小球与匀质细杆的碰撞——大学物理教学问题探讨

刘凤艳 韩守振 苏雪琼

(北京工业大学理学部 物理与光电学院,北京 100124)

大学物理教学中,小球与细杆的碰撞问题是刚体力学中的一个难点问题。由于大部分中学物理不讲解刚体、转动惯量等概念,遇到这类问题很多学生还是尝试利用动量守恒来处理[1]。据作者多年的教学经验,相当比例的学生不理解碰撞过程中动量为何不守恒,而错误地对小球—细杆系统用动量守恒定律求解。大学物理教学应该想办法弥补这方面教学的缺失,也可以利用这部分知识的讲解使学生从中学思考物理问题的方式转变到大学物理思考问题的方式。小球与细杆的碰撞问题涉及的力学知识点是比较多的,包括刚体的性质、转动惯量、质心的概念、弹性和非弹性碰撞等。因此对这个碰撞问题的分析与讨论,可以帮助提升学生对刚体力学各种概念的理解,也可以提高学生分析、解决问题的能力。正因为如此,有很多物理竞赛题也是就小球与细杆的碰撞问题而设计的,以此来考查学生解决物理问题的能力。比如,寻找保持细杆悬挂轴水平方向受力为零(此时水平方向动量也守恒)的位置,小球击打自由落体的细杆等。这些习题可以起到非常好的训练效果。

综上所述,为了较为系统的讲解小球与细杆的碰撞问题,本文通过两个实例进行分析计算,给出在碰撞过程中小球—细杆组成的系统动量、角动量和动能是否守恒,何时守恒,以及碰撞之后小球和细杆的运动方式。论文做以下安排:第1部分讨论小球与通过水平光滑轴自然下垂的匀质细杆的碰撞的例子;第2部分讨论小球与自由下落的匀质细杆的碰撞的例子;最后一部分给出本文的总结。虽然大部分读者可能对本文涉及内容相当熟悉,但是论文还是尽量详细说明了作者在实际课堂上的讲解过程,希望对各位读者的教学有借鉴意义。

1 小球与通过水平光滑轴自然下垂的匀质细杆的碰撞

质量为M、长度为l的细杆可以绕水平光滑轴O转动,O轴通过细杆的一个端点,开始时细杆自然下垂,如图1所示。质量为m的小球沿水平方向以速率v0与细杆发生碰撞。这里将小球看作质点,细杆看作刚体。正如上文所述,当在课堂上讲解这个例题的时候,学生们一般首先会想到利用动量守恒来求解,下面我们就先分析这个过程中的动量,然后再讨论正确的利用角动量求解的方法,同时分析碰撞过程中的能量(弹性和非弹性)情况。

图1 小球与过水平光滑轴自然下垂的匀质细杆的碰撞

1.1 碰撞过程中的动量

在碰撞过程中,小球和细杆组成一个系统。小球和细杆之间的作用力、反作用力为一对内力,内力不改变系统的总动量。系统所受外力为细杆和小球所受重力和O轴给予细杆的作用力,很多同学会认为这两个力都沿竖直方向,水平方向没有外力,所以碰撞过程中系统水平方向动量守恒。但是,事实并非如此,下面通过计算来说明这一问题。

假设图1中质心C到O轴的距离为rc,碰撞点P到O轴的距离为rp。先假设碰撞瞬间O轴对细杆的作用力有沿水平方向的分量,记作Fx,O轴对细杆沿竖直方向的分量记作Fy,则如果Fx=0,水平方向动量守恒,否则水平方向动量不守恒(这里忽略碰撞瞬间细杆的摆动)。水平方向选向右为正方向,竖直方向选向下为正方向,转动选逆时针为正方向。设碰撞瞬间小球给细杆的作用力为f,则细杆会在这一f形成的力矩作用下绕O轴转动,根据刚体定轴转动定律有

其中J=Ml2是匀质细杆相对于过其端点轴的转动惯量,α为细杆定轴转动角加速度。对于细杆,根据质心运动定理有

其中acx为细杆质心沿x方向的加速度,也即质心的切向加速度。因为细杆的质量分布均匀,其质心C就在棒的中点位置,有rc=。由式(1)、式(2)可得

可见,只有当rP=时才有Fx=0,才满足水平方向动量守恒[2],其实这个简单的运算也给出了悬挂点水平方向受力为零的击打点位置;当时,Fx＜0,即O轴给细杆沿水平方向的力向左;当rP＞时,Fx＞0,O轴给细杆沿水平方向的力向右。这两种情况下系统沿水平方向合外力不为零,水平方向动量不守恒。因此这道题如果用动量守恒来求解碰撞后小球的速度和杆的摆动角速度是不合适的。

