基于逻辑推理素养的几何综合试题评价与教学关注——以2017-2020年福建省中考试题为例

李 霞

（福州教育研究院，福建福州 350001）

张奠宙、李士锜［1］等认为数学素养就是数学思维能力（数学素质），其核心是逻辑思维能力.《普通高中数学课程标准（2003年实验版）》（以下简称“课标”）早已把推理论证作为数学课程标准中的数学五大基本能力之一.在对《普通高中数学课程标准（2017年版）》的解读中，史宁中，王尚志［2］认为逻辑推理素养是能依据规则，从一些定理或基本事实出发推出其他结论的素养，特别提到逻辑推理素养的落脚点在于素养，它与“逻辑推理能力”有区别，逻辑推理素养不仅体现个体具有逻辑推理能力，还表明其个体具有良好的逻辑思维品质.可以说无论是2003年版的普通高中数学课程标准，还是2011年版的初中数学课程标准（以下简称《课标》），抑或是2017年版的高中数学课程标准，逻辑推理的内容要求都在加强，但这个内容的学习效果从近年来的终结性试卷测评所反馈的情况看不容乐观.在抽查的中考测评试卷中，学生不能识别图形中的基本几何元素，不能根据条件和图形获得基本几何结论，无法对一些基本要素的属性聚焦，不能理清相关元素的关系关联等.

一、综合几何推理命题的立意与试题内涵

［案例1］（2018年福建省中考数学A卷第24题）：已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E.

（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1.求证：PC＝PB；

（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2.若AB＝，DH＝1，∠OHD＝80°，求∠BDE的大小.

［案例2］（2019年福建省中考数学卷第24题）：如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF，CF.

（1）求证：∠BAC=2∠DAC；

图1

图2

图3

（一）从素养的角度看问题的立意

观察试题的表现形式，可以看到两道试题要求学生都必须具备在复杂问题的数学情境中通过归纳、类比、演绎等方式探索推理的能力。两道试题都将初中的直线型知识进行了融合，考查的知识点有平行线、等腰三角形、直角三角形、相似三角形等内容，会用圆的工具功能（导边导角）实现基本元素与相关元素间的关联；会探究结果的一般性结论并能准确地表述结论的推理过程.可以说从素养的评价体系看，学生不仅要具备对知识理解的水平，还要有实现知识迁移的能力.

（二）从测评的数据看问题的存在

调研了7万份试卷，例1的区分度在0.4以上，表明此题的区分度很好；例2的区分度接近0.3，说明此题的区分度较好，但例2第二问的区分度低于0.19.例1难度系数为0.23，满分率0.59%；例2难度系数为0.15，满分率0.83%.为什么考生满分率这么低？由答题情况我们发现：对几何问题的解决，大部分学生不具备几何综合试题解决的思维，具体表现为：不能识别图形中的基本几何元素；不能根据条件和图形获得基本几何结论；不知道如何添加辅助线；对于所要证明的目标找不到切入点等.

（三）从题旨的内涵看问题的解决

1.从等腰和直角入手，让“定性”“定量”齐放

两道题的第一问均考查考生对几何图形的基本认知，要求考生寻找图形基本元素间的定性、定量关系.两道题均由基本图形出发，以特殊的△ABC为主体，促成几何位置的形成与演化.

2.从题干与设问入手，让“合情”“演绎”并重

两道题都是以圆为背景，基于特殊的三角形（等腰或直角三角形）再叠加相关图形的关系而设置：如图2，例1题干设置了垂直条件（DE⊥AB），考生可得DF∥BC，第二问又叠加了垂直条件（BG⊥AD），考生亦可得BG∥DC，从而得到DCBH为平行四边形.同样在例题2中，题干同时设置了AB=BC，DC=DF的条件，而DC=DF对第一问的解答是没有作用的，这体现了目前高考评价体系所倡导的“结构不良题”设置的理念.而这条件对第二问则是等线段条件叠加下结论的不变性递推，如图4，由两对线段相等，考生能够推出AW（AW过圆心）为三角形ABC的对称轴，AD亦为三角形ACF的对称轴（命题者的构图逻辑）.有了这些感知，考生不难获得角之间关联.

