从两个重要极限到拟共形映射的定义的思考

孙小康 肖政国

【摘要】数学文化是数学历史的沉淀，为合理运用数学文化巧妙设计数学概念教学，突破数学概念教学的重难点，构建一种数学文化型的概念教学模式，本文首先给出了两个重要极限的发展历史以及相关模型，随之给出了拟共形映射的定义.

【关键词】数学文化;概念教学;共形映射

一、引言

广义数学文化包括数学史、数学对其他学科的影响和促成、数学与各种文化的相互关系等.数学文化是数学的重要组成部分，是数学历史的沉淀，如果将数学文化当作道，教师合理运用其巧妙设计数学概念教学，选择具有代表性的数学概念发展史作为教学设计的素材，并贯穿于整个教学过程，再现数学概念的形成过程， 构建一种数学文化型的概念教学模式，那么学生就能够从中感知历史，体会概念本质.

二、两个重要的极限

极限思想方法是微积分的基础，是高等数学中最基本的工具，是贯穿高等数学课程的基本数学思想方法. 刘徽割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”半径为 1 的圆内接正三角形周长为6sinπ3.半径为 1 的圆内接正四边形周长为：8sinπ4.半径为 1 的圆内接正n 边形周长为：2nsinπn.当 n 趋向于无穷大的时候，半径为 1 的圆内接正n 边形周长用极限的符号表示为：limn→∞2nsinπn=2π，变形得到limx→0sin xx=1.极限的符号是英文的，古人不懂得使用ε-δ 语言，极限思想用文言文描述非常直观.一般教材是简单介绍极限的历史，并没有直接给出limx→0sin xx=1，而是先讲极限的ε-δ 语言定义，接下来才讲两个重要的极限.极限的ε-δ定义往往使学生畏惧，因此教师在教学中要让学生先了解极限思想的发展历史，拓展其数学史的相关知识，这有利于大学生掌握数学知识的原貌，使极限概念生动易懂，学生能从中得到有益的启发，从而激发学习兴趣.

突出案例教学，化解高等数学知识难点.“一尺之棰，日截其半，万世不竭.”或把时间比喻为尺子.假定有一家银行，它允许进行复利的存款，而其年利率为1=100100，假如办理定期存款一年，往账号存 1 元，按照单利计算，一年后本息和为 2 元.假如定期一年时间太长，改为半年定期存款.年利率不变为 1，本金为1.半年之后再将本息和继续存半年，则最终的本息和为（1+0.5）（1+0.5）=2.25.似乎比定期一年的利息高出许多.如果不断缩小周期，改为一个季度为期，分四次存取.按复利计算，一年后的本利和为1+144=2.44140625.如果在一年中，以一天为期，按复利计算.到年终时，所获得的本利和应该为1+1365365=2.714567482….现在作为一个数学问题，而不考虑实际的可能性.设本金仍为 1，到年终时的本利和则应为1+1nn，其中n=1，2，3，…，如果令n 趋于無穷，则年终时，效益会是无穷大吗？回答是否定的.另一方面，存取次数越多，按复利计算的本利和就越大.因此，其极限便是最大可能的本利和.雅各布·伯努利证明了这个复利的存在.很多年之后，欧拉在研究自然对数时，遇到了这个极限，并给它取了一个名字：e=limn→∞1+1nn=1+11！+12！+…+1n！+….

三、微分的定义推广到复数域

从教学思路来看，数学文化的渗透常常有显性和隐性两种.数学史与数学故事常常是数学文化的显性依附，在课堂上引入诸多数学文化事例或者故事，通过显性的数学文化呈现激活学生的思维，吸引学生的注意力.将数学文化发展的历史主线隐性地作为课堂上学生思维的主要思路，隐性的数学文化作用则在于让学生的思维沿着数学史的数学思路去解决问题，学生在数学文化的隐性影响中获得数学素养的提升.课堂教学容易过于重视显性的文化存在而忽视隐性的数学文化的精髓.

令w（z）=limn→∞1+znn，下面来证明这个极限对于任意z∈C的存在性.为此令：z=x+iy，并注意到，由幂的提升规律有：

1+znn=1+2xn+x2+y2n2n2，

arg1+znn=narctanyn1+xn，

由此看出，存在limn→∞1+znn=ex，limn→∞arg1+znn=y，这意味着极限w（z）=limn→∞1+znn对于任意z∈C存在，并且可以写成极坐标形式：w（z）=ex（cos y+isin y），w（z）=eRe z，

arg w（z）=Im z，令x=0，有w（iy）=cos y+isin y，符号eiy作w（iy）=cos y+isin y的一个简略的记号来使用，便得到欧拉公式：eiy=cos y+isin y=limn→∞1+iynn.可以理解它为数e=limn→∞1+1nn=2.718的虚幂.将eiy=cos y+isin y 中 的 y 取作π就得到：eiπ+1=0，这个恒等式将数学中两个超越数：自然对数的底e、圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位 1，以及数学里常见的 0这几个数简洁地联系了起来.欧拉公式给出了向量的乘法运算法则，微积分从实数域推广到复数域也就成为可能了.

