育人无痕，养力有道

徐斌　刘晓萍

【编者按】 2021年1月8日，著名特级教师徐斌在江苏省苏州市吴中区独墅湖实验小学执教了一节《除数是两位数的除法》复习课。这是一节“无痕教育”理念下的“三无课”，无生活情境，无电脑课件，无固定教案。本期分享这节课中的几个精彩片段（含视频，扫描二维码免费观看）以及刘晓萍老师的点评。接下来，我们还会用“文字+视频”的方式呈现更多有研究价值的课例，带您“走入”课堂现场，让您获得多维度的“观摩”体验。

摘要：徐斌老师执教的《除数是两位数的除法》复习课，是其“无痕教育”理念下挖掘小学数学复习课育人价值、创造学生喜欢的数学课的垂范：“三无”实践课，为学生的数学学习服务;串联规律性内容，创造学生喜欢的数学课堂;对话与共享，使学生更有序地发展思维与能力;灵活生长，让学生的学习经历更灵动。

关键词：无痕教育;复习课;《除数是两位数的除法》

一、教学过程

（一）再现旧知，激活经验

师今天这节课，我们要复习有关除法的知识。（板书：除法）同学们还记得我们小学里是从几年级开始学习除法的？

生（齐）二年级。

师那你知道除法是什么？

生平均分。

师是的，除法跟平均分有关。我们在计算除法的时候，要注意什么？

生得出来的商不能写错位置。

师有道理！还有谁有补充？

生余数不能大于除数。

师这个很重要，要写下来。（板书：余数小于除数）那是简单的除法，这学期我们学习的除法中除数是几位数的？

生 （齐）两位数。

师（在“除法”前板书：除数是两位数的）除数是两位数的除法，我们在除的时候是从哪一位除起的？

生 （齐）最高位。

师我们在做除数是两位数的除法笔算的时候，（板书：从高位除起）要从高位除起。接下来，我们先复习一些基本知识。请三位同学完成三道笔算除法，其余同学一起来口答几道题。

[指名三名学生上黑板笔算： 2096、3296、39192。教师依次出示口算卡片：60÷20=、150÷30=、20×（）<96 、30×（）<96、40×（）<192、30×（）<279、20×（）<111。并提问：括号里最大能填几？学生回答。]

师好的，不错！我们看看黑板上三位同学做的笔算除法。（指第一题）你觉得做对了吗？

生 （齐）不对。

师哪儿出了问题？

（学生举手。）

师这道题是谁做的？

（答题学生举手。）

师你自己有没有发现做错了？自己上来改更好。

（学生上台改正。）

师现在对了吗？由此，我们就要注意：在计算的时候要细心。（指学生改正后的算式）像这里，4写在哪一位上？

生 （齐）个位。

师（指学生在第二题“32”上面轻轻写的“30”）他这里写了个“30”，也就是说，我们在做除法的时候，遇到除数不是整十数时，我们会把它看成——

生 （齐）整十数。

师也就是说，我们在做除法的时候，遇到除数不是整十数，（在课题中画出“两位数”，并在下面板书“整十数”）我们就把这个两位数看成整十数。在看成整十数的时候，把32看成了30，我们说，进行的叫作——（板书：试商）试商。这种方法叫作——

生 （齐）四舍法。

师对，你看个位上的2比4小，就把它舍去，变成30。（板书：四舍法）这种方法叫作四舍法。看成了30，但乘的时候要跟多少相乘？

生 （齐）32。

师相乘下来没有余数。好，来看第三题。同样，她也试商了，她也把39看成了整十数，她用的叫作什么方法？

生 （齐）五入法。

（教师板书：五入法。）

师（指第一、第三题）这两题有余数，同学们刚才已经说了，余数要小于——

生 （齐）除数。

师对！余数要小于除数。

[说明：教学伊始，主要是在师生谈话中再现相关旧知。首先，让学生回忆除法的基本含义以及计算除法的基本要點;然后，让学生复习除数是整十数的除法口算以及括号里最大能填几，为笔算除法的试商思路做准备;而黑板上的三道题目则帮助学生从除数是整十数的除法笔算过渡到“四舍法”和“五入法”的基本试商方法。]