图4

两道例题中的垂直或相等皆为同类条件，同类条件带来同类结论——平行或轴对称，这正体现了几何推理中思维的合情性.上述对试题题旨的理解，不仅能解决问题，还可以助学生发展推理感，形成逻辑推理的素养。

另外两道题的题干背景都为圆内接四边形，不涉及几何变换；两道题的解题思路均为先分析小问之间的关联、结论之间的关联，再思考结论中要解答的问题.这种思路为“正逆结合”“两边挖掘”，已知走一点，求证走一点，慢慢汇集在一起，非常适合平面几何中较难命题的证明，也体现了初中阶段合情推理与演绎推理培养并重的教学模式.

二、综合几何问题的考查视角与考试本质

福建省2017年开始中考统一命卷，在几何的综合题题面设置上一般是纯几何知识应用，题目的作用体现选拔的功能，因此设计的题面有一定难度.近四年中考几何综合题考查的视角一般有以下两种（以下试题题目略）：

（一）综合几何视角

图5

如图5所示以圆为背景，基于特殊的三角形为基本图形背景下，特定状态的定性判断与定量计算.

第（1）问主要考查以特殊的三角形（直角或等腰）为基本图形下，研究特定状态下线或角的定性判断.如2017年的21题由线垂直证线垂直；2018年的24题由线垂直证线段相等；2019年24题由线段相等证角数量关系等.

第（2）问则是相关图形条件的叠加而设置，如2018年24题叠加垂直条件，得到平行结论叠加.2019年24题线段叠加相等条件，得到对称结论叠加，关注的是一些条件叠加下，结论的不变性探究.这些要求，学生不仅要有推理论证的能力，还应该具备类比归纳的数学思维品质.

（二）变换几何视角

图6

以变换为工具，寻找一种图形满足一定条件下运动后，规律或结论的不变性探究.

如一些一般性结论的获得如图6所示：2017与2020年的第24题一定有共圆；2018，2019年的第21题一定存在平行四边形等.

两种考查方式，第一种突出圆的工具功能，利用圆对称等性质，发挥导边导角的作用，第二种突出变换工具的作用，以基本图形与基本元素的位置及关系为核心，通过图形变换，研究平面几何在运动变化过程中，相关元素间的位置关系的不变性和一些量的不变性探究.几何变换是初中几何问题解决的核心功能，无论哪一种方式考查，最后都能实现两种考查方式的融合.这些都要求学生不仅通过合情推理发现结论，还需要通过演绎推理得出结论.

作为终结性的考试，其本质想从测量学的角度来认识或评估教育现象，它虽不能替代教育评价，但为教育评价带来了量化依据.福建中考四年来的综合试题让学生通过特殊位置的合情推理，猜想结果，探索思路，发现结论，再利用演绎推理证明这一结论.这种研究方式与教学是一脉相承的.因此理解命题的立意与试题的内涵，才能让考试为教学服务，为学生的素养养成服务.

三、发展逻辑推理素养的几何综合题教学启示

几何综合题的一般具体以下特征：涉及的几何知识点多；涉及数学思想方法多；推理过程的解题距长；几何要素属性不聚焦；几何要素的关系复杂等.《普通高中数学课程标准（2017年版）》降低了以演绎推理为主要形式的定理证明要求［3］，教材中删去了大量繁难的几何综合证明试题.从培养学生的几何综合问题解决思维能力而言，如何让学生具备逻辑推理的能力，以便更好完成几何综合问题解决的素养需要关注.

（一）关注问题解决的本源［4］

［案例3］（2020年福建省中考试题第23题）如图5所示已知C为线段AB外的一点.（1）作CD∥AB，且2AB＝CD；（2）在（1）作图所得的四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于P点，M、N分别为CD、AB的中点，求证：M、N、P三点共线.

对于第一问：试题明确要求过直线外一个点做已知直线的平行线，本题的立意原本是考察如何作一个角等于已知角，但从学生作答的过程中发现，学生更多去构造形（平行四边形或三角形）来实现平行，而不是通过角来刻画平行.出现这种情况，说明了学生对于两直线平行（CD∥AB），用谁来刻画不理解.我们知道几何位置关系的定义办法一般用低维来定义高维，即可以用角的关系来刻画两条线的位置关系.在教学中我们要让学生明白：基本作图最核心的思维是构造相等的线段，而作一条线段等于已知线段，无论是技能操作还是作图原理，学生比较好掌握.作一个角等于已知角的操作方法，先把已知角放置于一个三角形中，然后用边边边定理去构造一个三角形与这个三角形全等，从而获得对应的角相等，这一过程的核心思维是构造相等的线段，这一核心思维就成为本小题问题解决的本源。有了这一思维，学生对如何做一个角等于已知角就不会学而不用.

