数学解题教学应从“模糊”走向“精确”*——以“寻找导数压轴题求解方向”为例

李金蛟

(江苏省常州市第一中学 213003)

1 引言

高考结束时听到考生抱怨：“老师在高三一年讲了那么多例题，可对解压轴题一点作用都没有，我好容易想到方法了，交卷的时间又到了”,话说得虽然有点极端，但也反映了当前高中数学教学的现实：高中数学解题教学仍停留在“模糊阶段”，即学生寻找解题方向主要依靠题型的模式识别和学生自己偶尔产生的“灵机一动”，教师讲解例题的主要作用是帮助学生完善“题型库”，对解决新颖的、复杂的、有思维含量的压轴题成效甚微.笔者认为要改变当前这种低效的窘境，适应高考命题从能力立意到素养导向的变革，数学解题教学必须从“模糊”走向“精确”：在认清数学题目本质的基础上, 借助信息加工、数学推理等手段，寻找确定数学解题方向的理由，向学生展示清晰、合理、量化的解题方向寻找过程，为他们求解题目提供具体的规范的“操作指南”，以便他们有所遵循，从而快速解题.笔者带着这样的设想，接受了A中学的邀请，以“寻找导数压轴题的求解方向”为题上了一堂公开课，课后学生反馈有新意更有所获.

2 实录

师：同学们，在求解导数题时你们遇到的主要困难是什么？

生：导数压轴题题型繁多，解法复杂多变，不知如何寻找方向，因而难以入手.

师：我们这节课就来研究：如何“精确”寻找导数压轴题的求解方向.

2.1 “探”——从特殊情形“探”出结果，由结果反过来可以“精确”寻找解题方向

例1(2020年全国新高考1卷)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)略(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．

师：本题表述相当简洁，但题目越简洁内涵越丰富.大家思考一下：题目的本质是什么？

生1：本质是对于任意正数x，不等式aex-1-lnx+lna≥1恒成立，求a的取值范围.

生2：我认为本质是解关于a的不等式：aex-1-lnx+lna≥1，其中x是任意正数.

师：两位同学对题目本质的表述都是正确的，但角度不一样.我们先思考第一位同学的表述，前面我们曾经总结过恒成立问题的方法，有哪些基本方法？具体到本题你如何评价？

生：有两种基本方法：方法一是分参法，但这里无法分离出参数a，所以此法不好采用；方法二是用导数研究函数f(x)的最小值，应该可以采用，但操作起来比较麻烦.

师：你的意思是方法一不可用，方法二不想用，那怎么办呢？我们知道数学题目常会留下命题人给的“痕迹”，大家能否从题目中找到“痕迹”，即蕴藏了什么特殊信息，或许可以由此“猜”出结果？

生：我看到命题人留下的一个“痕迹”：不等式aex-1-lnx+lna≥1中有 “=”号，它蕴藏了特殊信息，即何时取到“=”？当x=1且a=1时取“=”号，但下面我不知如何办了？

师：有进展，但不知怎么办啦，我们不能忘掉“初心”：对于任意正数x，不等式aex-1-lnx+lna≥1恒成立，求a的取值范围.大家有什么进一步的想法？

生：先取x=1探探路，得到a+lna≥1，我猜a的取值范围是[1,+∞).

设g(a)=a+lna，则g(a)在(0,+∞)上是增函数，故得到a≥1.

下面只要证明当a≥1时，f(x)≥1.

当a≥1时，

f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx，

所以h′(x)在(0,+∞)上单调递增，而h′(1)=0，故可得到[h(x)]min=h(1)=1，

因此f(x)≥1.所以a的取值范围是[1,+∞).

师：此方法从题目中的特殊信息出发，寻找等号成立的条件，由特殊情况引路，得到结论，再在一般情形下进行认证，这是求解数学题的基本思路之一. 人类在探索未知世界时，常常也不知道路在何方，需要经历一个探索、猜想、认证的过程，具体到数学问题，我们常借助特殊情形、观察图形、定性分析、直觉感知等手段对结果先有个粗浅的了解或估出大致的范围，再逐步逼近本质.下面我们思考第二位同学的表述，如何求解不等式：aex-1-lnx+lna≥1呢？

生：此不等式不是我们熟悉的常规不等式，我们无法直接求解，我想只可以运用函数的单调性求解，但是1不能写成函数f(x)的函数值，而且f(x)没有单调性啊！

师：你的意思是原不等式如能化成f(x)≥f(t)(其中t为与a及x有关的式子)的形式，同时f(x)又有单调性，这个设想很好，但怎么实现不了呢？问题是一定是用函数f(x)来表达吗?

