MPCK视角下的数学概念教学——以七年级“4.3.1角”新授课为例

张世钦

（厦门市翔安第一中学，福建厦门 361101）

美国学者舒尔曼（Shulman）于1986年提出PCK（Pedagogical Content Knowledge）理论.他认为，PCK包括（学科内容知识、一般教学法知识、课程知识、学科教学知识、关于学生及其特性的知识、教育情境知识、教育目标和价值的知识）等七类知识.早先人们普遍认为只要拥有丰富的CK就是优秀教师，事实证明教师还必须熟练掌握PK.只有当PK与CK高度融合，教师才能将自己所掌握的纯学术形态的知识转化成学生理解的教育教学形态的知识，这正是PCK理论及最初的界定.在我国，它有“学科教学知识”“学科教育知识”等多种译法，我们直接称之为PCK，它是PK（Pedagogical Knowledge即一般教学法知识）与CK（Content Knowledge即学科内容知识）和教育学的特殊整合，这种知识在很大程度上决定着教师能否有效地进行教学.

一、MPCK理论

MPCK（数学学科教学内容知识）就是从PCK泛学科研究中演绎出来且专门论述数学学科教学内容知识，是MK（数学学科知识）与PCK的完美结合，是数学教师的学科关键能力知识.教师具备MPCK知识能够帮助学生实现学术形态数学知识向教育教学形态数学知识的转化.

概念教学是数学教学的核心环节，整个数学知识体系是建立在概念之上.新课程改革要求学生全程参与数学概念产生、生成过程，体验概念引入、发展、归纳及提炼历程，让学生在辨析概念基础上巩固概念，在构建概念动态过程中理解、掌握、悟透概念的内涵、外延和本质特征，优化思维品质，激发创新意识及创造思维，促进学生数学核心能力的形成与发展，打造魅力课堂.教学实践证明，数学教师开展概念教学应具备三类知识即MK、PK、CK，实际教学时，教师一般需要综合运用这三类知识，才能把学术形态的数学知识有效地转化为教育（教学）形态的数学知识，才能达到帮助学生理解数学的目的.

二、MPCK视角下的概念课展示

在2021年厦门市市级教学视导活动中，陈秉艺老师开了一节新授课“4.3.1角”.本节选自义务教育课程标准实验教科书《数学》（人教版）七年级上册，是第4章“几何图形初步”第3节第1课时的内容.

本节是一节概念教学课，通过优化数学概念教学案例及教学设计，以问题解决为线索而展开，以探究式教学法为主，引导学生建立概念探究的方法与结构，在“自主探索、合作交流、动手实践”的氛围中愉快学习，让学生从“学会”到“会学”，真正成为学习的主人，让学生在探索新知、获取知识的同时，看到自身潜能，增强学习的乐趣和信心.养成积极探索的精神和合作意识，感受数学的魅力，具有很好的示范性.

以下分享基于MPCK视角下的教学设计、反思等亮点以及专家点评.

（一）依据课标，合理设计教学目标，找准核心素养的孕育点、生长点

1.教学目标

（1）通过实例，理解角的两种描述，掌握角的相关概念.

（2）掌握角的四种表示方法，并能恰当选择表示法.

（3）会用量角器进行角的度量.

（4）认识角的度量单位度、分、秒，并会进行简单的单位换算.

2.目标解析

（1）目标1解析：体会数学源于生活，又高于生活，并运用于生活的科学价值与文化价值，培养积极参与数学学习活动的热情和对数学的好奇心与求知欲.

（2）目标2解析：使学生经历概念的形成过程，学会用运动变化的观点看问题，培养观察、探究、抽象、概况的能力.

（3）目标3解析：培养学生的识图能力，运用讲练结合的方式实现“图形语言—文字语言—符号语言”三种语言的自然转换.

（4）目标4解析：通过探究度分秒之间的换算，渗透类比的思想方法.

3.教学重点

（1）角的相关概念和角的表示方法.

（2）角的度量单位及单位之间的换算.

4.教学难点

（1）角的表示方法的选择.

（2）角的单位转换.

5.点评

《义务教育数学课程标准（2011年版）》第三学段对“点、线、面、角”要求如下：

（1）理解角的概念，会比较角的大小.

