最小二乘法在劈尖干涉实验中的应用

花晓彬,花世群

(江苏大学 物理与电子工程学院，江苏 镇江 212013)

劈尖干涉实验是大学物理实验中有代表性的基础性光学实验之一。目前对劈尖干涉的研究主要有两个方面：1.应用研究，如直接将劈尖干涉仪用于测量激光波长[1]、材料的杨氏弹性模量[2，3]和基于劈尖干涉原理的液体折射率的测量[4，5]等；2.测量方法研究，如曲铁平等人通过研究空气劈尖等厚干涉条纹的反衬度，提出实验中应合理选择较低级次干涉条纹[6]，朱俊等人分析了移测显微镜十字叉丝竖线与测量运动方向的不垂直度对测量结果的影响，设计了提高移测显微镜测量精度的十字叉丝定向器[7]，并申请发明专利[8]。上述对劈尖干涉的研究，均未涉及到数据处理方法。本文基于劈尖干涉实验中，移动显微镜所测得的干涉条纹在水平方向的位置读数和级次，提出应用最小二乘法拟合空气薄膜上表面与垂直于棱边平面的交线方程,进而获取劈尖干涉仪所夹细丝直径值的新方法。

1 测量原理

图1所示的劈尖干涉仪，由两块光学平板玻璃一端叠合在一起，另一端夹一根细丝组成,位于上方的平板玻璃下表面与下方平板玻璃上表面之间形成的劈尖形状空气薄层，在单色平行光自上而下垂直入射时，利用空气薄层上、下表面对入射光的依次反射，产生如图2所示，与两玻璃板棱边平行的一系列明暗交替排列的直条纹，这些平行且等间距的直干涉条纹可近似认为分布在劈尖形状空气薄层上表面上。

图1 空气劈尖干涉装置

图2 空气劈尖干涉图样

利用如图1所示的劈尖干涉仪装置，测量用于产生空气劈尖的细丝直径D时，理论上可通过读数显微镜，先用图2中的显微镜叉丝竖线对准劈尖干涉仪棱边处的零级暗纹，转动读数显微镜鼓轮，最后将显微镜叉丝竖线对准细丝在距离棱边L处产生的暗纹，数出显微镜移动过程叉丝扫过的暗纹数K(等于劈尖干涉仪在细丝所在处产生的干涉暗纹级次)，再由下面公式计算得到[9]。

(1)

式中，λ=589.3 nm，为实验中使用的钠光源波长。

实际测量中，考虑到在距离棱边L处的干涉暗纹级次K值较大，不易准确读出，为避免条纹数的误读，通常都采用测量N条干涉条纹的分布长度LN，由计算得到的单位长度上的干涉条纹数N/LN，进而用公式(2)计算出细丝的直径[10]。

(2)

如图3所示，在劈尖干涉仪的棱边上选择一点o作为坐标原点，经过o点做一个垂直于劈尖棱边的截面，在该截面内建立如图3所示的平面直角坐标系xoy，其中，x轴建立在与直干涉条纹相垂直的方向(即测量干涉条纹位置时读数显微镜的水平移动方向)，y轴建立在竖直向上方向。

图3 垂直劈尖棱边平面直角坐标系

设图3中劈尖形状的空气层上表面与平面直角坐标系xoy的交线为op，则交线op在xoy平面内的直线可表示为如下方程

y=kx

(3)

其中，k为直线op的斜率。

若在图2中移动读数显微镜观测干涉条纹时，显微镜中的十字叉丝竖线起始对准的条纹位置读数为s0，沿与干涉条纹垂直的方向(即x轴正方向)移动读数显微镜，连续测得图2中每隔N个条纹的位置读数，并将结果分用s1、s2、…、sM(M表示测点的数目)表示。现将平面直角坐标系xoy的原点o平移到条纹的起始测量位置o′处，则在平移后的平面直角坐标系x′o′y′中，上述M组条纹位置测点的横坐标可用公式(3)表示为

(4)

考虑到空气劈尖干涉实验中入射光的垂直入射条件，相邻两个级次的暗纹在竖直方向空气层厚度差为二分之一波长，则在平面直角坐标系x′o′y′中，上述M组条纹位置测点的纵坐标值可用公式(5)表示为

(5)

y′=kx′

(6)

将方程(6)中拟合得到的直线斜率k和图1中细丝相距棱边的距离L作为横坐标值一同代入方程(3)的右端，算得的乘积即为细丝直径值D。

2 实验结果

为验证文中提出的新的数据处理方法，按通常的实验操作步骤对长度L=55 mm空气劈尖进行了实际测量，N=30，M=4，其他数据见表1。

表1 条纹位置坐标数据 (10-3mm)

采用最小二乘法，将表1测量数据代入公式(6)进行直线拟合(如图4所示)，拟合结果如下：

图4 交线op直线方程拟合

y′=0.001 922 54x′,R2=0.999 999 54

将拟合所得交线op斜率k=0.001 922 54和L=55mm一同代入方程(3)的右端，求得细丝直径D=0.105 74mm。

由表1测量数据，可得30条干涉条纹的分布长度平均值LN=(34.798-16.401)/4=4.599 2mm，按公式(1)求得的细丝直径值D=0.105 71mm。比较新旧两种数据处理方法所得结果，两者相对误差为0.031%。

3 结 语

通过将空气劈尖干涉实验中观测到的等厚干涉条纹位置读数和级次差数据，转化为劈尖干涉仪中空气薄层上表面与棱边相垂直的直线上的测点坐标，并采用最小二乘法拟合直线方程,求得细丝直径的新方法不仅可行，而且结果可靠的。另外，新的数据处理方法不仅通过实验中体现的物理原理和思想，强化了学生对劈尖等厚干涉特点的理解，还训练了学生学会用物理语言和基本的数学方法处理科学问题。