1.2 碰撞过程中的角动量和动能

下面来看这个问题的正确求解方法,即利用角动量守恒来求解。小球—细杆之间的作用力为一对等值反向的内力,其对O轴的合力矩为零。系统所受外力为重力和O轴对细杆的作用力,在碰撞瞬间不考虑细杆的摆动,这两个力对O轴的力矩也都为零,所以碰撞过程中满足角动量守恒,即

其中r为任意撞击点到O轴的距离,v为碰撞后小球的速度,ω为碰撞后细杆开始摆动的角速度。

大学物理教学中涉及的这类碰撞问题通常都是两种极限情况——完全弹性碰撞或是完全非弹性碰撞,而对于一般情况下的非完全弹性碰撞通常不做讨论。为了不失一般性,这里利用恢复系数来表示碰撞,进而讨论动能如何变化以及小球和细杆碰撞后的运动方式。恢复系数e是与碰撞物体的材质有关的一个物理量,定义为[3]

e的取值范围为0≤e≤1,e=1时为完全弹性碰撞,动能守恒;e=0时为完全非弹性碰撞,小球粘附于细杆之上和细杆一起运动,动能损失最大。υ1-υ2是两物体碰撞后的相对速度,υ10-υ20是两物体碰撞前的相对速度。碰撞前细杆静止不动,小球相对于细杆碰撞位置的速度大小为v0;碰撞后小球速度为v,细杆开始以角速度ω摆动,小球相对于细杆上碰撞位置的速度为ωr-v[4],于是有

由式(3)、式(4)可得碰撞后小球的速度

由式(5)可知,如果mr2＜Je,v＜0,小球被细杆弹回;如果mr2＞Je,v＞0,碰撞后小球继续向右运动。这两种情况下,当e=1时,小球速度值v为

此时对应完全非弹性碰撞,动能损失最大,小球粘附于细杆之上,随细杆一起上摆,此时式(3)变形为

其中mr2是粘附于细杆上的小球相对于O轴的转动惯量。由此也可得到小球速率

与式(7)相同。

有一个非常有意思的点,可以在课堂上讲解一下。式(5)中如果mr2=Je,碰撞后小球将停止运动,只有细杆向右上方摆动。即小球撞到细杆上,停止运动,细杆摆动起来。这个过程与演示动量守恒时下摆钢球与自然垂挂钢球的对心碰撞过程类似,如果能够将两个碰撞过程放在一起演示,预计可以取得非常好的教学效果。

2 小球与自由下落的匀质细杆的碰撞

这里假设细杆没有固定轴,开始时细杆长度方向沿竖直方向静止放置,如图2所示,小球和细杆碰撞的瞬间细杆开始作自由落体运动,此时再来讨论碰撞过程中系统的动量、角动量和动能。

2.1 碰撞过程中的动量

在这种情况下,在碰撞的瞬间,小球和细杆组成的系统所受合外力为竖直方向的重力,水平方向不受外力,所以水平方向动量守恒。依然用v表示小球碰撞后的速度,有

图2 小球与自由下落的匀质细杆的碰撞

其中vcx为细杆质心沿水平方向的速度。考虑到竖直方向的自由落体运动,此时,细杆质心的合运动为平抛运动,而整根细杆绕质心作匀角速度转动。这里要注意,细杆虽然绕其质心转动,但是因为质心参考系是零动量系[5],即细杆相对于其质心的动量为零,所以在式(8)中只考虑细杆质心的动量。

2.2 碰撞过程中的角动量和动能

在碰撞过程中,系统所受外力为重力,而重力相对于过质心的C轴的力矩为零,所以角动量依然守恒,有

其中r′为任意撞击点到C轴的距离,J′=为细杆相对于C轴的转动惯量。

下面我们来看碰撞过程的动能。注意到如果小球与细杆上半部分碰撞,细杆会作顺时针转动;如果小球与细杆下半部分碰撞,细杆将作逆时针转动,除了旋转方向之外其他运动没有差别。这里假设小球与细杆下半部分碰撞。依然利用恢复系数的定义,有