（二）对比梳理，突破难点

师我们在算除数是两位数的除法的时候，用了四舍法或者五入法试商，每一次都能一次试下来就正好吗？

生 （齐）不是。

师有的时候会遇到什么情况？

生 余数比除数大。

生 除出来不够。

师也就是乘下来之后，比被除数要大，不够减。是的，试商，试商，它就是要试的。有的时候试下来正好，有的时候试下来不正好，那还要做什么？

生 （齐）调商。

师（板书：调商）那试下来什么时候有可能要调商？调一次就一定行了吗？

（学生摇头，表示不一定。）

师接下来，我们就研究这一类问题。请大家打开我们的练习纸。看第1道算式：279÷34。（板书：34279）来，我们一起动手、动笔。用什么方法试商？

生 （齐）四舍法。

师请大家试商时记得在除数上面写上看成哪个整十数，然后来试商看看。

（学生笔算，教师巡视。）

生 发现试下来不够减了。

师 有同学发现问题了，我们一起来看一看。用四舍法试商，把34看作多少？

生看作30。

师279里面最多有几个30？

生9个。

师商了9之后，我们一起来乘一乘，9乘34得多少？

生（齐）306。

师是呀！279减去306，就是刚才有同学所说的，够不够减了？

生 （齐）不够。

师不够减了，什么原因造成的？

生商偏大。

师什么原因造成初商偏大的？

生因为用了四舍法。

师为什么用四舍法试商时，初商偏大呢？

生把除数看成整十数的时候，本来是34，看成了30，看小了。

师（画箭头并板书“看小”）本来是34，看成了30，看小了，但实际上用9去乘的时候，是去乘30，还是去乘34？

生（齐）34。

师对，乘的除数不小，乘下来的得数就偏大。

师 （板书：易大）同学们遇到试商时，初商易大，那就要怎么样啊？

生 （齐）调小。

师（板书：调小）我们一起来调调看。商9太大了，我们就把它调成几？

生 （齐）8。

师调成8，这一次乘下来是多少？够减了吗？

生 乘下来是272，够减了。

师余数是几？

生 余数是7，比除数小。

师（指3296与34279）这两题我们都采用了四舍法试商，但是，试商时有什么不一样？

生第二题遇到了调商。

师是的。正如刚才同学们发现的，用四舍法把除数看小了，而实际上乘的是原来的除数，所以初商就易大，大了就需要调小。刚才这题调了一次就正好了，那么请大家思考一下：会不会出现调商一次后需要再调商的情况？

生 （齐）会。

师（板书：3427□）徐老师把这道题稍微改一改，请大家注意观察，被除数的百位和十位不变，除数还是34，那么，我们还是用四舍法试商。请同学们思考：如果被除数个位是几，就需要调商两次？

生1。

师大家一起来算算看，是不是需要调商两次？

生好。

师你们说试商过程，老师写下来。用四舍法把34当作30，初商应该是商几？

生9。

师初商了9，还记得刚才乘得的情况吗？

生太大。

师太大，那就把这个9改成8。调大之后，8乘34等于272。够减吗？

生271比272小，不够减。

师那接下去怎么办？

生把8再调成7。

师调成7后，再乘34，得多少？

生238。

师271减238，够减吗？余数符合要求吗？

生够减了，余数是33，比除数小。

师果然，在试商时可能会出现需要调商两次的情况。这道题，被除数个位上除了填1，还可以填几，也需要调商两次？

生填0也要调商两次。

师我们四（8）班同学真聪明！通过刚才的这一组练习，我们已经知道，用四舍法试商的时候，有的时候一次试商正好，有的时候需要调商一次，有的时候还需要调商两次。这是什么原因造成的呢？

生是因为我们用四舍法试商时把除数看小了，计算时结果可能会偏大，偏大了就需要调小。

[说明：除数是两位数的笔算，难点是试商与调商，尤其是可能出现两次调商。这里，通过除数个位上比5小的几道题目，让学生尝试四舍法试商与调商，从不需要调商到需要调商，从调商一次到调商两次，逐步走向深入。尤其是两次调商的探索部分，教师没有直接出示完整的题目，而是让学生结合刚才的一次调商题目，思考被除数个位上改成几就需要调商两次，进而对调商的原因以及试商的方法有了深刻体会与理解，使学生关注计算时的审题与比较。]

