数学问题解答

2021年2月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

2586如图，⊙I是△ABC的内切圆,D,E,F分别是与边BC,CA,AB相切的切点，射线DI和EF相交于K.证明：AK平分BC.

(安徽省旌德中学 赵忠华 242600)

证明如下图，设AK与BC交于M点，

连接IE,IF,

则I,F,B,D和I,E,C,D分别四点共圆，

所以∠ABC=∠FIK,∠ACB=∠EIK,

在等腰△IEF和△AEF中，

故BM=MC.

2587设a，b，c，d>0，证明：

(河南省方城县教研室 邵明宪 473200)

证明由a，b，c，d>0及均值不等式，

a3+b3+c3+3d3

=a3+d3+b3+d3+c3+d3

同理

故

2588如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BD平分∠ABC,且BD∶AC=2∶3，求证：∠ABC=60°.

(安徽省舒城县杭埠镇中心学校 丁遵标 231323)

证明设∠DBC=θ,BD=2a,

由BD:AC=2:3，知AC=3a.

在Rt△DBC中，∠C=90°,

所以CD=2asinθ,BC=2acosθ，

所以AD=(3-2sinθ)a.

过点D作DE⊥AB于点E，

因为∠C=90°，所以AC⊥BC；

因为∠ABD=∠CBD，

所以DE=CD=2asinθ.

在Rt△ABC中，

因为∠A=∠A， ∠DEA=∠C=90°，

整理得sin2θ(9+4cos2θ)=cos2θ(3-2sinθ)2,

进一步化简得4sin3θ-6sin2θ-4sinθ+3=0,

所以

(4sin3θ-2sin2θ)-(4sin2θ+4sinθ-3)=0,

2sin2θ(2sinθ-1)-(2sinθ-1)(2sinθ+3)=0,

(2sinθ-1)(2sin2θ-2sinθ-3)=0;

因为0°<θ<90°，所以0

所以2sin2θ-2sinθ-3<0，

则有2sinθ-1=0，即θ=30°，

所以∠ABC=2θ=60°.

2589试证明ex+4x4lnx≥x5+x4.

(安徽省六安第二中学 陶兴红 237005 )

证明要证ex+4x4lnx≥x5+x4.

即证ex-4lnx≥x-4lnx+1.

设t=x-4lnx,即要证et≥t+1,

则要证et-t-1≥0.

设f(t)=et-t-1,则f′(t)=et-1,

所以当t<0时，f′(t)<0,f(t)单调递减，

当t>0时，f′(t)>0,f(t)单调递增，

而f′(0)=0,

所以fmin(t)=f(0)=0,所以et-t-1≥0.

综上可得，ex+4x4lnx≥x5+x4,

当且仅当x=4lnx时不等式取等号.

(安徽省南陵县城东实验学校 邹守文 241300)

证明分别用a,b,c表示△ABC中顶点A、B、C所对的边长.记D是BC和∠A的平分线的交点，p=BD,q=CD.由三角形角平分线定理得bp=cq，结合p+q=a得

(1)

由cos∠ADB+cos∠ADC=0,根据余弦定理得

其中x=AD，结合(1)式得

(2)

记由点D向AB、AC所引垂线的垂足分别为E、F，则A、E、D、F四点共圆，∠DEF=∠DAF.

根据正弦定理得

记△ABC的面积为S，则由(2)式得

类似地

所以

同理

上述三式相加得

2021年3月号问题

(来稿请注明出处——编者)

2591(费—哈不等式的隔离): 若a,b,c,Δ分别为△ABC的三边长及面积,则有

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)

2592如图，D为△ABC中AB边的中点，ω1和ω2分别为△ACD和△BCD的外接圆，ω1在点A处的切线交ω2于点E和F，ω2在点B处的切线交ω1于点G和H，证明：

AC·EF=BC·GH.

(河南辉县一中 贺基军 453600)

(江苏省常熟市中学 查正开 215500)

2594已知⊙W1是△ABC的外接圆(如图)，AB>AC，∠BAC的平分线AT，在AT上取一点P(△ABC的内部)，点P在BC、CA、AB上的射影

分别为D、E、F，点M为弧BAC的中点，过D、E、F三点的⊙W2交BC于点D、K，KS⊥EF于点S，射线AS交⊙W1于点N．求证：N、K、M三点共线．

(江西省高安市石脑二中 王典辉 330818)

2595已知正数a，b，c满足a+b+c=ab+bc+ca，求证：

(a2+a+1)(b2+b+1)(c2+c+1)≥3(a+b+c)2.

(河南省南阳师范学院软件学院 李居之 孙文雪 473061)