数学建模案例在高职高等数学教学中的应用

梁国岐 肖静波

【摘要】数学建模案例是数学与现实生活的桥梁，本文基于数学建模思想在高等数学教学中的应用，探讨在高等数学教学过程中适当融入数学建模思想的重要性及原则，并通过具体数学建模案例来阐述如何在数学教学中恰当引入数学建模案例.

【基金项目】本文系2019年吉林省职业教育与成人教育教学改革研究课题“双高建设背景下以创新人才培养为导向的高等数学改革”（项目批准号：2019ZCY145），2018年吉林工业职业技术学院第二批课程改革课题“以应用为主数学实验为辅的高等数学课程改革”和2019年吉林工业职业技术学院院级课题“基于数学建模培养学生应用能力的教学改革”的阶段性研究成果之一

引 言

高等数学是高职院校工科专业重要的一门公共基础课程，发挥着为后续专业课程服务、培养学生思维能力、解决生活实际问题的作用.传统的课程讲授基本上是从概念讲解到定理证明，再到例题、习题讲练，一味灌输，这很难与高职院校学生基础知识薄弱、自主学习能力差、数学思想不强、学习兴趣不足的学情相匹配，因此难以发挥高等数学的课程作用.

将数学建模案例应用到高等数学教学中能够有效改善教学效果，巧用数学建模案例不仅可以充分调动学生学习的积极性和自主性，还可以改变“数学无用”的传统观念.在不影响数学原有的理论知识体系的前提下，教师要以“案例”为中心组织课堂教学，让枯燥、乏味的数学理论生活化、趣味化，这样既能改善课堂的教学效果，又能提升学生分析问题和解决问题的能力.

1 高等数学教学中引入数学建模案例的原则

1.1 贴近现实生活，拉近数学与现实生活的距离

数学教学不仅要考虑数学自身的特点，更要遵循学生的心理规律，它强调从学生已有的生活经验出发，让学生经历将数学问题抽象成数学模型的过程.数学建模案例的选取应是现实的、有意义的，并能将学生带入生活，使其能确实地感受到数学在生活中的原形，这样才能让学生真正地理解数学、喜欢数学.

1.2 符合知识背景，体现数学建模案例的辅助作用

数学建模案例的引入应和讲授的数学内容紧密联系，并要充分体现数学建模案例的辅助作用.教师必须精心选择数学建模案例，案例不仅要起到推广数学知识应用价值的作用，还要能挖掘出知识的文化价值.案例的安排要充分考虑到内容生活性和文化性，这样会给学生带来耳目一新的感觉，也能夠缓解课堂相对沉闷的气氛，并能调动学生学习数学的积极性.

1.3 内容简明、易懂，激发学生学习数学的兴趣

在教学过程中引入案例主要是为了激发学生的学习兴趣，起到抛砖引玉的作用.案例的内容应该简明、易懂，使其能够在较短时间内被讲解完.引入数学建模案例是为了让学生更好地学习高等数学，而不是用“数学建模案例”的内容抢占高等数学的阵地.

2 高等数学教学中引入数学建模案例的方式

2.1 课前导入中引入数学建模案例

课前导入关乎课程讲授效果，在课前导入中引入案例对激发学生学习兴趣、改变学习态度起到了至关重要的作用.如教师在讲解定积分前，提问学生不规则区域的面积如何求解，商人如何安全渡河，变速直线运动的路程如何求解等问题，这些都是现实生活中的常见问题，引入这些问题能够引起学生强烈的好奇心，既能活跃课堂气氛，又能开阔学生的视野.本文以微分方程为例，介绍如何在课前导入中引入案例，具体如下：

案例1 牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦查中死亡时间的鉴定.当一次谋杀发生后，尸体的温度按照牛顿冷却定律从原来的37℃开始下降，如果两个小时后尸体温度变为35℃，并且假定周围空气的温度保持20℃不变，试求出尸体温度H随时间t的变化规律.如果尸体发现时的温度为30℃，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？

案例讲解：设尸体的温度为H（t）（t从谋杀后计），根据题意，尸体的冷却速度dHdt与尸体温度H和空气温度20℃之差成正比，即

dHdt=-k（H-20），

其中常数k>0，且当t=0时，H=37.

根据案例1中物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比可以列出含有函数及微分的关系式，进而导出微分方程的重要性，揭开微分方程学习的序幕.