设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）某邻域U（P0）内有定义，对于U（P0）中的点P（x，y）=（x0+Δx，y0+Δy），若函数f在点P0处的全增量表示为

Δz=f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）=AΔx+BΔy+ο（ρ），

其中A，B是仅与点P0处有关的常数，ρ=（Δx）2+（Δy）2，ο（ρ）是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f在点P0处可微.

二元实值函数的可微定义推广到复值函数：f（z）在点z0=x0+iy0的一个邻域D内有定义，如果存在两个常数a与b使

f（x0+Δx+i（y0+Δy））-f（x0+iy0）=aΔx+bΔy+ο（ρ） （ρ→0），

其中ρ=（Δx）2+（Δy）2，则称f（x+iy）在点x0+y0i关于（x，y）可微.这个定义实际上就是将关于二元实值函数的可微性定义推广到复值函数.称为R-可微.

四、拟共形映射的定义

命题：设f（z）在点z0=x0+iy0的一个领域D内有定义，且f（x+iy）在点z0处关于（x，y）可微，则存在两个复数A与B，使：

f（z）=f（z0）+A（z-z0）+B（z--z0-）+ο（z-z0），（z→z0）.

其中A=12fx-ifyz0，B=12fx+ifyz0.

引入两个纯形式记号fz=12fx-ify，

fz-=12fx+ify为f（z）的形式偏导数.

f（z）=f（z0）+fzz0（z-z0）+fz-z0（z--z0-）+ο（z-z0），

Δf=df+ο（Δz），（Δz→0）.其中：Δz=z-z0，Δf=f（z0+Δz）-f（z0），df=fzz0Δz+fz-z0Δz .

R-可微函数的微分公式为df=fzdz+fz-dz-，C-可微是在R-可微函数中附加了条件fz-=0分离出来的. 二元实值函数的可微定义推广到复值函数.函数f（z）=u+iv在z为R-可微性是指u和v作为两个实变量x和y的函数在该点具有通常的微分，从本质上说这并没有引进在分析中的任何新概念，C-可微性的概念才是新的.

通常的解析函数是C-可微的， 它的实部与虚部都是二元实函数，而且满足柯西-黎曼条件，由它们构成的曲线族u（x，y）=c和v（x，y）=c是正交的.导数处处不是零的解析函数所实现的映射是共形映射，共形映射具有保角性和伸缩率不变性，拟共形映射是共形映射的推广.

设f是区域D到D′的同胚，即双方单值且连续的映射，并假设它在点z0∈D处作为实变量（x，y）的函数可微，则这个映射在z0附近的一阶近似是一个线性变换：

z→w（z）=f（z0）+zf（z0）（z-z0）+z-f（z0）（z--z0-）.

定义：设f是区域D到D′的C1类同胚映射，且在D内处处满足下列条件：（i）z-f（z）

（ii）zf（z）+z-f（z）zf（z）-z-f（z）≤K，其中K是一个大于1或等于1的常数.

则称f为D内的一个经典拟共形映射，或C1类拟共形映射.

五、结束语

數学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，掌握数学思想就是掌握数学的精髓.数学教学应以培养学生的数学思想为核心，而不仅仅以学生掌握具体的数学知识为目的，数学教学中，与知识相比，数学思想是核心和灵魂.在高等数学教学中，在教教材显性知识的同时，要挖掘出其后的隐性知识，引导学生发现并欣赏数学之美、数学思想及其内涵，激发学生学习数学的热情.数学教材中蕴涵了丰富的数学思想方法，而传统的数学概念的教学一般过于注重概念的叙述与应用，要求学生熟记概念，再通过重复练习巩固概念，基本上按照“概念+练习”的教学模式进行.如何提高数学概念教学的效果呢？借数学文化之道行概念教学之术是一个可行之策.道即事物发展的规律，术即做事的策略、方法及技巧.道是术的基础，术是道的表现.借数学文化之道再现数学知识的产生、发展及运用的过程，使教之遵道有术，学之明道懂术，从而达到优化数学概念教学的目的.

【参考文献】

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[2]石辛民，翁智.复变函数及其应用[M].北京：清华大学出版社，2012.

[3]张奠宙. 微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考[J].高等数学研究，2006（02）：2-4.