“金课”背景下强化线性代数应用教学的实践与探索

曹宏举， 郭巧丽

(1.大连外国语大学 软件学院，辽宁 大连116044； 2.大连东软信息学院 计算机科学与技术系，辽宁 大连116026)

1 引 言

线性代数是理工、经管类等专业学生必修的重要数学基础课，并且现在线性代数已经渗透到工程、经济、信息、社会等各个领域[1].但因为线性代数本身计算复杂、高度抽象、逻辑性强、概念多和结论多等特点，再加上传统教学重计算、重推理、轻应用，导致课程枯燥乏味，学生学习时往往不知道该课程的用处.这就使得学生不知为何学、不知学有何用，从而丧失了学习的兴趣和动力，最终学生认为课程难学、老师认为课程难教.在教育部号召“金课”的背景下，如何打破学与用之间的壁垒，为学生打开一扇窗，让学生在阴暗枯燥的学习暗室内可以看到窗外繁盛的应用之花，正是本文要讨论的内容.

2 强化线性代数应用教学的必要性

(i)激发学生学习内在能动性的需要.传统的线性代数教学忽视了应用的教学，导致学生要么在“将来肯定能用的上”的自我安慰中闷头学习，要么在“学这何用”的质疑中放弃[2].通过强化应用教学，可以让学生更好地了解到线性代数的应用，可以激发学生的学习热情和兴趣，从而实现“要我学”到“我要学”的转变.

(ii)提升教师自身教学水平的需要.如果授课教师长时间按照传统教学方式讲解传统的教学内容，会使得自己的教学内容和教学方式与时代越来越脱节，这无益于提升自己的教学水平、改善教学效果、完成“立德树人”的根本任务.反之，如果老师能够充分认识到加强应用教学的重要性，积极寻找相关应用的切入点，既可以更新自己的知识结构，使自己的知识获得源头活水，也能够更好地充实教学内容、提升教学水平、改善教学效果.

(iii)打造“金课”、破除“水课”的需要.2018年11月，教育部高教司吴岩司长提出了“金课”的标准，即高阶性、创新性、挑战度[3].高阶性就是知识能力素质的有机融合，是要培养学生解决复杂问题的综合能力和高级思维；创新性是指课程内容要反映前沿性和时代性，教学形式呈现先进性和互动性，学习结果具有探究性和个性化；挑战度是指课程要有一定难度，需要跳一跳才能够得着，老师备课和学生课下有较高要求.通过强化线性代数的应用教学，特别是和现代工程技术相关的应用，可以更好地挤压课程的水分、提高课程的含金量.

(iv)落实学院人才培养目标的需要.因为笔者教授的学生均为我校软件学院学生，所以线性代数教学改革服务于学院的办学定位和人才培养目标.我院面向东北亚区域经济发展和软件行业，以行业需求为导向、以工程实际为背景、以工程技术为主线，构建了“基本技能培养、专业技能培训、综合技能培育”上下贯通的多层次实践教学体系，同时具备外语院校语言优势和IT企业资源综合优势，着重培养兼具中国情怀和国际化视野的“计算机+外语”应用型人才.通过强化线性代数的应用教学，一方面可以让学生了解线性代数的工程实际背景，让他们较深入地了解线性代数应用和工程技术的紧密关系，达到培养基本技能、培训专业技能和培育综合技能的目标；另一方面，加强线性代数的应用教学，也可以为学生从事工程技术的学习和工作奠定必要的数学基础.

3 强化线性代数应用教学的实践

3.1 强化线性代数应用教学的原则

基于强化线性代数应用教学的必要性分析，立足我院实际，我们积极稳妥地开展相关实践，并借鉴了李大潜院士在[4]中提出的将数学建模思想融入数学类主干课程的意见，坚持以下原则：

(i)线性代数为主、相关应用为辅的原则.顺利完成线性代数的教学任务、保证线性代数的教学效果，是进行相关教学改革的出发点和落脚点.强化线性代数的应用教学，是这些改革的一个切入点，不能用线性代数的应用教学代替线性代数教学，防止应用喧宾夺主，否则只会过度增加学生的学习负担，最终使学生线性代数基础知识和线性代数应用两个方面都掌握不好.

(ii)自然、有效、简洁的原则.教学时选用的线性代数的应用应该不需要太多的铺陈，通过简短的介绍，就可以让应用与线性代数相关知识自然、有效地结合.这种水到渠成的结合，可以让学生轻松地感受到线性代数知识和相关应用之间的衔接，从而使学生体验到线性代数知识在实际中的广泛应用.