（三）探索规律，理解本质

师刚才我们复习了四舍法试商。接下来，请同学们根据这样的规律猜想一下，如果用五入法试商，可能会出现什么情况？

生把除数看大，初商可能偏小。

生初商偏小了，就要调大。

师（根据学生回答画箭头并板书“看大、易小、调大”）这是同学们的猜想，到底是不是这样呢？请大家来试一试，完成练习纸上第2道算式。

（教師板书：16111。学生独立探索，教师巡视指导。）

师试商时把16看成多少？

生（齐）20。

师111里面最多有几个20？

生（齐）5个。

师商5后，5乘16等于多少？

生（齐）80。

师111减80——

生（齐）31。

师31里面还有几个16？

生（齐）1个。

师因此，果然出现了用五入法试商的时候，把16看成20看大了，而实际上乘的时候有那么大吗？

生（齐）没有。

师所以乘下来有可能就小了，再减下来，这个余数就可能偏大了，需要把初商调大。刚才这题是一次调商。接下来考验我们四（8）班同学水平的时候又到了，现在徐老师想把这道题目再改一改。（板书：1□111）这一次，被除数不变，还是111，我把除数16改成十几，就有可能需要两次调商呢？

生调成19。

生调成13。

师调成13还是五入法试商吗？

生（齐）不是。

生17。

生18。

生15。

师我们刚才说了，用五入法试商，易把它看大了;乘的时候要乘下来比较小，我们要两次调商的话，除数比16怎么样？

生（齐）小。

师比16小，那就是15。我们一起来验证一下。111里面最多有几个20？

生5个20。

师5乘15等于多少？

生75。

师111减去75等于多少？

生36。

师36里面最多有几个15？

生2个。

师是啊！所以，我们可以灵活一点：36里面还有2个15，我们可以——

生直接调成7。

师很不错！接下去，考验同学们的时候又到了。我把这道题再改一改，（板书1611□）除数还是16，被除数十位和百位不变，个位如果是几，就需要两次调商？同桌互相商量一下。

（学生同桌讨论、交流。）

师讨论后大家动笔试一试，把结果填在老师发给大家的学习单上。

（学生动笔计算，教师巡视指导。）

师谁先来汇报一下填几就需要两次调商？

（学生回答“填0”，验证发现只需要一次调商。）

生填9。

师请你介绍一下思考过程。

生119除以16，把16看作20试商，119里面最多有5个20，初商5后和16相乘得80，119减去80得39，39里面还有2个16，需要把初商5调整为7。

师说得非常清晰完整！被除数个位上还可以填几？

生还可以填3。

生填2。

……

师（分别板书2、3、4、5、6、7、8、9）同学们真厉害！不仅填出了符合要求的数，而且发现了调商的规律。

[说明：为了帮助学生有效突破调商的难点，又不陷入机械的题海练习，教师精心设计了五入法试商与调商的探索性学习过程。首先，让学生根据四舍法试商小结出的规律对比猜想，并动笔验证;然后，引导学生针对需要两次调商的问题尝试改编题目，既有被除数不变而只改变除数个位上数字的题目，也有除数不变而只改变被除数个位上数字的题目。这样的设计，引领学生在变式题组中发现调商规律，探索除法本质。]

（四）总结回顾，深化思维

师课上到这里，我们来回顾一下。刚才我们研究了除法笔算，谁能把黑板上的算式分分类？

（指名学生上黑板分类：除数是整十数，除数不是整十数用四舍法或五入法，用四舍法或五入法不需要调商、需要一次调商、需要两次调商。教师小结。）

师同学们分类和总结得很有道理！经过刚才的复习，我们知道计算除數是两位数的除法时要从高位除起，而且余数小于除数。那么，除数是两位数的除法，商可能是几位数？你能各举一个例子吗？

