考虑环境传播的肺结核模型的定性分析

赵爱民，任晓晓，刘桂荣

（山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006）

0 引言

肺结核是由结核杆菌引起的一种慢性传染病。全球每年有800万～1000万新发结核病例，其中致死病例越300万。对肺结核传播模式和传播规律进行研究具有非常重要的现实意义。肺结核具有潜伏期，潜伏时间因人而异，在潜伏期间，患者携带结核杆菌但不具有传染性。一旦患过肺结核病将终身免疫[1-3]。

预防结核病最有效的措施是接种疫苗。虽然接种疫苗会有效预防肺结核，但是接种后并不会终身免疫，只是降低了肺结核的感染率，接种者仍然具有被感染的风险。由于卡介苗免疫是活菌免疫，所以在人体内存在一段时间之后，人体内活菌减少，就会丧失免疫。考虑疫苗作用，建立肺结核传播模型，研究了无病平衡点和地方病平衡点的存在性与稳定性[4]。肺结核患者咳嗽、打喷嚏或者大声说话时，会向空气中排出携带结核杆菌的飞沫。结核杆菌生存能力很强，悬浮于空气中的结核杆菌可以存活9个小时以上，黏附在尘埃上可以保持传染性8～10天，在干燥痰中能够存活6～8个月。基于这种机理，考虑环境污染对肺结核传播模式和规律的影响，得到了平衡点的稳定性[5]。事实上，接种疫苗与环境传播在肺结核传播过程中都起着重要作用。因此，本文同时考虑接种疫苗以及环境传播，建立模型对肺结核进行研究。

1 模型建立及分析

首先，根据肺结核的发病机制[6-7]，把人群分为如下几类：易感者，接种疫苗者，潜伏者（携带病菌但不具有传染性），染病者和恢复者，用S（t），V（t），E（t），I（t），R（t）分别表示t时刻易感者，接种疫苗者，潜伏者，染病者和恢复者的数量。用B(t)表示t时刻环境中结核杆菌病毒的数量。本文根据肺结核病的特点，将新生儿均考虑为易感者。人口以常数A输入，μ为自然死亡率，人与人之间的接触传染率为β，人与环境之间的传染率为α，接种疫苗率为v，疫苗影响因子为ε，免疫失效率为p，潜伏者进入染病者的转移率为δ，染病者恢复率为γ，因病死亡率为m，染病者释放到环境中病毒的速率为k，环境中病毒的失效率为τ。根据肺结核传播特点[8-9]，建立疾病传播流程图，如图1所示。

图1 疾病传播流程图Fig.1 Disease transmission flow chart

2 基本再生数和平衡点的存在性

本节将给出模型（2）的平衡点的存在性及基本再生数。

令模型（2）的右端为0，容易计算得到无病平衡点P0(S0，V0，0，0，0)，其中

3 平衡点的全局渐近稳定性

4 数值模拟

本节进行数值模拟，说明上述理论结果的合理性。

选取参数β=9.7×10-8，α=1.1×10-8，μ=0.0131，γ=0.09，m=0.005，v=0.9，ε=0.15，δ=26，τ=3.6，k=8，p=0.95。在图2（a）中，令A=1.7×102，进而R0≈0.00586＜1。因此，模型（2）的无病平衡点是全局渐近稳定的。在图2（b）中，令A=1.7×107，进而R0≈586.25＞1。因此，模型（2）存在唯一的地方病平衡点，且是全局渐近稳定的[18]。

图2 E(t)+I(t)的时间序列Fig.2 Time series diagram ofE(t)+I(t)