数学实验与逻辑推理*

王晓峰

(苏州工业园区教师发展中心 215021)

逻辑推理是数学关键能力的构成要素，是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质．具有一定的逻辑推理能力是培养学生数学素养的重要内容，是数学课程和课堂教学的重要目标．

逻辑推理是指由一个或几个已知的判断推导出另外一个新的判断的思维形式．逻辑推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从特殊到一般的推理，是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从一般到特殊的推理，是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)和确定的规则(包括运算的定义、法则、顺序等)出发，按照逻辑推理的法则证明和计算．合情推理用于获得猜想、发现结论、探索方法；演绎推理用于验证猜想、证明结论，两者共同在数学论证中发挥着各自的作用．

在传统数学教学中，往往重演绎，轻归纳、类比，只满足于证明现成结论，学生很少经历发现结论、提出猜想的活动过程，而在数学中发现结论往往比证明结论更重要．欧拉说：“数学这门科学需要观察，也需要实验”．数学实验是学生动手动脑，以“做”为支架的数学教与学的活动方式，是在教师引导下，学生运用有关工具，通过具体操作在认知和非认知因素参与下，进行的一种发现数学结论、理解数学知识、验证数学结论的数学活动．通过数学实验，能够为学生的数学学习提供丰富的问题情境，让学生亲身经历合情推理发现结论、演绎推理证明结论的完整推理过程，在合情推理与演绎推理的相辅相成中共同促进逻辑推理能力的形成与提高．

1 数学实验能够为逻辑推理的培养提供产生问题的情境

逻辑推理能力的培养是以问题为中心，在问题解决的过程中形成的．能从数学的角度发现问题和提出问题，是培养逻辑推理能力的先决条件，而发现问题、提出问题、进而形成问题意识则需要产生问题的载体．数学实验是学生借助实验工具进行观察想象、操作验证、推理论证的数学活动，实验工具是产生问题、提出猜想的有效载体，能为逻辑推理能力培养提供丰富的问题情境．

案例1 探索正方体的截面形状

实验1：利用“水立方”探索正方体的截面形状．

依次调整1号、2号“水立方”的摆放位置，通过观察水面与正方体的面相交的形状，发现正方体的截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形，并思考截面是否能是七边形？为什么？如图1，图2，图3，图4．

图1

图2

图3

图4

实验2：利用“水立方”探索正方体的截面形状的特殊性．

依次调整1号、2号“水立方”的摆放位置，观察发现正方体的截面可以是特殊的三角形(等腰三角形，等边三角形，但截不出直角三角形、钝角三角形)；可以是特殊的四边形(正方形、矩形、平行四边形、菱形、梯形、等腰梯形)，并思考当截面为四边形时，这些四边形是否具有共同的特征？(至少有1组对边互相平行)为什么？截面为五边形、六边形时，这些五边形、六边形又具有怎样的特殊性？(五边形的2组对边互相平行，六边形的3组对边互相平行)为什么？

实验3：探索三棱锥的截面形状

借助实物三棱锥，想象三棱锥截面的形状，说理后，用几何画板验证结论．

发现身边的数学，这样的数学学习必定会受到学生的喜爱．数学实验工具可以是学生身边的普通物品，如纸张(透明纸)、橡皮、文具盒、圆规、刻度尺(直尺)、三角板、量角器、教科书、剪刀等，也可以是专用的实验工具，如水立方、勾股定理演示器、圆周角探究仪等．如图5，图6，图7，图8．

图5

图6

图7

图8

根据工具的功能与知识指向，数学实验工具可分为三类：用于概念形成的工具、用于原理探究的工具和用于拓展应用的工具，可以服务于绝大部分《义务教育数学课程标准(2011版)》(以下简称《标准》)的核心内容的教学需要．如，通过折纸可以探索轴对称图形的性质，进而认识线段、角平分线、矩形、菱形、正方形、圆、反比例函数与二次函数的图像特征等等；利用透明纸可以探索三角形全等的条件，可以探索旋转的性质，可以探索中心对称图形的性质，进而认识平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、反比例函数的图像特征等等；利用“水立方”可以探索正方体截面的各种形状；利用多功能尺组件可以认识三角形的“三线”，发现三角形的稳定性，认识等腰三角形的“三线合一”、认识特殊四边形之间的联系，探索锐角三角函数值的变化规律等；利用勾股定理演示器可以认识“直角三角形”、“锐角三角形”、“钝角三角形”三条边的平方之间的数量关系等；利用圆周角探究仪可以认识圆周角，探索圆周角的性质、圆内接四边形的性质等……．学生借助这些丰富多样、功能不同的实验工具，通过操作、观察、思考，就能够产生问题、提出猜想，逐步形成和提高问题意识．

2 数学实验能够为合情推理的培养提供发现结论的机会

乔治·波利亚指出：数学有两个侧面，……用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学．合情推理是波利亚对归纳推理、类比推理等或然性推理(即推理的结论不一定成立的推理)的特称，他指出数学思维不是纯“形式”的，它所涉及的不仅有公理、定理、定义及严格的证明，而且还有许许多多其它方面：推广、归纳、类推……等等．基于此，《标准》提出：教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、实验、画图、尝试、估算、归纳、类比等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力．

案例2 探索圆周角

1．操作与观察

(1)如图9，沿着“圆周角探究仪”的直轨道移动点P，观察点P在移动过程中与圆周上两个定点A、B相连的橡皮筋所形成的角的共同点与不同点，发现这些角的两边都与圆相交，顶点分别在圆心、圆内、圆外、圆上．