对于第二问：通过增加条件（中点），再根据图形形成条件，证明一般性的结论.抽取的样本7万左右，满分率只有6.55%.对于第二问典型思路如下：

思路一：如图7，连接PM，PN.通过AB∥CD及M、N分别为CD、AB的中点，得到△ABP∽CDP，推出又从∠BAP＝∠DCP出发推出△APM∽△CPN，得到∠APM＝∠CPN，继而推出M，P，N三点在同一条直线上.

图7

思路二：如图8，连接AN交BD于点Q，连接BN交AC于点O.通过AB∥CD及M、N分别为CD、AB的中点，得到四边形ABCN，ABND为平行四边形，得到O，Q分别是BN，AN中点，得到AO，BQ为△ABN的中线，且相交于点P.再去证明M，N过P即可.本思路契合命题的立意，求证：三角形的三条中线交于一点（三角形重心的性质）.

图8

思路三：如图9，由AB∥CD，推得△ABP∽△CDP，得到又AC，BD交于点P，得到△ABP与△CDP是位似图形，且位似中心为P.又M，N为AB，CD的中点，且AB，CD为此位似图形的对应线段，M，N也是此位似图形的对应点，根据位似图形的定义，连接MN，则MN经过位似中心P，即M，N，P三点共线.

图9

教学思考：通过解答可以发现以上无论哪一种思路，学生首先要明白何为三点共线？共线是一种定性表达，如何用定量来刻画它？常用的定量刻画可以通过证相邻的角互为补角；其中一边共线的对顶角相等；同平行一直线的两直线平行；一些命题的结论（重心的性质、位似的定义）以及其中一点满足另外两点所在的直线上等.造成学生解答不出来的原因：如何将共线的定性说明用定量问题来处理.几何的平直性问题的理解与运用思维欠缺.

本源从研究问题的方法看，应该指研究问题的本质与起源，几何问题解决的本源就是利用对称性、平直性去推导图形基本元素的各种特征及相关元素的相互关系.在初中阶段，对称性不仅在几何中体现，如图形的全等，本质上就是研究某个图形对于某一条直线的对称反射关系［5］；绝对值也是研究某段数值在数轴上关于原点对称的具体反映，三类初等函数（一次，二次，反比例）的增减性问题也都是研究它关于某直线的一侧性质后反射出另一侧的情况等.因此“对称性”要成为解决问题的一种观念，“对称”能让思维减半.平直性包含平行与重合，2020年福建中考的23题的各种解答都在指向平直性问题的理解与应用.

《课标》中几何内容，要求从这几个基本事实出发，推导三角形及四边形的一些基本性质和判定，让学生体会欧氏几何的精髓，感受局部的公理体系.其中的两条平行线所得的同位角相等的性质与判定事实导向“平直性”应用的基本事实；三角形全等的判定与性质事实则是导向“对称性”应用的基本事实.

（二）关注“圆”“变换”的性质功能

《课标》对于几何证明中推理仅限于三角形，四边形的重要性质运用，对“相似形”“圆”的内容中不再要求证明相关的结论，但是我们发现如果利用好“相似形”“圆”的工具功能，对综合几何问题解决的思维提升至关重要.“相似形”它也是一种缩放变换，是合同变换的拓展，是定性问题转定量研究的工具；“圆”中的轴对称性，旋转不变性则是导边导角的工具，它对直线性有统筹的功能.

1.圆的性质功能

圆的基本性质从对称的角度去理解，可以有轴对称、旋转对称以及旋转不变性等对于轴对称的试题要关注补全图形，还原基本性质中的基本图形；旋转对称要关注以弧导角，用角找弧；旋转不变性则是实现了等角之间的联系.

［案例4］（2020年福州市中考适应性试卷第24题）如图10，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，DB=DC，过点C作CD ⊥BD，垂足为E，交AB于点F，交DA的延长线于点G.

