重建三角体系下“余弦的定义和性质”的教学

刘家琪 马雪皎

【摘要】在初等数学教学中，三角函数是公认的教学难点之一，许多老师和专家为此做了大量实践研究，但还是未能取得满意的效果.张景中院士从教育数学的观点出发，在小学数学知识的基础上建立三角函数体系，从三角函数的发展引出代数工具并探索几何，把三者串在一起，重建了初等数学的三角体系，也在现实中进行了实践教学，取得了优异的成果[1].《一线串通的初等数学》就是三角新体系的代表作，其中正弦的新定义等都是研究的热点.本文即是根据《一线串通的初等数学》中的三角新体系，在正弦、正弦定理和正弦和角公式整个知识体系的基础上，探讨《余弦的定义和性质》的教学.

【关键词】重建三角;教育数学;锐角三角函数;教学设计

【基金项目】扬州大学大学生科创基金项目（X20190201）;本项目得到“江苏省高校品牌专业建设工程资助项目（数学与应用数学，PPZY2015B109）”经费资助

一、新体系下以正弦为中心的知识体系简述[2]

1.用面积法定义正弦

把边长为1，有一个角为A的菱形面积记作sin（A），也可写为sin A.

注：由此可得三角形面积公式S△ABC=absin C2=acsin B2=bcsin A2.

2.正弦的基本性质

sin 0°=sin 180°=0;sin 90°=1;

互补角正弦相等：sin（180°-A）=sin （A）.

3.直角三角形锐角正弦与边的关系

在任意直角三角形中，锐角的正弦值等于该角的对边和斜边的比.

4.增减性

若0°≤α<β<180°，且α+β<180°，则sin α

5.几个重要关系式

正弦和角公式：sin（α+β）=sin α·sin 90°-β+sin  （90°-α）·sin β;

正弦勾股关系：sin2α+sin2（90°-α）=1;

正弦差角公式：若90°>α>β>0°，有sin（α-β）=sin α·sin （90°-β）-sin  （90°-α）·sin β;

负角：sin（-α）=-sin α.

新体系下知识体系如下图所示：

二、余弦的定义和性质教学设计[2]

【教学目标】

1.理解余弦的概念及性质，掌握余弦和差角公式、正余弦倍角公式、积化和差公式、和差化积公式，能够利用余弦性质及相关公式进行解题.

2.掌握余弦概念的生成及性质公式的推导过程，发展符号意识，体会类比转化的思想，提升数学抽象和逻辑推理能力.

3.在正弦的基础上展開对余弦的学习，激发学生学习余弦的兴趣，体会正、余弦知识的联系，树立学生学习的信心.

【教学重、难点】

重点：

1.理解余弦的定义及其性质.

2.掌握余弦和差角公式、正余弦倍角公式、积化和差公式、和差化积公式.

难点：

1.理解余弦的性质.

2.掌握余弦和差角公式、正余弦倍角公式、积化和差公式、和差化积公式.

【教学过程】

一、回顾复习，引出新知

【教师活动】

教师先引导学生回顾上一章节学过的正弦和角、差角公式以及做过的练习题，指出当描述正弦公式时，频繁出现sin  （90°-α）这一形式，那么为了简化形式，从而能够更简便地表达和运用公式，我们引进一个新的记号：余弦.

设计意图：一方面能够帮助学生复习巩固正弦部分的知识，同时也为本节课的教学作铺垫;另一方面，让学生意识到简化sin  （90°-α）形式的必要性，激发学生学习兴趣，自然地引出余弦的教学.

【技术使用】

PPT（板书）展示余弦定义：∠A的余角的正弦，叫作A的余弦，记作cos A.用公式表示即：cos A=sin  （90°-A）.

二、顺枝取果，探究性质

【教师活动】

从定义我们可以看出，余弦的定义引入依赖正弦，二者之间存在密切的联系.接下来让同学们根据学过的正弦方面的知识，小组合作讨论推导出cos A的适用范围，以及余弦的基本性质.

设计意图：让学生根据已学的正弦知识自主推导余弦相关内容，在巩固知识的基础上，训练学生的推理能力，让学生从中体会类比和转化思想，同时提升学生的合作学习能力[3].

【学生活动】

学生小组讨论，并在讨论结束后展示成果.

【教师活动】

老师给予适当的点评，并给出具体解答：

余弦的适用范围：因sin A在-180°

余弦的基本性质：

（1）直角的余弦为0：cos 90°=0;

（2）0°角的余弦为1：cos 0°=1;

（3）平角的余弦为-1：cos 180°=-1;

（4）互补角余弦互为相反数：cos（180°-A）=-cos A;

（5）cos（-A）=cos A.