(iii)碎片化的原则.强化线性代数的应用教学，不追求这些应用自成体系、自我完善，选择线性代数的有关知识，进行碎片化的应用讲解，利用这些应用增加相关知识的趣味性和实用性.

3.2 强化线性代数应用教学的内容选择

线性代数中有很多知识点都有极强的应用背景，在准备线性代数的应用素材时，我们参阅了大量的教材和论文，并从中进行精心选择，汇总如表1所示.

表1 线性代数知识及其应用

(续表1)

表1中8、10、11、13、14，涉及到的线性代数知识比较综合，具有一定的挑战性，需要略微铺陈或推导；其余的应用涉及到的线性代数的知识都较为简单，对学生来说挑战性不太大，相关应用可以在讲课时作为例题讲解，不需要额外花费太多时间.

3.3 强化线性代数应用与数学建模的区别

需要说明的是，本文所说的强化线性代数应用与数学建模有很多的不同：

(i)过程不同.数学建模，是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题，每一个环节都需要过渡和训练；强化线性代数应用，是针对线性代数的某些知识点，通过强化应用以增加有关知识的趣味性，让学生更好地学习到有关知识，这些知识点和应用之间的衔接较为简单、直接，不需要或者不需要太多铺陈和训练.

(ii)目的不同.数学建模，是为了训练学生分析实际问题、建立数学模型、利用数学知识进行相关计算和根据计算结果去解决实际问题的能力；强化线性代数应用，则是为了让学生更好地掌握线性代数中的相关知识点，把数学应用作为更好地完成教学目标的辅助手段.

(iii)要求不同.数学建模，作为一个完整的过程，每个环节都必须让学生得到较为系统的训练，使学生通过学习数学建模可以获得一定的分析问题和解决问题的能力；强化线性代数应用，是为了增加有关知识点的实用性和趣味性，因此对于应用的要求较为灵活.

4 调查与反馈

为了贯彻教育部有关“金课”标准的要求，也为了增加学生对工程实际背景的了解、培养学生的工程技术素养，在笔者进行的教学实践中，表1中标号为2、8、11、13、14的应用都是相关班级必讲的内容；表1中标号为10的应用因为较复杂，在教学过程中，是作为素材提供给学生，供学生自学；表1中列举的其余应用，我们所使用的教材[5]中已经详细给出了讲解，因此我们会根据具体情况，有选择性地进行讲解.课程结束时，对加强线性代数应用的教与学的情况进行了调查.共计发放调查问卷153份，回收问卷127份，均为有效问卷.

4.1 强化线性代数应用教学的必要性认知调查

为了解学生对于线性代数应用教学的必要性认知，设计了三个问题，问题及调查结果如表2所示，表中数字是选择该选项的学生的占比，后文表格中数字同理.

表2 强化线性代数应用教学的必要性认知的问题设置及调查结果

以上问题表明:相当高比例(89.8%)的同学对线性代数的应用性抱有怀疑或疑惑的态度，如果老师不及时增加线性代数应用的教学，随着学习难度的加大、知识的累计和问题的叠加，学生学习线性代数的内在动力必然会逐渐受到打击.此外，大部分同学也希望在课程的学习过程中能够涉及到一些线性代数的应用，同时他们又不希望给自己带来太大压力.

4.2 线性代数应用的自学情况调查

为了解学生对于线性代数应用的自学情况，设计了四个问题，问题及调查结果如表3所示.

表3 线性代数应用的自学情况的问题设置及调查结果

以上问题表明：学生在学习线性代数应用时，对课堂教学存在一定的依赖性.这就要求老师要结合学生的实际需求和接受能力，在内容选择、讲解方式等方面进行更精心的准备.

4.3 强化线性代数应用的教学情况调查

为了解学生对于线性代数应用教学情况的体会，设计了四个问题，问题及调查结果如表4所示.

表4 强化线性代数应用的教学情况问题设置及调查结果

以上问题表明：通过线性代数应用的教学，学生对于线性代数应用的认知得到了进一步提高，同时也提高了学生学习线性代数的兴趣.因此，99.2%的学生对于我们加强线性代数应用的教学改革持肯定态度.

关于“就我们讲的线性代数的应用的数量，你的感觉是”，需要说明的是：鉴于笔者着重讲解的为表1中的标号为2、8、11、13、14的应用，属于难度较大的应用，特别是奇异值分解(表1中的标号为14)，有41.7%的同学认为它在这五个应用中是最难的；而最小二乘法(表1中的标号为8)，因为笔者是从微积分的角度切入，过渡到线性代数，学生接受起来较为容易，因此有66.1%的同学认为它是最简单的(排名第一)，同时也有33.1%的同学表示最感兴趣(排名第一).由此可见，在讲解线性代数应用时，既要考虑“金课”的标准，同时也要考虑学生的基础和接受程度，另外任课教师讲解有关内容时也要注意方式和方法.