生：不一定，可以更一般化，只要能写成u(x)≥u(t)的形成，同时u(x)又有单调性，那就能求解.

师：那不等式aex-1-lnx+lna≥1能实现上述目标吗？

生：能.因为aex-1-lnx+lna=elna+x-1-lnx+lna,所以aex-1-lnx+lna≥1等价于

elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx,

令u(x)=ex+x,

上述不等式等价于u(lna+x-1)≥u(lnx),

显然u(x)为单调增函数，

所以u(lna+x-1)≥u(lnx)又等价于

lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1，

在(0,1)上v′(x)>0,v(x)单调递增；

在(1,+∞)上v′(x)<0,v(x)单调递减，

所以v(x)max=v(1)=0,lna≥0，即a≥1；

所以a的取值范围是[1,+∞).

师：很好，我们实现了第二位同学的想法，说明做任何事都有前期的设计，但我们初始的设计可能是理想或特殊情形，实施中遇到了困难，我们要依据题目特点进行调整修正，如推广到更一般情形求解，再运用函数的单调性实现化归，这也是另外一种情形的“探路”.

回顾数学题是由人来“命制”的，精美的题目背后蕴藏诸多的人为的“巧合”和“特例”，如从这些“巧合”和“特例”出发，探求问题的本质并猜想一般结论，再逆向证明猜想的正确性，这也是我们寻找解题方向的基本思路之一.

2.2 “靠”——将条件与结论相互“靠拢”，当“靠”得足够近时，思路就“水落石出”了，解题方向就是它们之间的相互“靠拢”

例2(2018年高考江苏)记f′(x),g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数．若存在x0∈R，满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”．

师：本题属于新定义题，加上“任意”、“存在”等信息的双重干扰，我们看了几遍可能对题意仍不得要领，我们不应“原地待命”，而应向前走，可以先易后难、先形式后本质，即选取形式上好操作的先动起来，让条件与结论之间相互“靠拢”，边做边想，做了上一步就容易想出下一步，甚至才能想出下一步.具体到本题，哪一个“点”能向前“走两步”呢？

生：我认为结论中的“函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内是否存在‘S点’”可以向前“走两步”：按照题目条件中的定义，“f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)”可转化为

生：式子(*)可向条件“对任意a>0”靠拢，只要将(*)中两式相除消去b，得到关于a、x的式子.

师：将条件“对任意a>0”和结论“使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在‘S点’”连起来看，到底是什么意思？得到的式子应按照谁作为主元来排列呢？结果是什么？

生：相当于“对任意a>0，关于x的方程始终有解”，所以得到的式子应以x为主元来排列.下面的结果是：只要证明对任意a>0，关于x的方程x3-3x2-ax+a=0始终有解.

师：如何证明一个高次方程在(0,+∞)内有解呢？具体如何实施？

生：用区间根存在定理.区间的一个端点显然可选取0，而另一个端点取1比较方便，因为这样得到的是一个与a无关的定值.

师：很好！那对照题目结论中的另一个要求“是否存在b>0”，(*)又该如何操作呢？

生：将(*)中第二个式子变形，将b用x来表示，看看b是否大于零.

生：对任意a>0，

设h(x)=x3-3x2-ax+a．

因为h(0)=a>0，h(1)=1-3-a+a=-2<0，

且h(x)在定义域上图象是不间断的，

所以存在x0∈(0,1)，使得h(x0)=0．

由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x)，得

此时，x0满足方程组(**)，即x0是函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内的一个“S点”．

因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”．

师：假如令h(x)=f(x)-g(x)，那么原题用h(x)如何叙述呢？

生：老师，那此题目的背景就与江苏省2017年高考数学试卷第20题的背景就一样了.

师：联想得好！原来此问题的背景和我们非常熟悉的函数零点问题背景本质是一致的.

回顾数学解题的本质就是在条件与结论之间架起联通的桥梁，让它们相互靠近、相互转化，最终相互融合，实现解题的目标.所以当题目的条件与结论之间“距离”较远时，此时解题的方向就是将它们相互“靠拢”，当“靠”得足够近时，解题思路就清晰了．

2.3 “换”——对难以入手的压轴题进行换“元”、换“式”、换“题”等“整容手术”后，“威严高冷”的压轴题就“变”成了“和蔼可亲”的常规题

师：我们每个人的解题能力其实都是有限的，从某种意义上说，我们只会做简单的题，但我们可以借助合适的工具把不会做的题目转化成会做的题目，我们的工具之一就是“换”，对于“换元法”，大家已耳熟能详了，就不再涉及，今天我们研究其它类型的“换”法.

