“生命数学”教学中数学思维的生长之道

【摘 要】教学苏教版五下《圆的面积》一课，对教材内容进行大胆“取舍”，舍去烦琐的数数、计算、告知，力求激发儿童猜想、验证、建模，这有助于知识更自然地进入课堂，唤醒学习潜能，促進儿童的数学思维更好地生长。

【关键词】生命数学;数学思维;猜想;验证;建模

【中图分类号】G623.5  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2021）09-0011-03

【作者简介】周丽琴，江苏省宜兴市阳羡小学（江苏宜兴，214200）教导主任，高级教师，宜兴市数学学科带头人。

【设计理念】

1.舍“繁”求“趣”，支持“大胆猜想”。

美籍匈牙利数学家波利亚认为，合情推理就是猜想。《义务教育数学课程标准（2011年版）》也明确指出了合情推理的重要性，提出“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维”。在探究圆面积计算方法的教学中，教师一般会先引导学生把以r为边长的正方形与圆进行对比，直观感知圆面积可能是正方形面积的4倍少一些，3倍多一些;然后在教师指导下，分步、分组用数方格和计算的方法得到三个圆的面积;最后得到圆面积和小正方形面积的关系，进而发现圆面积是小正方形面积的3倍多一点。这种按部就班的推导活动，会在一定程度上限制学生的创造性思维。因此，笔者设计了“猜一猜”的环节，让学生自由说说“这个3倍多一点可能会是哪个数”，直接把关于圆面积的猜想推到了πr2。其间，舍去了多次数方格的烦琐，压缩了探究时间，借助“三次猜想”，一步步逼近知识核心。

2.舍“近”求“远”，支持“殊途同归”。

在探究新知的过程中，学生应该有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。因此，笔者根据学生的不同起点尝试通过转化进行认知突破，大胆舍弃了面积的直接计算，给足时间和空间让学生经历实验过程，感悟公式推导的多样性，验证猜想的正确性。学生通过把圆转化成长方形、三角形、梯形等不同的图形，动手、动口、动脑，最后殊途同归得出了圆面积计算公式。这些不同的研究素材既保证了研究对象的丰富性，又保证了学生参与探究活动的积极性。按照教材的安排，本节课要应用圆面积计算方法解决实际问题。为了最大限度地让学生看到平面图形之间的紧密联系（通过剪拼可以相互转化），充分感受演绎推理的力量，经历知识结论的形成过程，笔者果断舍去面积计算的部分，把更多时间放在不同的转化上，让学生经历了完整的“破茧成蝶”的过程，沉浸在思维之旅“原来也可以如此”的兴奋之中，真正让知识进入学生的生命，从而浸润其生命。

3.舍“鱼”求“渔”，支持“曲径通幽”。

数学是抽象的，怎样使抽象的知识具象化？如何帮助学生实现意义赋予？是直奔结论地照本宣科，还是曲径通幽地自主跋涉？无疑，舍“鱼”求“渔”的探寻更有利于学生数学思维的培养。建模的过程其实就是归纳的过程。圆的面积和以前学过的平面图形的面积有着截然不同的思考角度，为什么不可以把两个完全相同的圆拼成我们学过的图形？为什么沿着直径剪圆后不能拼成我们学过的图形？笔者试着让学生自己找原因，从而得出：沿着直径剪开得到的半圆无法拼成我们学过的图形;沿着半径平均分成四份，看拼成的图形，有点像平行四边形，为了使它更像平行四边形，平均分的份数应该更多。然后让学生说出自己想平均分的份数，电脑随机演示16等分、32等分、48等分、200等分、1000等分……直至学生联想到把圆无数等分时拼成的就是一个长方形。这种“化曲为直”“化曲为方”的方法，可以帮助学生的思维从“合情”走向“合理”。

4.舍“知”求“识”，支持“思绪放飞”。

本节课，教材的安排是转化成长方形后推导出圆面积的计算方法，然后运用公式解决实际问题。在大部分学生都能掌握这种转化的背景下，笔者思考：就一种转化是否显得过于单一？这样的安排是否还是传统的知识学习课堂？基于此，为了更大限度地拉伸学生思维的张力，释放学生生命的潜能，体现“生命课堂”的精髓，笔者大胆引导学生多线并进（转化成长方形、三角形、梯形），经历了“定向（想转化成什么图形）—操作（怎样转化）—比较（转化前后图形的联系）—推理（从已知推出未知）”的探究过程，最终殊途同归，得到圆的面积的计算方法。