(2)如图10，沿着“圆周角探究仪”的圆轨道移动点P，观察点P在移动过程中与圆周上两个定点A、B相连的橡皮筋所形成的角的共同点，从而引出圆周角的概念．

图9

图10

2．观察与猜想

(1)沿着直轨道将点P由圆内向圆外移动的过程中，观察∠APB的大小的变化．可以发现∠APB由大变小，获得猜想：同弧所对的圆内角大于圆周角大于圆外角．

(2)沿着圆轨道移动点P过程中，∠APB的大小是如何变化的？通过观察，可以发现∠APB的大小似乎保持不变，获得猜想：同弧所对的圆周角相等．

3．验证与证明

如图11，图12，通过度量移动过程中∠APB的度数，对猜想进行验证．并对结论进行证明．

图11

图12

归纳推理是以个别(或特殊)的知识为前提，推出一般性知识为结论的推理．它是从特殊到一般的推理．为什么要研究圆周角？圆周角是怎样发现的？圆周角具有怎样的性质？借助“圆周角探究仪”，能使学生体验圆周角产生的过程；可以发现圆外角、圆周角、圆内角之间的数量关系；通过对验证后得到的猜想是否具有一般性结论的思考，再从特殊到一般进行归纳并证明结论，发现圆周角的性质；通过顶点在圆轨道上的移动，可以知道圆周角定理的证明要分三类进行讨论的原因．学生使用这样的实验工具学习“与圆有关的角”时，认识会更系统、更深刻．

案例3 打印纸中的数学

1．观察与思考

观察A4打印纸，提出问题“A4打印纸中有哪些与数学有关的问题？”引导学生发现问题的核心是长与宽之间的数量关系，引发学生对“A4打印纸长与宽的比值是多少？”的思考．

2．估算与计算

(1)目测估算

学生通过目测对A4打印纸长与宽的比值进行估算．由于结论不一，出入较大，从而激发起学生对研究方式的思考．

(2)度量计算

学生利用刻度尺度量A4打印纸的长与宽，并计算长与宽的比值，结果精确到0.001．

3．猜想与验证

(1)发现与猜想

(2)验证与说理

图13

图14

4．思考与拓展

类比推理是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，推出它所在另一属性也相同或相似的一种推理．它是从特殊到特殊的推理．对打印纸中的数学展开的探索，经历先探索A4打印纸，再经过类比探索A3、A5、……打印纸，最终探索出A0打印纸的制作标准，揭示了A型打印纸的来龙去脉．这是一个发现数学、产生与形成活动经验、并不断积累活动经验的学习过程，探索过程中类比推理的作用体现的淋漓尽致，整个探索过程中充盈着合情推理与演绎推理，这样的学习活动无疑对逻辑推理能力的培养能起到巨大的帮助作用．

3 数学实验能够为演绎推理的培养提供分析论证的方法

实验与论证应是数学教学不可或缺的两个环节，通过实验得到猜想，再通过论证去证实或证伪猜想，这样才是完整的数学教学，但寻找证明的方法对不少学生来说往往是有困难的，为此可以通过数学实验来帮助学生寻找到证明的方法．

案例4 探索三角形的内角和

实验1：度量与发现

任意画出若干个形状各异的三角形，用量角器分别度量这些三角形三个内角的度数，再分别求出同一个三角形三个内角的度数和，你有何发现？

实验2：操作与验证

(1)拼角1：剪下三角形纸片(如图15)的三个内角，将它们按图16的方式拼在一起，可以发现它们组成了一个平角．

(2)拼角2：折叠三角形纸片(如图15)，将它的三个内角按图17的方式拼在一起，可以发现它们组成了一个平角．

图15

图16

图17

实验3：说理与证明

(1)转笔说理：如图18，铅笔放置在△ABC的边BC上，笔尖方向为点B到点C的方向．把铅笔依次绕点B、点A、点C按逆时针方向旋转∠B、∠A、∠C的度数，发现笔尖方向与初始位置的方向正好相反，这说明铅笔依次绕点B、A、C转过了180°，从而证明了“三角形的内角和等于180°．如图19，图20，图21．

图18

图19

图20

图21

(2)分析证明：用演绎推理的方式证明“三角形的内角和等于180°”．

通过度量、计算，学生大致可以知道三角形三个内角的和是一个定值180°，但因为有测量误差，所得结论只能是一个猜想，学生就会主动寻找验证猜想的方法．验证猜想是科学精神、思想以及方法不可或缺的关键环节，但操作验证是依靠观察进行的直觉判断，是感性的认识，只有经过理论证明得出的结论才是可信的．拼角是验证猜想的手段，但因为拼图会有缝隙或重叠，所以拼出来的结果也会有一定的误差，这样还是不能断定多边形外角和就是180°，因此必须用演绎推理方法去证明猜想的正确性．回顾拼角的过程，经过观察、思考、抽象，学生可获得启发，通过添加不同的平行线，根据平行线的性质，就可以用多种方法证明“三角形的内角和等于180°”，如图22，图23，图24．进而对这些方法的比较，体悟到这些方法蕴含的原理是一致的——拼角的本质是“角的转移”的过程，因此添画的辅助线与位置并无关系，可以在任意位置添画平行线，证明猜想的正确性，获得结论．如图25，图26．

图22

图23

图24

图25

图26

逻辑推理是理性思维的基础，在数学中具有重要的地位，培养学生的逻辑推理能力应当作为数学教学的中心任务．逻辑推理能力不是与生俱来的，逻辑推理能力的培养应贯穿于整个数学课程的各个内容，贯穿于数学课堂教学的各种活动过程，贯穿于整个数学学习的环节．数学实验能将过程与结果、操作与思维、实验与论证、证伪与证实有机融合，实现合情推理与演绎推理的融通，是培养、发展逻辑推理能力的重要学习方式．