因为碰撞后细杆质心有沿水平方向的速度vcx,小球和碰撞位置的相对速度为vcx+ω′r′-v。解式(8)、式(9)、式(10)可得

由以上结果可以看出,当r′=0 时,细杆角速度ω′=0,此时小球正好与细杆质心位置碰撞,相当于对心碰撞,整根细杆都作平抛运动,没有转动;当r′≠0时,不管M、m、r′、e取何值,vc都 为正值,即细杆质心以速度vcx沿水平方向向右运动。当r′＞0,即小球与细杆下半部分碰撞,ω′＞0,细杆以角速度ω′绕过质心的C轴逆时针转动;否则,如果r′＜0,即小球与细杆上半部分碰撞,ω′＜0,细杆以角速度ω′绕过质心的C轴顺时针转动。对于碰撞后小球的速度v,还需分三种情况讨论:

(1) 当mJ′+Mmr′2-eMJ′＜0 时,碰撞之后小球被弹回,e=1时为完全弹性碰撞,回弹速度最大;

(2) 当mJ′+Mmr′2-eMJ′=0 时,碰 撞之后小球停止运动;

(3) 当mJ′+Mmr′2-eMJ′＞0 时,碰撞之后小球继续向右运动。当e=0时为完全非弹性碰撞,此时小球粘附于细杆之上,和细杆一起绕质心转动,系统质心依然做平抛运动。但此时系统质心位置不是细杆中心,而应该在杆的质心O′和碰撞位置P之间的某点,如图3中所示C′位置。选C点为坐标原点,向下为正y方向,则质心位置为

表示动量和角动量守恒的式(8)、式(9)应写成如下形式:

这里r″=r′-yC′为碰撞点到质心C′的距离,J″=是系统相对于过质心的C′轴的转动惯量。这种情况下,质心C′将作水平方向速度为vc′x的平抛运动,系统将绕质心C′以角速度ω″作匀角速度转动。

图3 小球与自由下落的匀质细杆的碰撞,并粘附其上

最后,我们再来补充一种小球与光滑水平面上匀质细杆碰撞的情况。如果小球与置于光滑水平面上一端固定的匀质细杆发生碰撞,碰撞过程的分析与第一种情况完全相同;如果置于光滑水平面上的细杆没有固定轴,则与第二种情况类似,只是没有竖直方向的运动;如果轴的位置变化,那么相对于轴的角动量和转动惯量都会发生变化,分析方法相同。另外如果细杆置于一粗糙水平面上,只要小球和细杆之间的作用力足够大,碰撞瞬间对细杆形成的冲量矩远远大于摩擦力矩,也可认为角动量近似守恒。

3 结语

本文通过两个实例分析了小球和细杆的碰撞问题。分析表明,通常情况下小球—细杆组成的系统所受合外力矩为零或近似为零,角动量守恒。

当细杆没有光滑固定轴时,小球与置于光滑水平面上的细杆碰撞,合外力为零,动量守恒;如果小球与杆长沿竖直方向放置做自由落体的细杆碰撞,水平方向不受外力,小球—细杆系统水平方向的动量守恒。如果细杆有光滑固定轴,只在小球撞击细杆的某一特定部位时系统动量才可能守恒。

只有在完全弹性碰撞下小球—细杆组成的系统动能才守恒。如果恢复系数e≠0,碰撞后小球可能继续向前运动,也可能被弹回或是停止运动,细杆绕固定轴或是绕自身质心转动。对于完全非弹性碰撞,即e=0,系统动能损失最大,此时小球粘附于细杆之上和细杆一起绕固定轴或是小球—细杆系统的质心转动。

在课堂教学中,给出小球与有固定轴的自然下垂的细杆碰撞时细杆的受力情况计算,学生很容易理解杆的动量是否守恒,进而引导学生改变解决问题时一些想当然的想法,做到以事实、数据为依据进行判断。进一步探究小球和没有固定轴的细杆之间的恢复以及碰撞后小球和细杆的运动形式,涉及到碰撞系数、质心等难度稍大的内容,可以拓展学生的思维,使其在学习、探索中找到乐趣。