（2）认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差.

本节课学习的主要内容有两部分：一是角的定义，角的表示方法，用运动的方式描述角，周角、平角等概念.二是角的度量，角的度量单位（度、分、秒）及换算，引导学生从动态的角度去认识角的概念，进而类比时间单位的转化学习角的度量和度分秒单位换算，渗透类比的思想方法.最后回顾量角器的使用，从数的角度认识角.由此可见，除了点、线，角也是基本的几何图形之一，学生在小学对于角的图形就已经有粗浅的认识，教材在介绍完直线、射线、线段后继续学习角，从静态和动态两种描述理解角的概念，要求要学会如何正确表示一个角，如何度量一个角等，这既是对前面所学知识的延续，也是为后面进一步学习复杂图形做准备.

从MK上看，目标的解析紧扣教材重难点，“角”的知识与实际生活息息相关，学生在获得“角”概念的过程中，对已有的相关概念获得更深刻的理解.通过探究角的静态定义和角的表示方法，体会研究几何图形的方法和步骤.同时，通过角的动态定义的学习，初步会用运动、变化的观点研究几何图形.

从PK上看，教师积极引导学生参与课堂活动，课堂气氛浓厚.通过丰富的数学活动，体验学习数学之旅充满着探索和创造，激发学习数学的兴趣，培养学生的观察、探究、抽象、概括的能力以及把实际问题转化为数学问题的能力.

从CK上看，教师设置通过实例和情景，引导学生思考、讨论、举例，达成教学目标，引导与培养学生对概念的学习方法，建立“为什么学—如何学—学有何用”的基本结构体系，通过建构知识体系，提高学习数学知识的能力.

（二）创设情境，优化概念认知结构，凸显数学抽象与数学建模

1.问题1：同学们，今天我们来一起学习“角”，角，你认识吗？

追问：你能举出生活中的角的例子吗？

教师在黑板上板书课题“4.3.1角”，开门见山引入.

通过学生熟悉的实际生活背景入手，让学生在具体情境中抽象数量图形，为探究归纳角的定义做铺垫.引导学生热爱生活，体验数学与现实生活的联系.

2.问题2：同学们，让我们一起来画角吧.

观察图形，什么是“角”？如何下定义？

教师与学生一起板书画角，在画的过程中，与学生共同回忆起“两条射线、公共端点、角的边、角的顶点”等角的静态定义中的相关内容.之后，教师请学生打开课本P132，将课本中相应的定义划线.（见图1）

图1

3.问题3：同学们，角如何表示？

追问1：在表示角时，要注意什么？

追问2：增加射线OC呢？能把∠BOC记作∠O吗？为什么？

教师请学生阅读课本P132相关内容，并板书几个角.（见图2）

教师及时引导学生归纳角的四种表示方法及适用范围：

（1）用角的顶点字母表示角，如：∠O

适用范围：以该点为顶点的角只有一个.

（2）用三个大写字母表示，表示顶点的字母写在中间：∠AOB

适用范围：可以表示任何角.

（3）用一个阿拉伯数学表示：∠1

适用范围：角的内部没有其他角.

（4）用一个希腊字母表示∠a.

适用范围：角的内部没有其他角.

图2

4.点评

学生在小学阶段已对角有了初步的认识，让学生动手画角，结合本章刚学的三线（直线、射线、线段），学生不难发现角的组成特征，更容易理解和归纳角的概念，学生操作、探究、交流，形成角的相关概念，经历从具体情境中抽象数学概念并回归生活情景，经历对具体问题的探索过程，培养学生的观察、探究、猜测、联想与概括能力；在概念生成过程中，教师不断的设问与追问，点燃学生思维的火花，激发学生学习的热情.在教学过程中注意规范书写，实现“图形语言—文字语言—符号语言”三种语言的自然转换，体会三种语言的转化与数学的简洁美.

