例谈“对称法”求解几何光学问题

胡永琰

[摘   要]几何边角关系的转化是求解高中几何光学问题的基础和关键，不少学生在实际解题中对几何边角关系的转化方法比较单一、不够灵活，时常因边角关系被卡住。文章通过举例，介绍了用“对称法”求解相关几何光学问题的解题方法。

[关键词]对称;边角关系;光路

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）11-0061-03

一、问题提出

笔者在教学中发现：在求解一道高考真题时，学生提出了两种解法，但这些解法都不是高考提供的参考解法，且差异较大，由此引发了笔者的思考。

从上述的三种方法来看，学生的解法与标准答案的解法存在一定的差异。那么究竟是哪种方法更具有普遍性呢？似乎各有所长，难以定论。作为教师，从研究高考试题的角度来看，可以试着从三种解法的分析与对比中找到各种解法的精髓，进而提升学生解决相关问题的能力。

二、问题探究

笔者在反思中发现了：平面镜成像时，像与物关于平面镜对称，这种对称关系会极大地丰富几何光学中边角转化方法。但在高中，由于几何光学的核心内容是光的折射，“平面镜反射”这部分内容处于边缘化的位置，因此，在实际解答相关问题时，往往会聚焦在光的折射上而忽视平面镜反射中的对称性，正是因为忽视了潜在的对称关系，导致不少几何光学问题沦为赤裸裸的数学几何题，缺乏必要的物理思维。

下面重点剖析例1各种解法的特点。

解法1.巧妙应用[EF=EO+OF=EP+PF]几何关系，根据该关系式，结合已知的边角，定量表达出[EO]、[OF]、[EP]、[PF]，并代入上式，由此推导出相关的入射角或折射角。此法要求学生能够在解题时敏锐地觉察到上面的几何关系。

解法2.对两个有公共边的三角形各自使用正弦定理，由此建立起等量关系，进而求出入射角或折射角。解题思路非常清晰，但这种解法要求学生对几何关系非常敏感。

学生提供的解法具有浓厚的数学味，而事实确实也是班级中那些数学好的学生才能求解。

解法3.把半圆的下半部分补充完整，由此衍生了很多的辅助线，而根据辅助线能够非常灵活地转换边角关系，由此可以简化问题，但问题在于学生不容易想到如此作辅助线。

通过以上三种方法的比较可以看出，此题的解法呈开放性，给了学生独立思考和个性表达的空间。但作为教师，应該思考究竟是哪种解法更具有普遍性。不过，经过师生和生生的交流、思考发现：解法3更具有普遍性。解法3的辅助线之所以不易想到，是因为忽视了平面镜反射中的对称性，导致其中丰富的几何边角关系被掩盖。若能在平面镜反射中借助虚像来完成相关光路图，那么其对应的辅助线也就水到渠成，就可以降低此类问题的难度。

[例2]一高为[2a]的长方体容器，其底面是边长为[a]的正方形，容器中充满了透明液体，如图5，D和D′分别是上下面的中心，过DD′且垂直于左右两侧面截出其剖面，容器右侧内壁均匀喷涂有某种反光材料，剩余内壁均匀喷涂有某种吸光材料，剖面的左下方[S]处有一点光源，已知在D处观测到两束相互垂直的光线，求容器中透明液体的折射率为多少？

评析：例3中同样涉及平面镜反射，利用虚像来完成光路后，其临界光路非常清晰，除了可以精准地完成光路图之外，在定量计算的时候，边角转化也比较灵活。

综上分析可以得出，在涉及平面镜反射的折射问题中要充分运用像与物的对称关系完成光路图，由其中的对称关系作出相关的辅助线，综合光路图和辅助线挖掘潜在的边角关系，可以较轻松地破解高中几何光学问题的难点。教师在几何光学的教学中要强化学生的对称意识，引导学生在处理这类问题时用对称法切入，较之其他偏向数学的解法，“对称法”具有明显的物理特点和优势，可以提升学生解决此类问题的能力。

三、思考与启示

高中物理几何光学内容，虽是物理题，难点在于几何知识的运用，现实中，不少师生把它当作几何问题的简单翻版，导致在处理较复杂的几何光学问题时方法单一，数学味偏重，解题效率低下。而通过平面镜反射成像的对称性可以灵活转换边角关系，思维广阔，富含学科特色，该方法对求解相关几何光学问题具有一定的启发性。当然，“对称思维”本身也是物理学的重要思维方法，在“静电场”“简谐运动”“恒定电流”等问题中都有着极为重用的应用。此外，教师在教学中应提倡研究参考答案，每一种解法的切入点、思想方法都有一定的差异，认真分析、对比各种解法，在不同解法的分析对比中，还能查缺补漏、拓宽思路，提高解决问题的能力。

[   参   考   文   献   ]

[1]  罗声苗，肖炯.一道几何光学高考题的两种新解法[J].物理通报，2012（12）：45-46.

[2]  赵亚娜.“玻璃砖”背景下的光学应用：光的折射、全反射定律在高考中的命题规律及复习策略[J].中学物理教学参考，2020，49（1）：47-51.

[3]  刘明忠.数学知识在2011年高考物理中的应用[J].中学物理，2012，（5）：67-68.

（责任编辑 易志毅）