【主要教学片段】

1.提出猜想，初步验证。

（1）提出猜想：以正方形的边长为半径画一个圆，正方形的面积可以怎样表示？看着图形猜一猜，圆的面积大约是正方形的几倍？你是怎么想的？如果每个小方格表示1平方厘米，你能用数方格的方法算出圆的面积吗？要使得到的面积更准确，你准备怎样数？

（2）适时小结：我们通过猜测—数方格—计算，最终发现圆的面积总是正方形的面积的3倍多一些。

2.再次猜想，沟通联系。

（1）继续猜想：再大胆猜测，这个“3倍多一些”可能会是什么数？

（2）回忆沟通：回想一下，上学期我们学习的平行四边形面积计算公式是怎样推导的？由此可见，一种新的图形的面积计算公式，我们一般可以怎样推导？那圆的面积计算公式我们可以怎样推导呢？

（3）探索转化：看着圆想一想，要把它转化成我们想要的图形，你准备怎么办？（拼一拼）能不能把两个完全一样的圆拼成我们已经学过的图形？（不能）那怎么办？（剪一剪）怎么剪？（沿着直径剪）好，听你的，把它沿着直径剪开，能不能拼成我们学过的图形？（不能）那怎么办？（沿着半径剪）

（4）感受“化曲为直”：这是沿着半径把圆平均分成四份，看拼成的图形，有点像什么？（平行四边形）为了使它更像平行四边形，你觉得应该怎么样？（分得更多）你想把它平均分成多少份？（16、32、48、1000……）继续这样平均分成无数份，拼成的就是一个——（长方形）

（5）思索多种拼法：这是把圆平均分成16份后的小扇形，想办法拼成我们学过的图形。

3.操作验证，殊途同归。

（1）展示拼法：学生拼成的有长方形、梯形、三角形。

（2）推导公式：重点研究转化成长方形的情况。看着这两个图形想一想，拼成的长方形与原来的圆有什么关系？谁来说一说你的发现？

（3）探究其他转化。

来看转化成梯形的情况。梯形的面积怎么算？拼成梯形的上下底之和相当于圆的什么？梯形的高又相当于圆的什么？根据梯形的面积计算方法，怎样计算圆的面积？

再一起来研究拼成三角形的情况。三角形的面积计算公式是什么？你能像研究前两种情况那样来研究这种情况吗？能根据三角形的面积计算方法来计算圆的面积吗？还有没有用不同方法也推导出了圆面积计算公式的？（根据一个小扇形的面积再乘16也可以推导出圆的面积计算公式）

（4）溝通不同转化之间的联系：刚才，我们把圆转化成长方形、梯形、三角形，推导出了圆的面积计算公式，从而验证了我们前面的猜测是正确的。同学们，猜想、验证、转化都是数学学习中重要的思考方法，我们在以后的学习中要注意运用它们来探究新的知识。

4.全课总结。

这节课，你有什么收获？哪些地方给你留下了深刻的印象？

【教后反思】

本节课对教材进行了二度开发，省略了面积计算环节，引导学生对图形转化的多样性进行了探究，使学生的生命潜能得到了释放，他们有了充足的时间进行自主探索。不少学生反馈，通过本节课的学习，感受到了数学的乐趣，知道了原来再多思考一点可以发现更多更美的风景。当课堂留给学生的不仅仅是知识，还有情感的需求、思想的激励时，就是生命数学的最大呈现，也是笔者执教这节课最大的收获。然而，因为一节课时间有限，很多环节未能充分展开，像数方格、公式推导等都未能给更多学生表达的机会。另外，本节课不少问题都具有较强的思考性，如为什么要沿着半径剪？圆转化成梯形、三角形后公式怎么来推导？教学时未能顾及大多数学生的接受能力，且因为研究对象的多样性，影响了一些学生对圆转化成长方形后的理解。

在以后的教学中，笔者一定注意把“为了人，为了发展师生的生命”作为出发点，把“生成人，生成师生的健全生命”作为落脚点，以期最大限度地释放学生生命的潜能，促进学生的数学思维更好地生长。