从MK上看，《义务教育数学课程标准（2011年版）》三学段对“角”的论述是根据学生的学情基础提出的，本节课所学的角是平面几何最基本的图形之一，学生已学习了直线、射线和线段，特别是掌握了线段基本学习方法，在此基础上学习角的两种定义和四种表示方法，进而学习角的换算与度量，为后续深化学习角的相关知识奠定基础，也为几何概念学习打下扎实的结构化学习体系。数学源于生活，教师用学生熟悉的实际生活素材，让学生在具体情境中抽象数量图形，激发学习兴趣，凸显MK（数学学科知识）的价值。

从PK上看，在教法上，主要采用探索体验式的教学模式，学生在小学对于角的图形就已经有粗浅的认识，教材在介绍完直线、射线、线段后继续学习角，从静态和动态两种描述理解角的概念，并要求要学会如何正确表示一个角，经历在现实情境中认识角的数学活动过程，感受图形世界的丰富多彩，增强审美意识，激发学生的求知欲.

从CK上看，在学法上，教师善于鼓励学生独立思考，学生对角并不陌生，但如何理解角的概念、正确表示一个角还缺乏深刻理解，故在课堂上重点关注引导学生如何选择正确的方式表示一个角是教学的关键.对于学生能正确总结归纳角的四种表示方法及适用范围，教师均给予充分的肯定.

（三）活动载体，识别探究概念本质，培养直观想象的素养

1.问题1：如果我们从运动的角度来看，角是如何生成的？

追问1：通过刚才的演示，你能否再给角一个定义呢？

追问2：在旋转的过程中，有哪些特殊的角？

教师用两只手展示运动变化并进行说明：我们知道，随着两条射线张开的大小不同，角也就不一样.紧接着，教师用圆规，从两条射线重合开始进行旋转，启发学生思考角的动态定义：角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.

教师多媒体展示小程序“认识角”，学生在动画中再次体会角的生成过程，认识平角和周角.

2.问题2：周角是多少度？你知道1度的角是怎么来的吗？

追问：除了“度”之外，还有其它的度量单位吗？

学生学习度分秒60进制的转化，教师进一步类比说明：角的度、分、秒是60进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的.

［教师板书］

时间：时、分、秒

角度：度、分、秒（60进制）

3.问题3：给你一个具体的度数，你会画出这个角吗？怎么画？

追问：还记得量角器怎么使用吗？

教师启发学生，如果是30°、45°、60°、90°等特殊角，可以直接借助三角尺，其他的可以用量角器.教师通过多媒体辅助，可使学生熟练掌握使用量角器准确获得一个角的大小，且可以根据度数准确画角，从数的角度认识角.

4.点评

该环节用运动观点看问题，为学生提供更大的思维发展空间，运用动态描述学习平角、周角，可加深对概念的理解.这样通过类比线段的学习，重新探究认识角，形成类比思想，体会几何概念的学习方法，体验概念学习的结构化价值；经历从具体情境中抽象数学概念并回归生活情景，经历对具体问题的探索过程，培养学生的观察、探究、抽象与概括能力；通过角的动态定义学习，培养学生会用运动、变化的观念看待问题，培养识图能力.

从MK上看，明确本环节教学的重点是理解角的多种表示方法和熟练进行角度的准确换算，通过本部分知识的学习将为后面继续探究角的知识，如角的和差、角平分线等做下铺垫，也为今后高中学习做好知识储备.

从PK上看，将多媒体有机融入课堂教学，以教学目标为基点，细化教学环节，合理设置学生活动，运用类比的方式指导学生自主探究，有利于培养学生的发散思维.

从CK上看，教师通过开展活动设置问题，实物动态演示，启发学生思考角的产生过程.对于问题2，教师不是直接让学生回答，而是追问：“除了度之外，还有其他的度量单位吗？”鼓励学生大胆猜想、质疑、比较、迁移，让学生对“角的转化”有更深的体会.在解决问题的过程中，教师引导学生理解性记忆：角的转化是60进制的，这和计量时间的转化是一样的.

中学数学中的概念不仅数量多，而且抽象，需要在有效、恰当的策略指导下，演绎为具体、生动的案例，便于学生容易接受、理解和掌握的概念.教师要有足够的耐心、智慧，综合、合理运用学科教学策略，掌握MPCK的核心知识，从某种意义上，数学概念教学是衡量一个数学教师专业功力、数学素养的标杆.未来，须不断优化发展MPCK的核心知识，以促进教师专业成长.