古今对照 发展学生数学公理化思想*——以等腰三角形两底角相等为例

胡永强 刘志峰 孙丹丹

(1.苏州市阳山实验初级中学校 215151；2. 深圳市福田区红岭中学深康校区 518000；3.华东师范大学数学科学学院 200241)

1 引言

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：数学课程能培养学生的抽象思维和推理能力. 推理包括合情推理和演绎推理，演绎推理是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)和确定的规则(包括运算的定义、法则、顺序等)出发，按照逻辑推理的法则证明和计算[1]. 《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养. 逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质[2]. 上述两份标准都将逻辑推理放在十分重要的位置，字里行间渗透着强烈的公理化理想. 公理化思想方法是数学中十分重要的思想方法，是总结和表述以往数学知识的科学方法，有力地促进和推动着新的数学理论的创立. 它不仅是数学研究的重要方法，而且是研究其他自然科学的重要方法，在人类文明的几乎所有领域都具有十分重要的作用[3].

苏科版七年级下册“证明”一章设有“证明”一节，举例说明了证明的必要性及《几何原本》中蕴含的公理化思想，旨在严谨地介绍何谓数学证明，教材指出由基本事实出发，可以证明之前曾探索、发现的有关角及平行线的许多性质是正确的，之后选择了若干有关平行线、三角形的命题进行了严格的证明. 在这节课的具体教学中，教师往往把重点放在了具体命题的推导上，忽视了逻辑推理过程背后的公理化思想，从而造成学生对平面几何体系缺乏宏观认识，对基本事实、定理和命题的关系缺乏基本的思考.

基于此，在初三一轮复习之际，笔者围绕“等腰三角形两底角相等”(以下简称“等边对等角”)这一命题设置了一节古今对照阅读课，引导学生阅读教材(苏科版)和《几何原本》(以下简称《原本》)中对该命题的证法，寻找二者的不同之处，借助《原本》更“极致”的公理化体系，帮助学生更好地理解感悟公理化思想，提升学生对公理化思想的认知水平.

2 历史素材

亚里士多德(Aristotle，公元前384～前322)就论证模式做了比较系统的阐述，主要包括两个关键问题，一个是关于论证的开始，最初的概念不需要解释，最初前提不需要论证，另一个是关于论证的过程，提出了包括“大前提、小前提、结论”三段论在内的推理形式，后来亚里士多德提出的推理形式成为了数学证明的主要方法[4].

亚里士多德学说在随后的古希腊数学家欧几里得(Euclid，公元前300年前后)编著的《原本》中得到了较为完美的运用和体现. 欧几里得在《原本》中应用了公理化方法，将古代关于几何的经验知识条理化、系统化为一个合乎逻辑的体系[5]. 《原本》包括13卷，除了第一卷给出了5条公理和5条公设之外，其余各卷均是由定义和命题两部分组成. 《原本》把一些不证自明的结论定义为公理与公设，就是这些不证自明的原始概念构成了演绎证明的逻辑基础，奠定了几何体系的基本结构. 它对人类文明的最大贡献在于使用演绎方法构建了一个公理化体系，使得人们对数学的认识可以从经验上升到理性，从具体上升到一般，这是人类建立的第一个能够被称为科学的学科体系[4].

特别地，“等边对等角”是《原本》第一卷命题5(下文所述命题均来自第一卷)，在此之前给出5条公理、5条公设和4个命题，其中命题1是作等边三角形、命题2是作一条线段等于已知线段、命题3是在长线段上截取短线段、命题4是两边及夹角相等(SAS)证明三角形全等. 对于命题5，欧几里得给出的证法是延长两腰，在延长线上截取两条相等线段，构造并证明两对全等三角形，具体证法如下[6]：

已知：如图1，在△ABC中，AB=AC.

图1

求证：∠ABC=∠ACB.

证明：延长AB到D，延长AC到E. [公设2：一条有限直线可以继续延长.]

在BD上任取一点F，在AE上截取AG=AF. [命题3]

连接FC、GB. [公设1：由任意一点到另外任意一点可以画直线.]

在△ACF和△ABG中，

所以△ACF≌△ABG. [命题4]

所以∠ACF=∠ABG，∠AFC=∠AGB，FC=GB. [命题4]

因为AF=AG，AB=AC，

所以AF-AB=AG-AC. [公理3：等量减等量，其差仍相等.]

即BF=CG.

