利用线性元件实现完全Bell态测量

宁雪，李艳娜，李卫东

（山西大学 理论物理研究所，量子光学与光量子器件国家重点实验室，极端光学协同创新中心，山西 太原 030006）

0 引言

Bell态测量在量子通讯中起着非常重要的作用，尤其是在量子密集编码[1-5]、量子隐形传态[6-10]和量子纠缠交换[10-13]等过程中是必不可少的部分。因此，如何高效率地完全区分四个Bell态是一个非常重要的研究课题。

Bell态测量的核心问题是如何通过对两个量子比特进行联合测量，从而实现对Bell态的识别。之前的许多工作都提及用非线性[14-15]方法可以实现全部Bell态的测量，但是利用线性光学操作区分四个Bell态仍是一个挑战[16-17]。1994年，Braunstein等人提出的Hong-Ou-Mandel干涉仪在线性光学操作中是一个重要的研究方案[18]，两个偏振纠缠的粒子在分束器的两个输入端口输入，通过对两个探测器的检测结果进行分析，可以明确地推断出两种输入模式之间的特定Bell状态。早在2001年，Calsamiglia和Lutkenhaus在理论上就证明了线性Bell态分析仪的最大效率为50%[19]。2011年，Grice首次提出通过引入同自由度辅助纠缠光子对的方法，可以提高线性光学Bell态的测量效率[20]：在没有引入辅助光子对的情况下，Bell态区分效率为50%；引入一对纠缠光子可以将效率提高到75%；原则上，引入的光子对数足够多，就可以实现近乎完全的Bell态测量。然而实际上，研究学者提出，通过辅助不同自由度中的光子纠缠可以提高甚至实现一个完整的Bell态测量。早在1998年，Kwiat和Weinfurter就提出了辅助时间-能量自由度或辅助动量自由度来区分极化自由度Bell态的测量方案[21]。2003年，Walborn 等人提出使用超纠缠完成光子的完整Bell态测量方案，此方案中使用了光子的极化和动量两个自由度，将其中一个自由度作为辅助量实现了对另一个自由度上Bell态的完全区分[22]。2013年，Sheng等人完成了用自由度在频率和极化上的超纠缠实现了单光子极化自由度的完整Bell态测量，其中频率被作为辅助自由度[23]。但利用线性元件实现更简洁、更高效的Bell态测量方案仍然是一个挑战。

基于我们最近工作中提出的将不同自由度耦合的混合分束器[24]，本文提出一种新的方案，利用线性元件成功地实现了Bell态的完全区分。我们的研究方案是基于待测未知Bell态复制的假设。Bell态复制是量子克隆的一个研究热点[25-27]，但不是本文的研究内容。我们将待测Bell态进行复制，成为完全相同的两份，一份进入普通分束器（BS）（只改变动量），另一份进入混合分束器（HBS）（同时改变动量和偏振两个自由度），通过对分束器输出端探测器响应情况进行分析，从而对待测Bell态进行区分。

1 混合分束器的实现

当我们考虑一个具有偏振和动量自由度的光子时，光子的两个自由度之间的可能相关性可以用来描述，其中H和V分别表示水平和竖直偏振，p1和p2分别表示不同的动量，φ表示位相。

图1 光子混合分束器Fig.1 Photon hybrid beam splitter

上述两自由度的相关性可以用混合分束器来进行具体叙述，其在光学中的实现是由两种不同的偏振分束器（PBS）和四分之一波片构成，混合分束器将粒子的偏振和动量两个不同自由度进行了耦合。偏振分束器PBS1透射以特定的偏振状态（例如：V）透射所有光子，同时使正交偏振（如：H）光子反射。四分之一波片作为改变偏振态的分束器，不影响动量，即aj，p→aj，p+iak，p，j，k=H，V。偏振分束器PBS2透射被PBS1偏转的偏振状态为H的光子，并反射先前偏振状态V的光子。如，光子的输入态为aH，则光子通过混合分束器的输出过程具体如下

