聚焦教材中的实验题，让数学变得“好玩”

吴敏强

[摘  要] 数学实验是研究数学的不可忽视的方法，文章以探究圆锥曲线的定义为例，利用教材課后实验题，设计并实践了一堂数学实验课. 在课堂中利用数学实验让学生领略数学的魅力为探究，同时体现教材实验题的巨大价值，促进学生独立思考和创新意识的培养.

[关键词] 数学实验;教材实验题;圆锥曲线

比对以核心素养为统领的课改诉求，当前高中数学课程和教学在“事实”、素材、问题、过程等方面都有所欠缺，出现了像中科院院士李大潜所指出的那种“长期存在的矛盾现象：一方面数学很有用，另一方面学生学了数学以后却不会用”. 改变现状必须从完善课程内容、加强实践环节入手，而以“数学实验”为载体的教学创新适逢其时.

数学实验课，让我们的课堂可以不再“一支笔一张纸打天下”，同时让知识的传输由单方向向多方向发展. 它提高了学生在数学课堂中的参与度，当学生全身心地融入实验中时，他们的主观能动性会得到充分的发挥. 数学实验会引起学生对数学知识的探究欲和学习兴趣，因此，实验课能促进学生独立思考和创新意识的培养.

教材中有许多的实验题，或者说是动手操作题，被许多教师忽略，其实，这些实验题是学生体验数学生成的绝佳材料. 笔者以探究圆锥曲线的定义为例，利用教材课后的实验题，设计并实践了一堂数学实验课，课堂实录与设计理念如下：

■复习巩固回顾

师：同学们，今天我们一起重新探究圆锥曲线的定义，今天的探究需要我们动手动脑，我们上一堂数学实验课.

师：圆锥曲线的形成有几种方式？

生：可以用平面去截圆锥，不同的角度的平面会截得不同的圆锥曲线.

生：满足一定条件的动点的轨迹.

师：两位同学给出了两种不同的生成方式，这是我们之前学习过的，那么还有其他的生成方式吗？

（学生思考中）

师：其实，我们还可以通过折纸的方式生成圆锥曲线，请大家拿出我们之前准备的圆形纸片，尝试下面的实验

设计理念：对于一堂实验课，明确的实验目标可以让学生迅速地进入实验思考状态，为实验的开展指明方向. 故笔者在本课复习巩固阶段，简明扼要地给出了实验目标，引导学生对实验进行思考. 同时，让学生复习圆锥曲线的定义和生成方式，把学生带回到“最近发展区”，为本课后续的结论验证提供必要的理论储备和“后勤保障”.

■动手实验探究

实验1（苏教版高中数学选修2-1）：准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心C的一点F，将纸片折起，使圆周过点F（如图1），然后将纸片展开，就得到一条折痕l（为了看清楚，可把直线l画出来）. 这样继续折下去，得到若干折痕. 观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？

（实验活动，教师给予充足的时间）

师：哪位同学能展示一下你的实验成果？

生：（展示实验成果，如图2）这些折痕围成的轮廓很像椭圆.

设计理念：实验课最重要的目的是让学生在实验操作中体验理论的生成，故学生的实验操作部分是本课的核心，学生的实验体验直接会影响学生本节课的学习兴趣与动力，故笔者在课堂上对本次实验给予了足够的重视，给足了学生足够的实验操作时间，对于部分实验有困难的学生在课堂巡视中给予适当的提示与帮助，并且尽力让所有学生都能充分体验，生成各自的实验结果，充分的体验为后续寻求理论支撑提供“养料”.

■寻求理论支撑

师：折痕围成的轮廓一定是一个椭圆吗？

生：不一定.

师：没错，这个只能是我们实验后的一种猜想，那我们接下来应该做什么？

生：我们要证明这个轮廓是一个椭圆.

师：很好，请大家想一想，怎么证明这是一个椭圆呢？

生：我们需要证明轮廓上的任意一点都符合椭圆的定义，也就是说我们只要证明轮廓上的任意一点到两个定点的距离之和为定值（定值小于定点间距），那么我们就可以说这个折痕轮廓就是一个椭圆了.

师：很好，那么请同学们试着证明这个结论.