2.2 讲解数学概念时引入数学建模案例

数学概念是构成数学知识的基础，是教师对基础知识和基本技能进行教学的核心，正确理解数学概念是掌握数学知识的前提.数学概念的抽象性使得数学概念的教学相对棘手，引入数学建模案例能将复杂的概念变得明白、易懂，使学生觉得自然亲切、趣味盎然.本文以回归分析概念为例，介绍如何在讲解概念时引入数学建模案例，具体如下：

案例2 有一个同学开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销量的影响，收集了部分数据.经过统计，得到了卖出的热饮杯数与当天气温的对比图表（表1及图1）：

教师在讲授概念时适当引入典型的数学建模案例，可以使学生体会到数学的应用价值，进而激发学生学习数学的热情.

2.3 理论证明中引入数学建模案例

数学定理与数学建模案例完美结合，能够搭建起枯燥无味的定理与丰富多彩的外部世界的桥梁，进而起到事半功倍的效果.本文以零点存在定理为例，介绍如何在理论证明中引入数字建模案例，具体如下：

案例3 四条腿一样长的椅子一定能在不平的地面上放平稳吗？

（1）模型假设

①椅子的四条腿一样长，椅子脚与地面的接触处视为一个点，四脚连线呈正方形;

②地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，即视地面为数学上的连续曲面;

③地面起伏不是很大，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.

（2） 模型建立

设椅子脚的连线为正方形 ABCD，对角线 AC与 x轴重合，坐标原点 O在正方形ABCD中心，當椅子绕 O点旋转后，对角线 AC变为 A′C′，A′C′与 x轴的夹角为θ，如图2所示.由于正方形的中心对称性，记 A，C两脚与地面的距离之和为f（θ），B，D两脚与地面的距离之和为g（θ）.已知连续函数f（θ）≥0，g（θ）≥0且f（θ）g（θ）=0，则至少存在一个θ0，使得f（θ0）=g（θ0）=0.

3 高等数学教学中引入数学建模案例的效果

3.1 改变学生对数学的认识，增强主观学习动力

对于高职院校学生来说，传统的数学教学模式已经给他们留下了深深的烙印，笔者在高等数学教学中发现高等数学教学面临的不是“教师怎样教，学生如何学”的问题，而是学生“想不想学”的问题.引入数学建模案例，可以吸引学生的注意力，激发学生解决问题、挑战自我的热情，讲解案例可以让学生真正体会到数学的应用价值，并开启主动学习数学的新历程.

应用化工技术专业的学生曾体会到：“引入数学建模知识让我对数学有了新的认识，从小到大我不知道学数学到底有什么用，也没有在课堂上像现在一样思考过问题，现在我开始喜欢数学 .”

3.2 重塑“具体——抽象——具体”的思维过程，提升学生的思维能力

传统理论教学在过去有着不可或缺的作用，其方式是先讲授理论，再解决问题，其思维方式是先抽象再具体.但目前高职院校学生的学情有了新的变化，因此教学也面临新的挑战.数学建模案例的引入，让学生不断思考、推理，使其重拾解决问题的钥匙，寻求解决问题的原理，进而达到提升学生思维能力的目的.

曾获数学建模竞赛国家二等奖的学生体会到：“生动有趣的数学建模案例，让我有勇气和兴趣学习相关的数学理论，也让我形成了遇到事情善于分析、善于思考的习惯，并让我体会到思维能力提升给我带来的快乐.”

3.3 建立数学与专业学习的衔接点，为后续专业课服务

通过对数学建模案例的探究、思考、推广，学生体会到数学与专业相辅相成，也认识到高等数学对以后专业课学习的重要性.

电气专业学生曾体会到：“数学建模案例教学深深地吸引我，让我喜欢学习数学，也让我收获期末考核幸福的100分，让我在电气专业课程的学习中知道数学无处不在.”

结 语

在高等数学教学中引入丰富多彩、贴近生活的数学建模案例，不仅可以激发学生学习数学的兴趣，还可以让学生认识到数学的应用价值，同时也能提升学生分析问题和解决问题的能力，最终实现高等数学协同专业课程共同为专业发展服务的目标.

【参考文献】

[1]路建民，凌亚丽.高等数学与实验[M].北京：北京交通大学出版社，2016.

[2]荆科，康宁，姚云飞.数学建模案例在高等数学教学中的应用探讨[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2013，29（3）：26-28，35.

[3]高振滨，沈继红.案例教学法在数学建模中的应用[J].教育探索，2011（05）：65-66.