生两位数除以两位数，商肯定是一位数。

师（板书竖式：□□□□）是的，目前我们学到的整数除法被除数一般比除数大，所以商是一位数。（板书竖式：□□□□□）如果被除数是三位数呢？

生商可能是一位数，也可能是两位数。

生被除数前两位够除，商就是两位数;被除数前两位不够除，商就是一位数。

师同桌交流一下所举的例子。

（学生交流。）

师那么今后遇到四位数除以两位数，商可能是几位数呢？

生商可能是三位数或两位数。

师同学们的推想和举例很有道理！再回到刚才的试商和调商问题，不管是用四舍法试商，还是用五入法试商，你觉得除数的个位是哪些数字，可能需要调商？这个问题先想着，不用着急说。徐老师再出几道题，大家先观察、猜想，再讨论、交流，最后验证自己的想法。（板书：21189、24189、25189、28189）请大家观察这四道题，重点观察被除数个位上的数字，然后根据自己的经验先猜猜看：哪些题一次试商会成功？哪些题可能需要调商？哪些题可能需要两次调商？

（学生四人小组交流，教师巡视指导。）

师请每个小组派代表汇报一下。徐老师想知道哪些题不需要调商。

生 第一题和第四题。

师其他组同意吗？

生 （齐）同意。

师大家仔细观察这两题，用四舍法或五入法试商后不需要调商，你觉得它的个位有什么特点？

生 用四舍法试商不要调商时，一般除数个位都是1、2这种比较小的数。

师就是靠近几？

生 靠近0，就是比较靠近整十数。

师那用五入法试商的时候呢？

生 就是8、9这种靠近整十数的。

师对，说得真有道理！根据你们刚才试的情况，哪一题只要调一次？

生189除以24。

师189除以25，试商后要调几次？

生调两次。

师不管调一次、调两次，我们能从需要调商的计算中发现什么规律？

生如果是四舍法，一般都是除数个位靠近4的。

师那么五入法呢？

生靠近5的。

师是啊，如果四舍法试商时除数个位靠近4或者正好就是4，五入法试商时除数个位靠近5或者正好是5，有可能需要调商。当然了，这只是一般的方法，我们真正在试商和调商的时候，可能还有更巧妙的方法，需要同学们不断去猜想、试验与发现，这样我们就会变得更加聪明与灵活。

（教师板书：灵活。）

……

[说明：除数是两位数的计算，既有口算也有笔算，但学生首先需要学会估算，学会准确判断商是几位数，因此教师设计了让学生猜想商是几位数的练习，并让学生分别举例、说明道理。在课堂最后的拓展练习阶段，让学生结合本节课的复习重点进一步观察与分类，对比与概括，形成对试商与调商的清晰认知。由此，思考调商的本质以及如何更灵活地试商，促进学生对除法计算的深度理解。]

二、教学评析

（一）“三无”：为学生的数学学习服务

为学生的数学学习服务，是“无痕教育”一直秉持的教育哲学。

徐老师戏称这是一节“三无”的实践课，即：无生活情境的计算课、无电脑课件的常态课、无固定教案的生成课。“三无”实则是“无痕教育”的一次实践创新，于淡墨无痕中实现师生的共同生长！再精彩的预设也无法预知课堂的全部细节，尤其是学生会遇到怎样的困难、会有哪些新的感悟。因此，本节课少了PPT的按部就班，多了师生真诚而自然的对话;板书是师生共同成就的，留下了师生围绕学习重点与难点所展开的对话与交流痕迹。这体现了徐老师对学生数学学习的充分尊重，以及对学生学习情况的深度洞察和对教学内容的整体把握，是一种“教”与“学”、 “进”与“退”的智慧与艺术。

（二）“串联”：创造学生喜欢的数学课堂

创造学生喜欢的数学课堂，是“无痕教育”一直追寻的教育理想。

复习课不是旧知识的重复再现，也不是题目的简单堆砌，重要的是把带有规律性的内容，以再现、整理、归纳等手段串联起来，以达到融会贯通、触类旁通之效果。

除数是两位数的除法，试商和调商是学习的重点和难点。徐老师首先呈现2096、3296、39192这三道题，与学生围绕把除数看成与它最接近的整十数这一基本试商方法展开讨论。四舍法、五入法试商，会遇到什么情况？引出了初商有时会过大或过小需要调商的话题。