（学生思考证明）

师：哪位同学能说一下想法？

生：我可以证明折痕上存在点P的轨迹是一个椭圆. 设折痕为l，那么点F关于折痕l的对称点Q一定在圆弧上，连接CQ交l与点P，连接PF. 因为点P在折痕上，所以PF=PQ，所以PF+PC=PQ+PC=r. 又因为定点F在圆C内，所以CF

师：非常好，这位同学证明了在折痕上存在轨迹为椭圆的点. 那么问题来了，点P的轨迹是不是就是我们折痕围成的椭圆呢？

生：老师，我能证明折痕上只有这一个点的轨迹是以C，F为焦点的椭圆，其他点的轨迹都不是椭圆P，这样就可以说明点P的轨迹就是我们折痕围成的椭圆了. 在折痕l上任取异于点P的点M，则MF=MQ，此时MC+MF=MC+MQ. 因为点M异于点P，故在三角形CMQ中，总有MC+MQ>CQ，即MC+MQ不是一个常数，所以点M不在椭圆P上，可见折痕和椭圆只有一个交点P，该折痕就是椭圆的一条切线. 同理，每一条折痕都是椭圆的切线，所有切线围出的轮廓就是椭圆，我想，这就是我们能通过这个方法折出椭圆的原理.

师：非常好，通过同学们的合作探究，我们不仅折出了椭圆，还给出了证明，找到了折纸方法的原理，在实验中体验数学理论的生成，非常有意思！

具体证明过程给予板书演示（略）.

设计理念：实验结论最终要回到理论层面. 对实验生成的初步结论进行科学的验证，才是完整的实验，未被验证的结论只能说是猜想. 在验证中调整实验，在实验中完善结论，这就是实验课的经典模式，也是实验课带给学生最有价值的体验. 逻辑推理是数学六大核心素养之一，提高学生逻辑推理能力也是数学课程的重要目标. 故本节课的第三部分“寻求理论支撑”也是本节课支撑师生互动，进行实验结论的成功验证. 从数学层面，是对实验结果的理论支撑;从教学层面，既是对学生实验的肯定，也是对学生进行后续实验的有力支持.

■独立实验与探究

师：那么老师把实验条件变一下，请同学看实验2.

实验2（苏教版教科书选修2-1）：在纸上画一个圆C，在圆外任取一定点F，将纸片折起，使圆周过点F（如图3），然后将纸片展开，就得到一条折痕l（为了看清楚，可把直线l画出来）. 这样继续折下去，得到若干折痕. 观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？

学生有了实验1的经验，实验2比较顺利，很快有了实验结果，并进行了理论证明，具体过程在此不再赘述.

设计理念：纵向或横向的拓展训练是巩固学习成果的一个重要手段. 那么作为实验课，学生有了第一次完整实践经验后，独立完成拓展实验，可以有效地加固学生对实验流程的理解，加强数学实验与理论验证的体验，对于课程体验与数学理论的内化起到重要作用.

■反思与总结

师：好的，我们同学都非常顺利地完成了实验2，并给出了证明，体验了椭圆和双曲线的实验. 通过这节课，同学们可以充分地体验到数学实验的魅力，在实验中探寻理论，在理论中完善实验， 数学也可以很“好玩”.

设计理念：总结是面向过去的再学习，而反思是面向未来的再学习，总结与反思是学生自我提升的最佳方式，笔者非常重视在课堂上渗透自我反思的理念，培养学生好的学习习惯.

■课外实验延伸

师：最后，我们知道圆锥曲线还有一种曲线——抛物线，能不能也用折纸的方法生成抛物线呢？另外，圆锥曲线还有没有其他的生成形式呢？这两个问题就留给大家课后思考探究！

设计理念：“教是为了不教”，由课内延伸到课外是学生发展的必经之路，笔者对这部分教学设计的目的是为了让科学实验探究的理念渗透到学生的日常生活中，经历实验的操作，学生能学会用实验方式探究真实世界，发现和提出问题，觉察数学与现实之间的联系;累积数学实践的经验，提升实践能力，加强创新意识和科学精神.

■结语

数学实验让学生初步实践数学知识的来龙去脉，以及利用数学与知识解决实际问題的全过程，而实验的结果不仅仅是数学知识的建构和推导，它还反映了学生对数学原理、数学方法的掌握程度和数学应用的能力，因此数学实验可以增强学生对世界的认知能力和知识应用能力.

数学实验课一定不会昙花一现，它的产生符合教育改革的路径，所以它是一种极具生命力和发展前景的数学课程.