例3(2019年高考江苏题)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),f′(x)为f(x)的导函数．

师：哪位同学能用简洁的语言叙述一下题目的意思？

师：a、b、c三个字母中a和c的值都已经知道了，但b不知道，只告诉我们一个范围，这确实增加了题目的难度，如果换成什么类似的题，你就会做了？

生：老师，如果b的值知道了，我就会做了(众人大笑).

师：有道理啊,如b的值由你定，你觉得取什么值比较好？

师：你们认为哪种取法与原题相关性最好呢？为什么？

生：啊，老师,我发现了命题者的“痕迹”(有点激动)：先求出当a=0,b=1,c=1时f(x)在(0,1)上的极大值，再求证f(x)恒不大于这个极大值就行了.(具体解题过程略)

例4(2017年高考全国Ⅰ卷理科数学)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)略；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

师：由于时间关系，我就直接投影本题的详细解答，同学们认真研读后，看看有什么疑问可以提出来，供大家讨论.

解答：(2)(i)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点;

(ii)若a>0，由(1)知，当x=-lna时、

f(x)取得最小值，最小值为

①当a=1时，由于f(-lna)=0，

故f(x)只有一个零点；

即f(-lna)<0.

又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0，故f(x)在(-∞,-lna)有一个零点.

因此f(x)在(-lna,+∞)有一个零点.

综上，a的取值范围为(0,1).

生：在“f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0”中，怎么想到x取-2呢？

师：我们设要取的值是x0，且x0<-lna，那么f(x0)=ae2x0+(a-2)ex0-x0>0，我此时也不知道x0取多少了，但即使已知x0的值，代入求f(x0)的值也比较困难，事实上我们只要找到一个使f(x0)>0成立的x0就可以了.遇到此种情况，我们该如何处理？

生：将f(x0)进行缩小，即用比其小的式子来“替换”它：f(x0)=ae2x0+(a-2)ex0-x0=ae2x0+aex0-2ex0-x0>-2ex0-x0，下面只要取的x0的值，让-2ex0-x0>0.

师：怎么想到用“-2ex0-x0”替换“ae2x0+aex0-2ex0-x0”呢？又怎么知道x0取-2的呢？取其它的值可以吗？

生：通法是将f(x0)缩成一个与a无关的式子，即消去a(消元法)，即用“0”代替“ae2x0+aex0”，再将“-2ex0-x0>0”变形为“-x0>-2ex0”，又1>ex0>0，所以x0取-2比较自然，x0取不大于-2的数都可以.

回顾例题3求解的本质是换题(即“换”成“求函数f(x)=x(x-1)2的极大值”)，将题目中的参数依据它的取值范围“换”成它的一个端点值；例题4求解实际上是换“式”，即先用式子“-2ex0-x0”替换“ae2x0+aex0-2ex0-x0”，再用式子“x0”替换成“ex0”，实质上“起点”确定了，“终点”的远景目标也是明确的(比如例3、例4中分别为不含字母“b”和“a”)，这样“换”的方向实际上就确定了，只要依据不等式性质进行放缩，将压轴题“换”成常规题，降低了题目的难度.所以当题目中含有参数时，解题方向之一就是依据参数的范围把其“换”成端点值，从而化归成熟悉的或简单的题，实现解题的目标.

3 感悟

到目前为止解题是高考数学试卷考查考生的唯一方式，而思维能力是解题的灵魂，但没有方向的思考是低质量的思维，是一种浪费，因此快速确定解题方向对高考尤其重要.高考压轴题常常是当年高考题的经典，其求解思路许多是“非典型性”的，而教师难以提前预测和言传，学生又难以捉摸和复制，传统的解题教学对其很难见效，其结果往往取决于学生个人的悟性和临场发挥，可数学家怀特尼告诉我们“创造性的数学工作并非少数天才所专有，它可以是我们之中有强烈意愿与充分自主性的任何人的顺乎自然的行动”.当前流行的“题海战术”是通过大量的机械重复训练,让学生熟练掌握常见问题的解决方向并快速得出结果，从短期来看是熟能生巧,从长期来看可能会熟能生厌、熟能生错，这不利于兴趣的培养,不利于思维的培养和能力的提升,不利于创新人才的培养.所以“题海战术”是我们解题教学处于“模糊阶段”的无奈之举，它加快了教师职业倦怠的进程，扼杀了学生的灵气，而数学解题教学的本质是教师引导学生以用数学的眼光观察题目特征为先导，用数学的思维为解法寻找辩护的“理由”，让解法在师生的交流中“自然分娩”，在确定求解方向的过程中，主要依靠同时也培养了学生的核心素养.数学解题教学更是一门科学，因此数学解题教学追求精确化是科学发展的必然要求，但我们的探索才刚刚开始，希望有更多的人来参与，去发现更美的风景.