5 调查综合分析

本论文设计的调查问卷涵盖了强化线性代数应用教学的必要性、教学各个环节和教学效果等多方面的问题，主要反映出来的问题有：

(i)对应用教学的必要性认知和学习主动性之间的差异

问题 尽管93.7%的同学认为有必要加强线性代数应用的教学，并且55.9%的同学也反应通过加强线性代数应用的教学，可以提高自己的学习兴趣，但如果只把材料提供给学生，完全让学生自学，就会有56.7%的学生不能自学相关内容.

措施 一方面需要注意通过布置学习任务、设置学习小组等方式，督促学生完成一些相对简单的应用的学习；另一方面，任课教师可以在课堂上对一些应用进行点题、指导或详细讲解等多种方式进行学习引领.经过教和学两方面努力，进一步提升学生的自学能力、帮助学生打开线性代数的应用之门.

(ii)“金课”标准和学生接受能力之间的差异

问题 从“金课”的标准上讲，讲授线性代数的应用需要一定的难度；考虑到学生的接受能力和数学基础等因素，如果讲的线性代数的应用太难，又会让学生望而生畏，反而进一步打击了学生学习的信心和兴趣.如奇异值分解，本来是线性代数的一个很重要的应用，但从讲解的效果看，相对于41.7%的学生的接受能力和基础而言，还是有些偏难.

措施 任课老师要平衡好“金课”标准和学生的接受能力，防止二者之间出现难以逾越的鸿沟，要让老师的讲解和相关素材的提供能够架起一座沟通之桥，使学生通过一定的努力即可以完成相关应用，让学生能够在线性代数基础知识和线性代数应用两方面都有收获.

6 下一步设想

强化线性代数应用是我们推进线性代数教学改革、增加线性代数课程含金量、强化课程工程实际背景的一个尝试.根据调查问卷、个别访谈以及课堂观察等渠道获得的信息，可以从以下三个方面进行继续探索：

(i)实施翻转课堂.因为线性代数的应用范围较广，再加上线性代数课时、班型等方面的限制，所以完全依赖课堂讲解来推进线性代数应用的教学非常不现实.考虑到学生在数学基础和接受能力等方面的差异，同时为了督导学生学习相关应用，可以实施翻转课堂，即：由教师提供一些有关线性代数应用的课题或学习指导，让学生组成学习小组，小组成员之间相互配合、分工协作，在课前完成相关应用的主要学习，老师在课堂上再进行必要补充、检测或完善.

(ii)开展数学实验.线性代数的计算较多，特别是涉及到矩阵的初等变换，对此，在确保学生已经基本掌握相关计算的前提下，可以适当减少不必要的繁琐计算；通过例题等方式直观展示一些结论，适当减少理论推导；引导学生利用MATLAB等软件进行科学计算，对有关知识进行验证或归纳.这样做的优点是[15]：一方面能节省课堂教学时间，让老师有更多的时间讲解线性代数的应用；另一方面也能让学生从复杂的数学计算中解脱出来，从而更有精力和心情去了解线性代数的应用.此外，熟练操作MATLAB软件，也是现代工程领域的必备素养之一，通过把线性代数和MATLAB相结合，也能培养学生的工程技术素养.

(iii)探索教学内容.任课教师要发挥团队优势，多方面搜集、整理和研习线性代数的相关应用，特别是与自己研究方向有关的一些简单应用.通过给学生介绍贴近工程实际、体现工程技术的线性代数应用的素材，让学生从中了解到线性代数与前沿科技的衔接，激发学生的兴趣、训练学生的基础，教师甚至可以从中发现具有一定研究能力的学生，并将其吸纳到自己的研究团队，提升学生的创新能力.

7 结 论

在线性代数教学过程中增加有关知识的应用的讲解，是我们贯彻教育部倡导的“金课”标准的一个尝试，也是执行我院的发展定位和人才培养目标的一个举措.教学实践表明，这项教学实验不仅契合了学生了解线性代数应用的需求，而且可以提高学生的学习兴趣，达到了我们预设的目标.但一方面需要照顾到课时、学生的数学基础、学习兴趣和课余时间等诸多限制，另一方面需要根据“金课”标准，确定素材的选择、讲解的难度、应用的深度等，如何平衡这两方面的需求，也需要在后续教学实践中不断完善.

致谢作者非常感谢相关参考文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.