特征函数在伽玛分布中一个恒等式的证明及推广

(四川民族学院理工学院 四川 康定 626001)

引言：特征函数是处理概率论问题的一个有力工具,但在实际的概率分析中直接利用分布函数、概率密度函数与分布列的情况较多[1].但在许多方面,特征函数比分布函数等具有更好的分析性质[2].本文使用特征函数证明了伽玛分布中的一个恒等式,并对恒等式的几种特殊情况予以了探讨。

1 特征函数的定义及其性质

定义[1]设X为一随机变量,则称φ(t)=E(eitx),-∞

当X为离散型随机变量时,有分布列pk=p(X=xk),k=1,2,…则X的特征函数为

当X为连续型随机变量时,有概率密度函数p(x)则X的特征函数为

引理[1]若E(Xl)存在,则X的特征函数为φ(t),可l次求导,且对1≤k≤l,有

φ(k)(0)=ikE(Xk)

2 利用特征函数φ(t)证明Ga(α,λ)中的一个恒等式

…

3 Ga(α,λ)中的一个恒等式的推广

证明 当α=n时,Γ(n)=(n-1)!,即有

定理3的结论亦可多次使用分部积分法算出，但运算量较大，使用本文的方法可以快速得出结论，化简计算.

定理5 当α=n,λ=1,为正整数时,令m=n+k-1有

证明 当α=n时,Γ(n)=(n-1)!,即有

定理5给出了数字阶乘与定积分之间的一个等式，有助于进一步理解阶乘与积分之间的一些联系.

4 结语

本文以特征函数论证了伽玛分布中的一个恒等式,并对这个恒等式的几种特殊情况予以了讨论.对于有些恒等式的证明.使用特征函数将使得证明更加巧妙与简单,把这种方法推广到其他分布的某些恒等式的证明之下,也具有良好的分析性质。