推导：

（1）cos 90°=sin（90°-90°）=sin 0°=0;

（2）cos 0°=sin（90°-0°）=sin 90°=1;

（3）cos 180°=sin（90°-180°）=sin（-90°）=-1;

（4）cos （180°-A）=sin[90°-（180°-A）]=sin （90°-180°+A）=sin （A-90°）=sin[-（90°-A）]=-sin （90°-A）=-cos A;

（5）cos （-A）=sin[90°-（-A）]=sin （90°+A）=sin[180°-（90°-A）]=sin （90°-A）=cos A;

【教师活动】

在进行简单的推导训练后，学生已经初步掌握了转化推导的基本方法，教师可“趁热打铁”，更进一步引导学生探究余弦的其他性质.如探究余弦的增減性，教师可连续发问：

问题1：我们知道余弦的适用范围是0°≤A≤180°，那么当A从0°增加到180°时，cos A是怎么变化的？

问题2：我们从余弦的变化趋势来看，在0°到180°范围内，α=β当且仅当cos α=cos β，那么我们能否证明呢？

【学生活动】

学生自主探究.

【生成预设】

学生在推导过余弦基本性质后，能够联想到通过正弦的增减性来推导余弦的增减性，但是严格的证明过程还需要教师指导.

【教师活动】

在学生给出一些想法后，教师给出正确解答：

证明：当0°≤α<β≤90°时，0°≤90°-β<90°-α≤90°，

故cos α=sin（90°-α）>sin（90°-β）=cos β.

当90°≤α<β≤180°时，0°≤α-90°<β-90°≤90°，

故cos α=-sin（α-90°）>-sin（β-90°）=cos β.

综上，当0°≤α<β≤180°时都有cos α>cos β，故α=β当且仅当cos α=cos β得证.

教师总结：我们可以看出，余弦的性质和正弦的性质大不相同.首先，锐角和钝角的正弦都是正的，而对于余弦来说，却是锐角正，钝角负.另外，在0°到180°范围内，互补的角正弦相等，而互补角余弦则相为相反数，最后，利用正弦和余弦的转化关系，可以简化公式，这就是余弦的好处.

设计意图：掌握余弦的基础的一些性质后，接下来教师就可以引导学生从余弦的小空间走出来，从更高的角度观察正弦和余弦两者之间的联系，也让学生明白我们为什么需要学习余弦，以及它有什么作用.

【教师活动】

在初中阶段，正余弦还是在直角三角形中运用的比较多，所以我们接下来要探讨直角三角形中锐角的余弦，根据余弦的定义和直角三角形中锐角的正弦就可以直接推出：

图1

在以AB为斜边的Rt△ABC中，锐角的余弦等于其邻边和斜边的比（图1），即cos A=sin B=bc，cos B=sin A=ac.

到这里，我们就把余弦的相关性质和定义都讲完了，但如果想要更好地解决问题，就需要掌握一些相关的公式.在正弦部分，我们学习了正弦和差角公式等等，根据余弦的定义，以及一些运算，我们可以很自然地得出几组公式.

教师示范公式推导：把正弦和角公式中的sin  （90°-X）换成cos X可以得到：

当0°≤α≤180°，0°≤β≤180°，0°≤α+β≤180°时有：

sin（α+β）=sin α·cos β+cos α·sin β.

那么对于余弦和角公式，我们可以借用正弦和角公式进行推导：

cos（α+β）=sin[90°-（α+β）]=sin[（90°-α）-β]=sin（90°-α）·cos β-sin β·cos （90°-α）=cos α·cos β-sin α·sin β.

接下来，教师让学生模仿自己的推导过程，将正弦差角公式、勾股关系化简，并推导出余弦差角公式.

【学生活动】

学生自主推导.

【教师活动】

教师展示结果：

sin（α-β）=sin α·cos β-cos α·sin β

cos（α-β）=cos α·cos β+sin α·sin β

sin2α+cos2α=1

教师继续引导学生思考，如果令α=β，在这种特殊情况下，正、余弦和角公式又会是什么形式？

【生成预设】

学生经过思考能够很快给出答案，从而得到正、余弦倍角公式：

sin 2α=2sin αcos β

cos 2α=2cos2α-1

【教师活动】

教师再进一步引导学生思考，有了正、余弦和差角公式，我们能否做一做变形，得出另一种形式的公式.

【生成预设】

学生经过尝试，可以发现将正、余弦和差角公式做加减运算，就可以得到公式：

sin α·cos β=sin（α+β）+sin  （α-β）2;

cos α·sin β=sin（α+β）-sin  （α-β）2;

cos α·cos β=cos（α+β）+cos  （α-β）2;

sin α·sin β=cos（α-β）-cos  （α+β）2.

【教师活动】

此时学生们已经得到积化和差公式，接下来就自然而然地引出一个问题，是否存在和差化积公式.

【学生活动】

学生自主探究.

【生成预设】

学生可以轻松发现只要将积化和差公式简单变个形，就能得到和差化积公式的雏形

sin（α+β）+sin  （α-β）=2sin α·cos β;

sin（α+β）-sin  （α-β）=2cos α·sin β;

cos（α+β）+cos  （α-β）=2cos α·cos β;

cos（α-β）-cos  （α+β）=2sin α·sin β.

但很多学生可能难以想到进一步换元.