在△BCF和△CBG中，

所以△BCF≌△CBG. [命题4]

所以∠BCF=∠CBG. [命题4 ]

所以∠ABG-∠CBG=∠ACF-∠BCF. [公理3]

即∠ABC=∠ACB.

1898年希尔伯特出版的《几何基础》一书中系统地提出了形式公理化的方法，他还在书中提出了公理选取或设置的三条要求：第一，相容性，公理之间是无矛盾的，即不可能从公理出发，用逻辑推理的方法证明一个命题是正确，同时它的否定形式也正确；第二，独立性，任何一条公理都不能由其他几条公理推理而得；第三，完备性，从公理系统能够推导出该数学分支的全部命题[7].

公理化方法不但影响了数学的发展，而且对整个人类文明带来了深刻的影响，它孕育了一种理性思维的精神[4]. 公理化体系不仅是数学学科构建的基础，在自然科学及社会科学中也有广泛运用，例如，牛顿力学、爱因斯坦相对论都是从几条基本原理演绎出来的理论体系，由托马斯·杰斐逊执笔起草的《独立宣言》也借鉴了公理化思想.

3 教学设计与实施

基于对教材和历史的分析，结合学生的认知水平，笔者选定等腰三角形“等边对等角”的性质作为载体，渗透数学公理化思想，原因有三：一、该命题证明过程主要涉及对三角形全等判定和性质的灵活运用，符合初中一轮复习阶段学生最近发展区；二、该命题是《原本》由公理、公设和定义推导出的第5个命题，通过这个命题容易看出如何从事实和已证命题出发推导未知命题，从而感受公理化思想方法；三、该命题《原本》中的证法和教材证法不同，非常适合用来比较，以此触发学生对公理化思想的探究.

本节课教学目标设定如下：1.通过分析教材及《原本》中对“等边对等角”的证明，感受数学证明的逻辑严密性，发展学生的演绎推理能力；2.通过对比教材和《原本》的几何体系，更深入地领会数学公理化思想；3.通过对教材与《原本》公理化思想的感悟，培养学生理性精神.

在实施本节课之前，我们梳理并印发了相关材料供学生预习及课上使用，材料包括三部分：1.欧几里得和《几何原本》的简介；2.《几何原本》的5条公理、5条公设；3.第一卷的相关定义、《几何原本》命题5的证法(用现代符号语言表达)、上课可能用到的相关命题，主要包括第一卷命题9、10和12，分别对应作角平分线、作线段中点、过直线外一点做该直线的垂线，第一卷命题8和命题26，分别对应“SSS”和“ASA”“AAS”判定三角形全等.

本节课的主要设计和实施教学环节如下：

(1)古今共现说证法

问题1如何证明命题“等腰三角形两底角相等”？

生1：先画出图形并将文字命题转化为符号命题，再作顶角平分线，用“SAS”证明两个三角形全等，从而证明命题.

生2：作底边上的中线，用“SSS”证明两个三角形全等，从而证明命题.

生3：作底边上的高，用“HL”证明两个直角三角形全等，从而证明命题.

师：同学们说的很好，这3种方法也是教材给出的证法.

【教学意图】引导学生思考教材对命题“等腰三角形两底角相等”的3种证明方法，为与《原本》证法对比作铺垫.

问题2还有没有其他证法？欧几里得在《原本》中用什么方法来证明该命题的？

师：请同学们阅读《原本》中的证明方法.

生4：欧几里得是延长两腰，在延长线上截取两条相等的线段，两次证明全等，得到两组相等的角，再相减证明出结论.

(教师依照学生的具体解释板演欧几里得证法. )

师：同学们对欧几里得的证法有什么看法？

生众：欧几里得的证法比教材的证法复杂.

师：欧几里得选用“复杂证法”的原因是什么？

生5：难道是欧几里得没有想到这些简单的方法？

师：事情可能不是那么简单.

【教学意图】学生通过阅读《原本》的证法与教材证法，发现《原本》证法较为“复杂”，产生认知冲突：我们一次全等就能证明，欧几里得为何选择了这么“复杂”的二次全等证法？为探究公理化思想奠定基础，激发探究动机.

(2)今昔对比析原因

问题3《原本》为何采用这种“复杂”证法？

师：请同学们思考交流一下这个问题可以从哪几个角度分析呢？

(学生小组思考交流)

生6：推理是有前提的，我觉得可以从最基础的地方进行分析.

