随机变量和的特征函数的性质与应用

吴雄韬， 史莉娟， 王朝霞

(衡阳师范学院 数学与统计学院， 湖南 衡阳421002)

1 引 言

特征函数是研究随机变量序列收敛问题的重要工具，大多数概率论与数理统计教材中，给出了独立情形下特征函数的基本性质[1].作者在2012年研究得到了非独立情况下二维随机变量特征函数与原点矩的关系[2]，构造了二阶组合数向量和二阶混合原点矩向量，建立了二阶组合数向量和二阶混合原点矩向量与二维随机变量和的特征函数在t=0处的二阶导数的关系.

本文将在文献[2]研究的基础上建立随机变量和的特征函数在t=0处的二阶导数与随机变量协方差矩阵的关系，并结合文献[3]的研究方法，得到了随机变量和的特征函数在等相关同分布和独立同分布情形下两个推论，证明了等相关同分布随机变量序列和的特征函数在t=0处的二阶导数的极限结果.

2 随机变量和的特征函数的性质

性质1随机变量X1，X2，…，Xn，其和的分布的特征函数φ(t)在t=0处二阶导数存在.协方差矩阵

A=(akm)n×n=Cov(Xk，Xm)，k，m=1，2，…，n，

φ″(0)∑A*=0.

证本文仅考虑随机变量X1，X2，…，Xn为连续型情形，随机变量其它类型情形可类似处理.

设随机变量X1，X2，…，Xn联合密度函数为f(x1，x2，…，xn)，则和的分布的特征函数为φ(t)，

由φ(t)二阶可导，则

=-∑A-∑μ*=-∑A*，

由此得

φ″(0)∑A*=0.

推论2随机变量X1，X2，…，Xn等相关同分布，其和的特征函数φ(t)在t=0处二阶可导，

E(Xk)=μ， Var(Xk)=σ2， corr(Xk，Xm)=ρ(k≠m=1，2，…，n)，

其中i为虚数单位，i2=-1，则

证设随机变量X1，X2，…，Xn协方差矩阵为A，依题意得

设

则

∑A*=nσ2+n2μ2+n(n-1)ρ2，

由性质1知

φ″(0)-n[σ2+nμ2+(n-1)ρ2]，

得

推论3随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，其和的特征函数φ(t)在t=0处二阶导数存在，

E(Xk)=μ， Var(Xk)=σ2(k=1，2，…，n)，

其中i为虚数单位，即i2=-1，则

3 例子与应用

解依题设易知

E(X)=0, Var(X)=1， E(X2)=Var(X)+E2(X)=1，

同理

E(Y)=0， Var(Y)=1， E(Y2)=Var(Y)+E2(Y)=1，

且

从而得φ″(0)∑A*=(-3)+3=0，结论成立.

例2等相关同分布随机变量序列X1，X2，…，Xk，…，前n项和的特征函数φn(t)在原点二阶可导，

E(Xk)=μ, Var(Xk)=σ2， corr(Xk，Xm)=ρ(k≠m=1，2，…，n，…)，

其中i为虚数单位，即i2=-1，则

4 结 论

本研究主要运用特征函数定义与性质研究得到了关于随机变量和的特征函数在t=0处二阶导数与协方差矩阵之间关系，给出了性质的两个推论，证明了等相关同分布序列和的特征函数在t=0处二阶导数的极限问题.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.