【教师活动】

教师提示：接下来，只需要做一个简单的换元，令α+β=x，α-β=y，就可以得到和差化积公式：

sin x+sin y=2sin x+y2·cos x-y2;

sin x-sin y=2sin x-y2·cos x+y2;

cos x+cos y=2cos x+y2·cos x-y2;

cos x-cos y=2sin x+y2·sin x-y2.

以上，学生在教师引导和自主探究的基础上，探索出了一系列正余弦的相关公式.

探究公式部分设计意图：教师通过正弦和角公式变形推导出余弦和角公式的示范，引导学生进行一系列公式的推导.看似繁多的公式，在教师环环相扣的问题设置和循序渐进的语言引导下，学生能够自然流畅地推导出来，并且能够更容易地接受知识，很好地发挥了教师的引导作用和学生的主体性，同时能够充分锻炼学生的逻辑推理能力和抽象思维能力[4].

三、活学活用，例题精练

知识点教学完成后，进入巩固练习阶段，教师展示两道例题，先让学生自主练习，教师再进行讲解点评.

例1 已知△ABC的两边AB=c，AC=b，∠A=2α.求∠A的角分线AF之长（图2）.

解 利用面积关系S△ABF+S△AFC=S△ABC，再用面积公式并化简得：

c·AF·sin α+b·AF·sin α=b·c·sin 2α，

将倍角公式sin 2α=2sin α·cos α代入上式并整理得：AF=2bccos αb+c.

【教师活动】

教师对例1进行讲解，重点讲解利用面积公式解题的原因.在已知的一系列公式中，涉及边与角关系的公式有正弦定理和三角形面积公式，而在本题中，我们已知的角和边不是对应关系，所以不适合使用正弦定理，那么本题运用面积公式可以使AF是唯一未知量，进而可以求出答案.另外倍角公式是灵活运用.

例2 如图3，△ABC的两边高AD和BE交于点P，求证：APAD=cos  （α+β）cos α·cos β.

证明 在Rt△APE中，AE=APcos β;在Rt△ABE中，AE=ABcos（α+β），在Rt△ABD中，AD=ABcos α，因此得到：

APAD=APAE·AEAB·ABAD=1cos β·cos（α+β）1·1cos α=cos  （α+β）cos α·cos β.证毕.

【教师活动】

教师对例2进行讲解，重点讲解直角三角形中余弦的使用.本题要证明的是边角关系，而已学知识中与余弦相关的边角公式就是直角三角形中的余弦公式，将AP和AD放在不同直角三角形中表示出来，就可以很快解答.

四、课堂小结，回顾提升

本节课我们在正弦知识体系的基础上学习了余弦的相关内容，并做了一些补充.我们可以感受到整节课都是自然而流畅的，同学们要学会在学过的知识基础上来探索新内容，有利于掌握转化思想和抽象的数学思维，引领我们快速地进入一个崭新的殿堂.

三、余弦相关内容新体系教学的思考

传统教学与新体系教学的区别（如下表）

根据表3.1并结合余弦的定义和性质的教学设计，我们可以看出：

传统教学优势：

（1）正弦、余弦、正切三者一同教学，能够体现三角函数知识的整体性和关联性，能够帮助学生建立三角函数整体的知识框架.

（2）以锐角三角函数为重点，利用直角三角形和相似三角形引入讲解，使学生对余弦有一个更加直观的理解，总体上内容较简单，知识量小，学生能够轻松掌握.

新体系教学优势：

（1）新体系教学起点要求低，延伸性强，扩展性高.

新体系下的教学以小学知识作为“生长点”，开启正弦教学，从正弦到余弦一线贯串，并融入了一些高中阶段三角函数的知识，使余弦这株“小树苗”长得枝繁叶茂，内容丰富、精炼.学生能够在一课时内，掌握比传統课堂更丰富的知识，也就拥有了更多的解题工具.

（2）新体系教学便于理解记忆，有助于教与学.

新体系下的余弦是由正弦知识引出的流畅自然的知识内容，对于教师的教和学生的学都有促进效果.一方面，对于教师的教来说，在学习过正弦的基础上，教师能更容易地引导学生推导出相关结论，另一方面，对于学生的学来说，先以记号呈现的余弦，紧扣正弦，简洁明了，便于记忆.学生仅通过余弦的定义和正弦知识就可以推导得出余弦的性质和相关公式，掌握进入更深层次的学习工具.

新三角体系下余弦的定义和性质的教学有可取之处，值得我们借鉴并投入实践.

【参考文献】

[1]张龙军，熊莉莉，张景中，李兴贵.“一线串通”的初等数学新体系逻辑分析[J].成都师范学院学报，2019，35（11）：1-7.

[2]张景中，鼓翕成.一线串通的初等数学[J].数学通报，2010，49（02）：1-5.

[3]邹丹.正弦函数和余弦函数的性质教学与反思[J].数学教学通讯，2017（30）：48-49.

[4]张小凯，张宗余.三角恒等变换[J].中学数学教学参考，2019（Z1）：89-94.

[5]浦旦君.重组学材开放教学，采集生成驱动学程——以九年级“锐角三角函数”起始课教学为例[J].中学数学，2019（02）：22-23.