图10

（1）求证：GA=GF；

（2）若AG=2，DC=8，求AC的长.

分析：从题目的条件出发，将条件放大可以找到两类三角形：①等腰三角形：△DBC，△GAF；②直角三角形：△DAC，△BAC，△DGC，△BFC，△DEC，△DEG，△BEC，△BFE等.第（1）问中，要证GA=GF，转而求证∠GAF=∠GFA，利用外角及对顶角关系即可得到∠AFG=∠BFC=∠DBC=∠DCB=∠GAF.第（2）问中，所给的条件AG=2，DC=8，它们所在的三角形只有边之间有不变关系，具体量不好求得.可以寻找结论转移，将求AC的长转移成求AD的长，思考AD与FC的数量关系.通过测量及猜想得到CF=2AD，再通过推理证明这一结论，进而结论继续转移，去求AD与CF的位置与数量关系.

教学思考：本题的关键就是回归圆的基本性质，识别圆的性质定理图形，如有共端点的等线段，寻找等线段所在图形的轴对称性.发现点D，O在对称轴上，推导出ADOB为平行四边形.另外直线形问题的分析方法是：执果索因，因为需要研究的是线段之间的关系，需要把它们放在可以确立关系的图形（△DGC）中才可能实现，那么就需要寻找未知的线段（AD）与（CF）之间的数量关系。

2.变换工具作用

［案例5］（2018年北京市丰台区初三模拟考试卷）

如图11，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB.过点C在△ABC外作射线CE，且∠BCE=α（0°＜α＜45°），点B关于CE的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M，N.用等式表示线段AM，CN之间的数量关系，并证明.

图11

分析：依据测量（AM=kCN），探究特殊位置（α=0°或45°）时候K的取值，猜想而后将转移成某线段，再证明线段相等.构造的方法可以是：如图12，以CN为边，C或N点为直角顶点，构造等腰直角三角形；以点C为锐角顶点构造一个等腰直角三角形CFN或CNG；还可以将CN转化为两线段和、用AM表示CN或者转为线段比的方法求证.无论如何转移，最终都是构造全等或者相似.

图12

教学思考：几何变换的试题一定要关注的是我们需要什么，若是需要等量关系，力求构造全等；若是需要线段之间的数量关系，则需构造一图形使得边长得以转移.

（三）关注问题解决的抓手

面对几何综合试题，我们需要思考的是，为什么要添加这样的辅助线？添加辅助线后形成了什么问题？为什么高线会成为比较常见的辅助线？构造全等三角形与构造特殊三角形之间有什么关联？能进行几何变换的一些“标志”是什么？如何用好锐角三角函数求角的工具？如何理解三角形的可解？

对于一个几何问题，如果我们发现它的基本图形存在一个或者若干个不完整的情况，那么我们尝试着把这些基本图形补充完整，［6］如垂经定理的基本图中，若有垂直即可延长被垂直的线段，然后再用垂径定理的相关结论.所以添加辅助线的目的是为了把不完整的基本图形补全，使得能形成结论的基本图形的性质得到应用而完成证明；为什么高线会成为比较常见的辅助线？添加高线，可将斜三角形问题转化为直角三角形问题进行处理，而在直角三角形中，勾股定理显然是解决数量关系的重要工具；构造全等，实现的是图形之间的转移和变换，而构造特殊三角形，则是实现形中的角与线段的数量的转移；抓住共端点、等线段，这一定是几何变换（全等）的“标志”；圆对原来的线段、角及三角形带来的变化就是能把不在同一个三角形的边角转化为同一个三角形中，锐角三角函数的函数值只与这一锐角的大小有关，结合圆中导角功能，将角转到所需的较易求得的三角形中，只要这个三角形稳定，它就一定可解.

初中阶段的逻辑推理素养培养，对一个人在数学思维的品质发展上极为重要.数学思维不仅有探究活动的合情推理过程，这过程包含着直觉、类比、联想与感知，还要有严谨理性的证明过程（演绎推理）.小学阶段让学生直观感悟合情推理的素养，初中阶段要关注几何综合试题问题解决的思维能力培养，教学中多思考合情与演绎如何结合，让学生逐步形成逻辑推理素养，进而进入高中阶段的学习.