其中，a表示输入端的粒子，b表示输出端的粒子，M是全反射镜，在此的作用是只改变动量，不改变偏振。最后，由于两个自由度的耦合作用，混合分束器变换的形式写成数学矩阵形式为4×4矩阵

上面所述就实现了线性光学系统中的混合分束器[24]。

2 Bell态分析

在输入端，四个可能的Bell态如下：

我们把四个Bell态从以下装置输入并进行区分，如图2所示。

图2 Bell态检测的实验装置图Fig.2 Experimental apparatus diagram of Bell state detection

对Bell态分析时，如前所述，首先我们要对输入的待测Bell态进行复制[27-29]，此时我们就得到了两份相同的Bell态，然后对Bell态进行如图2所示的操作，其中一份Bell态进行普通分束器（BS）操作，另一份Bell态用混合分束器（HBS）操作，普通分束器只对动量作区分，对偏振没有影响，极化分束器PBS通过H反射V，普通分束器的矩阵形式如下：

其中，j代表偏振，四个Bell态经过普通分束器后的输出结果分别是

可以有效地根据偏振把偏振不同的粒子输出到不同的探测器。

当另一组Bell态通过HBS时，混合分束器的矩阵为上面的（2）式。那么，四个Bell态经过混合分束器后的输出结果是

同理如公式（5）中判断探测器响应情况的方法。从（8）、（9）、（10）式结果可以看出，若（⑤、⑥）或者（⑦、⑧）探测器同时响应，则输入态为；若（⑤、⑧）或者（⑥、⑦）探测器同时响应，则输入态为；若⑤、⑥、⑦、⑧中只有一个探测器响应，对应的输入态为。

完全Bell态测量分析结果如表1所示：如果BS端测量结果是探测器（①、②）或者（③、④）同时响应并且HBS端测量结果是⑤、⑥、⑦、⑧中只有一个探测器会有响应，那么我们可以判断出输入态是；如果BS端测量结果是探测器（②、④）或者（①、③）同时响应，并且HBS端测量结果是⑤、⑥、⑦、⑧中只有一个探测器响应，那么我们可以判断出输入态是；如果BS端测量结果是探测器（①、②、③、④）中只有一个探测器响应，并且HBS端测量结果是探测器（⑤、⑥）或者（⑦、⑧）同时响应，那么我们可以判断输入态是；如果BS端测量结果是探测器（①、②、③、④）中只有一个探测器响应，并且HBS端测量结果是探测器（⑤、⑧）或者（⑥、⑦）同时响应，那么我们可以判断输入态是。同一输入态通过两种分束器后，探测结果不同的根本原因在于不同分束器对多自由度产生了不同的操作。

表1 测量结果Table 1 Results of measurement

3 结论

本文使用普通分束器和混合分束器提出一种完全Bell态测量方案，利用普通分束器可以区分四个Bell态中的两个，而混合光束分束器因为耦合了不同自由度，所以可将普通分束器不能区分的两个Bell态分辨出来，因此这两种分束器的互补作用给我们提供了一个完整的区分四个Bell态的方法。当输入态是，（①、②）或者（③、④）探测器会同时响应；若输入态为，（②、④）或者（①、③）探测器会同时响应；若（⑤、⑥）或者（⑦、⑧）探测器同时响应则输入态为；若（⑤、⑧）或者（⑥、⑦）探测器同时响应可知输入态为。该方案比起其他线性Bell态测量方案更简单、高效，为完全Bell态测量提供了一个新方向。

Bell态复制是量子克隆的一个重要研究课题，目前已有一些关于Bell态复制的一些研究成果，如参考文献[27-29]所述。虽然Bell态是否能复制成功会影响到本文Bell态测量的成功率，但不是我们本文工作的重点，本文只是提出一种方案。我们接下来的工作将是围绕Bell态的复制做进一步的研究。