初商过大与过小的表现不同，调商的方向与方法也不同。接着，在对34279、34271与16111、1□111、1611□的讨论中，帮助学生厘清在用四舍法、五入法试商时需要试商几次的问题。而“是什么原因造成有的时候需要试商一次、有的时候需要试商两次”的追问，让学生的思维直抵运算的本质，迈向深刻。

最后，徐老师还鼓励学生通过分类，进一步澄清认知：除数是两位数的除法有时除数不是整十数，需要把除数看成整十数试商;试商有四舍法和五入法两种;不管哪种方法试商，有的时候正好成功，有的时候还需要调商……分类活动、师生对话、结构化板书帮助学生很好地建构了除数是两位数的除法的知识网络结构图，既指向内容，更指向方法及本质。

（三）“对话”：使学生更有序地发展思维与能力

对话与共享，是“无痕教育”追求的理想课堂样态。

“同学们真有礼貌！今天这节课，我们要复习有关除法的知识。”课堂从交心式的谈话开始。

當课堂上出现错误时，徐老师带着微笑示意：“你自己有没有发现做错了？自己上来改更好。” 学生在徐老师营造的宽松氛围中改正了错误。之后，徐老师顺势提醒全班注意商的位置。容错与纠错中，学生获得了更多学习的自信与力量。

“我们在算除数是两位数的除法的时候，用了四舍法或者五入法试商，每一次都能一次试下来就正好吗？”指向本质与核心的“大”问题把学生引向思维深处，展开整体性思考：笔算除数是两位数的除法时，有时会遇到调商的情况，有的时候需要调商一次，有的时候需要调商两次。

“接下来，请同学们根据这样的规律猜想一下，如果用五入法试商，可能会出现什么情况？”鼓励学生猜想，以理解促进迁移。

“（1611□）除数还是16，被除数十位和百位不变，个位如果是几，就需要两次调商？”引发学生对除数是16这一类问题的整体思考。

“再回到刚才的试商和调商问题，不管是用四舍法试商，还是用五入法试商，你觉得除数的个位是怎样的数字有可能需要调商？”引发学生从部分到全局、从下位到上位整体思考并回答除数是两位数的除法运算法则及其算理的问题。

教学活动的推进发生在学生的尝试练习之后，教师总会与学生一起进行对话与分享、展开反思与交流。层层推进，引发学生不断地在这些触及本质及结构的问题中展开思考、获得新的发现、得到新的提升。

（四）“生长”：让学生的学习经历更灵动

让每一个孩子享受教育成长的快乐，是“无痕教育”追求的至高育人目标。

苏霍姆林斯基说过：一个人到学校上学，不仅是为了取得一份知识的行囊，而主要是为了获得聪明。数学复习课是学生认知策略习得、数学思想方法获得及解决综合问题能力提高的极好时机，灵活生长应该成为复习课承载的更为重要的育人功能。

本节课，徐老师独具匠心地把34279改成3427□、把16111改成1□111、1611□。新的问题情境呈现，一改以往教师出一道题、学生算一道题的教学方式，教师“退”后把出题的主动权让给学生，学生在对数据的观察与思考中“进”而成为命题者。在由“一道题”变化为“多道题”的过程中，学生主动发现题目之间的“异”与“同”，有效提升运算能力和对除法试商与调商的理解。

最后一个环节，让学生举例子，关联多个知识点，牵一发而动全身。学生在观察与思考中、交流与分享中，发展了数感和运算能力，提升了学力。

育人无痕，养力有道。本节课中，徐老师的努力不仅仅用在学生会“做”题上，更用在促进学生对算理理解后的算法结构形成上，用在引发学生思考上，用在学生已学知识的穿线结网上，用在学生自主复习能力的提升上。可以说，这节课学生在徐老师“无痕”的教中，留下了诸多的“有痕”：既完善了认知结构，温故而知新，又发展了数学思考，滋养了学力，提升了数学素养。