数学模型方法指导下的高中数学教学

谢明德

【摘 要】本文论述高中数学教学中运用数学建模的策略，提出教师要树立数学建模的意识，将数学建模贯穿于教学的过程中，利用经典的数学建模故事提高学生的学习兴趣，从多视角通过一题多解发散学生的思维，创新和改编课本的例题、习题等，以期使学生掌握高中数学的学习方法。

【关键词】高中数学 数学建模 一题多解

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）46-0089-02

数学建模可以作为部分数学兴趣小组的课外活动，同时也可以作为一种教学思想贯穿于高中数学教学的全过程。教师作为引领人，要提出合适的、可操作的建模素材，这是数学建模的突破口。数学模型方法指导下的数学教与学，要求尽可能地创设或恢复数学创造的全过程，也就是说，教与学要从现实原型出发，充分运用观察、实验、比较、分析、综合、归纳、抽象、概括等基本的数学思想方法来获得数学概念、基本关系，通过推演获得公式、公理和相应的数学模型。

一、利用经典数学建模故事

【例1】人教版普通高中数学教科书在第七章《复数》中，针对数系的扩充和复数的概念部分，为了解决x2+1=0在实数系中无解的问题，引入复数i，规定i2=-1，并以此为基础构建了复数的相关理论。

事实上，复数首先是由代数学家卡当（J. Cardan）在求解方程x（10-x）=40时引入的，复数这个名词是由德国数学家高斯给出的。但是，当时数学家对复数是不愿意接受的，直到18世纪末19世纪初，挪威测量学家未塞尔根据自己的测量学知识，凭直觉找到了复数的几何表示法：复数a+bi与平面上的点一一对应。这样一来，复数就找到了一个现实模型，而且在测绘学上找到了它的应用。复数模型找到了立足点后，以欧拉为首的一些数学家发展了复变函数论这一数学分支。在法国数学家柯西和德国数学家黎曼、维尔斯特拉斯等人的不懈努力下，复变函数论取得了飞跃式的发展，并实现了广泛的应用，如19世纪初俄罗斯科学家儒可夫斯基将复变函数理论运用到航空工程领域，取得了重大成就。

反思：学生在学习复数相关知识时会感觉虚无缥缈，看不见、用不上，缺乏实践基础。教师可以简单介绍复数理论的历史故事，引导学生了解复数理论的现实用处，让学生对复数的知识内容产生浓厚的学习兴趣。沟通数学理论和实践活动的桥梁是数学建模。理论突破和实践突破是数学发展的重要推动力，有时候先有数学理论的突破，需要经过长期的生产实践才能找到数学理论的用武之地;有时候先有实践的需求，经过数学家的建模活动才能为实践指明方向，同时可能诞生出一个崭新的数学分支。例如，微积分理论是牛顿和莱布尼茨在研究物理和数学问题时创立的，图论是欧拉在研究哥尼斯堡七桥问题时创立的，等等。這样的数学建模，高中阶段的教师和学生是难以进行的，但是了解相关的故事有助于提高学生的数学学习兴趣，帮助学生树立远大的理想。

【例2】俄国数学家和物理学家伽莫夫（G. Gamow，1904—1968年）曾试图揭开复数的奥秘。有一次，他出了一道难题：有一张破旧发黄的羊皮纸，上面指出了某一无人岛上海盗宝藏的位置，同时指示出岛上仅有两棵树A和B，还有一个断头台;从断头台开始直线走向A树并记下步数，到达后向左转90°继续直走相同的步数，然后在停止处钉下一根长钉;再回到断头台直线走向B树，到达后右转90°继续直走相同的步数，同样在停止处钉下一根长钉;这时只要在两钉连线的中点处挖掘，就可以找到宝藏。一位年轻的探险家幸运地得到了这张羊皮纸，于是租了一艘船，乘风破浪、披星戴月、满怀信心地前往该岛。他毫不费力地找到了那两棵树，然而令他沮丧的是，断头台却荡然无存了！断头台所在地的一切痕迹也因年代久远而消失于荒烟蔓草之中。找不到这个断头台，年轻人无法找到宝藏，只好失望地空手而归。

分析：第一步，建立模型。建立实际问题与数学理论和方法的联系。将问题中的树、断头台等抽象为平面上的点，为了确定点的位置可以建立坐标系。第二步，求解模型。问题中牵涉到旋转，可以用复数的乘法和向量的相关理论加以求解。第三步，转化为实际问题的解。

反思：此问题运用了向量和复数的相关理论，特别是在处理旋转问题时，使用复数的乘法处理就十分巧妙;同时，学生也能体验到对复数的一个简单应用，深化对复数和向量的理解。经典的数学故事往往蕴含着数学的巨大能量，能体现出数学的价值。讲好经典的数学故事有利于培养学生学习数学的兴趣以及用数学知识解决实际问题的意识。

二、多视角下的一题多解

数学中的各种公式及其运算系统、各类方程及其求解方法等都是由对象间的数量关系抽象出来的，它们也分别构成数学模型。人们在解决一类问题的过程中可采用的共同的计策构成的数学模型，也就是方法型数学模型。事实上，人教版普通高中数学教科书选择性必修1第一章《空间向量与立体几何》就是一个典型的方法型数学模型，它用向量的理论解决了立体几何中的平行、垂直、长度、角度等问题。一题多解，运用不同的理论知识加以阐述，能够帮助学生找到数学知识间的联系，发散数学思维。

反思：此题用了三种不同的方法，其实是建立了三种不同的数学模型。所用到的数学知识不同，有利于学生建立知识与知识之间的联系，培养学生的数学建模意识。法一和法三用到了关系映射反演方法（如图5所示），这种方法和建立数学模型求解是一脉相承的。

三、课本例题、习题的创新和改编

【例4】人教版普通高中数学教科书（2017年版，2019年修订）第238页例题：摩天轮是一种大型转轮状机械设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转。摩天轮最高点距离地面120米，转盘直径110米，游客在距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30分钟，游客甲坐上摩天轮的座舱，求开始转动t分钟后距离地面的高度H。

反思：学生在建模、求解模型的过程中可以深化对正弦函数的理解，得到解析式H（t）=Asin（ωx+φ）+b后进一步理解了A、ω、φ、b的物理意义和几何意义，对往复运动的周期性特点有了更深刻的认识，这也有助于理解物理学中的简谐振动。

教科书第242—248页编排了丰富的三角函数模型的应用案例，为数学模型方法指导下的数学教与学提供了丰富的教学素材，同时也体现了教材编写者对高中数学建模问题的重视。

总之，数学模型方法指导下的教学需要教师巧妙地设计问题，提供智力支持和方法指导，而在这个过程中教师也能有所收获，实现教学相长;同时，教师应鼓励学生大胆设想，小心求证，充分点燃学生的积极性，让学生在探索的过程中培养团结合作的精神和求真务实的学习态度。

【参考文献】

[1]中学数学课程教材研究开发中心.数学：普通高中教科书：必修二[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2]沈文选，杨清桃.数学建模尝试[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2018.

[3]张思明.理解数学[M].福州：福建教育出版社，2012.

注：本文系广东省教育研究院立项课题“基于数学建模素养为导向的高中数学教学实践研究”（编号：GDJY-2020-A-s124）研究成果。