师：你说的很好. 万丈高楼平地起，几何的大厦也是有根基的，下面我们就从《原本》和教材的“根基”开始研究. “根基”在《原本》中叫“公设”与“公理”，在教材中叫“基本事实”. 请同学们分析《原本》与教材的“根基”有何异同？

生7：它们都是一些简单易懂的结论，它们都不用证明.

生8：都是从这几条基本事实出发，证明其他命题.

师：很好，刚才两位同学说出了一些相同点，它们有什么不同点？

生9：《原本》的“根基”更加基础，教材的“根基”中有的是《原本》中的命题.

师：你说的很好. 《原本》为了追求公理体系的严密性以及“根基”的最简化，选取了非常基础的5条公设和5条公理作为推理的起点，教材考虑到同学们的认知基础，除了选取一些基础结论作为基本事实外，还选取了一些《原本》中的定理作为基本事实，降低了大家学习几何的难度.

【教学意图】引导学生从推理的起点寻找不同证法的原因. 通过对比两种几何体系的基本事实，让学生对基本事实的特点有所了解，理解两种不同几何体系逻辑起点的差异性与一致性，初步感受公理化思想.

师：还可以从什么角度分析呢？

生10：我觉得可以从辅助线的添加方法角度分析.

师：很好. 教材证法需要添加角平分线、中线或高，这些辅助线的作图在《原本》中处于什么位置？

生10：命题9是作角平分线，命题10是作线段中点，命题12是过直线外一点作垂线.

师：对此你有什么想法？

生10：命题之间是有先后逻辑顺序的，在《原本》中“等边对等角”是命题5，作高、中线、角平分线的方法都在命题5后面，因此欧几里得未采用作“三线”的方法证明.

师：还可以从什么角度分析呢？

生11：可以从判定三角形全等的方法上分析.

师：说来听听.

生11：在《原本》中“等边对等角”是命题5，“SAS”是命题4，“SSS”是命题8，“ASA”“AAS”是命题26，没有找到“HL”. 因此只能用“SAS”证明全等.

师：你说的真好！现在你对《原本》命题5的证法的认识有哪些变化？

生11：我现在不认为欧几里得没有想到教材证法了，《原本》的基本事实非常基础、推理步步有据、逻辑体系非常严密，今后我要好好阅读《原本》.

【教学意图】引导学生多角度分析《原本》采用“复杂”证法的理由，从“等边对等角”推导过程所用辅助线和论据两方面入手，发现命题证明需要建立在已有结论基础上，步步有据，感受推理的严密性和公理化思想.

(3)深度剖析促理解

问题4为了使证明变简单，可将《原本》的相关命题重新排序？

师：关于重新排序你有哪些建议？

生12：为了使用教材中作顶角平分线证法，可以将原本的命题9(二等分已知角)提到命题5之前.

师：请大家阅读《原本》命题9，思考生12的建议是否可行？

生13：不可行. 命题9用到了命题8的结论.

师：还有其他建议吗？

生14：可以将《原本》的命题10(作中点)和命题12(作垂线)提前到命题5之前.

师：请大家阅读《原本》命题10和命题12，思考生14的建议是否可行？

生15：不可行. 《原本》中命题10和命题12都用到了命题5后面的结论，无法提到命题5的前面.

【教学意图】引导学生讨论是否可以调整命题顺序让证明变得简单，感悟《原本》的逻辑严密、环环相扣及命题推理具有顺序性，再次加深对几何公理化思想的理解.

(4)背景介绍显底蕴

播放微视频，介绍《几何原本》诞生背景、基本信息及其经久不衰的影响力.

【教学意图】帮助学生在对比分析的基础上，全面了解《原本》的编排特点、对数学及其他学科的影响、在我国的传播和使用情况等，对学生进行文化熏陶.

(5)反思小结拓视野

教师组织学生回顾本课收获、困惑等，引导学生阅读“与众不同”的公设5，简单讲述古人对公设5所做的研究，19世纪罗巴切夫斯基等人通过否定公设5，创立非欧几何，被誉为“几何学中的哥白尼”，德国数学家高斯在罗巴切夫斯基等人之前就发现了非欧几何，但是他因担心遭到顽固分子的攻击，生前并未公开自己的研究成果，从而丧失了非欧几何创始人的地位.

【教学意图】小结本课所学内容的同时提出新的问题开拓学生视野，帮助学生感受古人持之以恒的探索精神；探究过程中的创新和突破；学术研究要大胆发表自己的见解等精神品质.

4 学生反馈

课后，结合本课的教学目标，对学生进行了问卷调查，问卷共8题.

