探索精神值得我们每一个人学习.