前两题考查学生对几何基本事实的认识. 85%的学生认为基本事实简单易懂，世人皆知，92%的学生认为基本事实是进行后续研究的基础和依据.

中间四题考查学生对公理化思想的理解. 98%的学生认为只能用基本事实或已经证明的定理作为依据. 78%的学生认为基本事实是推出定理的基础，是几何大厦的地基. 96%的学生认为几何学逻辑性强、严谨、步步有据.

最后两题考查学生对几何及公理化思想理解的变化. 主要体现在3个方面：一是学生对公理化的思考变得深刻，比如：“基本事实是固定不变的吗？”、“公设和公理能否由更基础的结论推导出来？”、“公理化有什么作用？”、“几何证明有尽头吗？”；二是学生对几何学的兴趣变得浓厚，比如：“发现几何很有意思”、“这节课使我对几何有了更为深入的了解，有如拨开云雾见到了天日，恍然大悟，充分的感受到几何的魅力与价值”；三是学生对数学家更加仰慕和尊敬，比如：“欧几里得智慧过人”、“领略了前人对于几何研究的才华与风采”、“学到了古人做学问的严谨态度”.

从问卷结果可以看出学生对基本事实作为几何推理的起点已经基本理解，对逻辑推理规则的认识达到较高的水平，对几何学的兴趣有所增加，从古人身上学到了许多优秀的治学品质.

5 课例评析

5.1 数学史的运用方式

本节课中，数学史的运用方式主要有“附加式”“复制式”和“重构式”[8]. 用微视频介绍《几何原本》的历史及影响等属于附加式，将《几何原本》命题5的证明过程改编为学生熟悉的符号语言提供给学生属于复制式，引导学生对比分析教材和《原本》中关于“等边对等角”这一命题的不同证法的原因及探究重新排序问题属于重构式.

5.2 数学史的价值

学生通过对比分析教材与《原本》中“等边对等角”的不同证法，发现教材和《原本》都是从事先给定的几条基本事实出发，逐步演绎推理证明出新的定理，二者的公理化思想是一致的，在感悟公理化思想方法的同时体会几何证明的“方法之美”和几何体系的“知识之谐”.

学生对比发现对于命题“等边对等角”《原本》证法比教材“复杂”之后，教师及时用问题引导学生探寻产生这种不同背后的原因，最后学生发现二者所选的基本事实和命题的编排顺序均有所不同，随后教师又组织学生尝试改编《原本》中命题的编排顺序，发现《原本》的编排逻辑严密、环环相扣、步步深入，这一过程体现了“探究之乐”.

本课加深了学生对公理化思想的理解，提升了逻辑推理素养，此外也培养了学生的阅读能力、文献查阅能力、分析能力等，体现了数学史在发展学生综合素养方面的“能力之助”.

通过阅读《几何原本》及观看微视频，学生了解到《原本》从5条公设和5条公理演绎和发展出400多条定理，公设和公理是几何发展之滥觞；公理化思想在推动自然科学及社会科学等学科发展方面发挥了重要示范作用，体现了学科联系，这些都很充分地展示了数学史的“文化之魅”.

在本课的学习中，学生深刻感受到欧几里得编著《几何原本》这一巨著的辛苦和伟大，坚定了学好几何的信念；此外，学生在阅读分析不同证法的过程中，摒弃以自我为中心的做法，不断与古人“对话”，学会“倾听”古人，进而学会倾听今人，较好地达成了“德育之效”.

6 结语

《原本》为学生学习和感悟公理化思想提供了很好的载体. 受教材编写及学生认知水平等因素的制约，在平时课堂教学中几何体系被分割成若干个知识点分散到不同时段学习，这使学生学到的几何知识是零散的，大大降低了学习和体会公理化思想的效果，未能很好地发挥出几何学对培养人的理性精神的重要价值. 笔者以初三一轮复习为契机，以“等边对等角”这一性质的证明为载体，渗透公理化思想的同时培养学生逻辑推理素养. 从课后学生问卷结果中可以看出，学生对公理化思想较之以前有了更为清晰的认识和更为深刻的理解.

但是，仔细反思，本课还是留下一些遗憾，由于学生平时很少进行这种模式的学习，缺乏学习经验，加之课堂时间有限，导致本节课师生之间的对话较多，生生之间的交流偏少. 公理化思想的理解是一个长期的过程，本节课只是这个过程的一个开端，还需要在后续的教学中不断安排类似课程的学习，以逐步提高学生对公理化思想的理解及对数学理性精神的欣赏水平.