八国小学与初中数学课程标准“统计与概率”内容的国际比较研究*

袁 梦 康玥媛 (天津师范大学教育学部 300387)

统计是中小学数学课程的重要内容，掌握统计的基础知识已经成为每一个公民都应具备的基本素质[1]．正如英国学者威尔斯所说：“统计的思维方法，就像读和写的能力一样，将成为效率公民的必备能力．”[2]在数学课程中统计与概率的内容得到了越来越高的重视，很多国家都将其列为中小学数学课程的重要组成部分．数学课程标准是国家对学生数学课程基本的素质要求，是教材编写、教师教学、考试评估的依据．因此，对各国课程标准的研究，有助于我们把握当今世界上不同国家统计与概率部分的内容设置和课程特点，对我国课标的编写与修订也具有参考价值．

本研究以中国、美国、英国、澳大利亚、芬兰、日本、韩国和新加坡八国的小学和初中阶段的数学课程标准中“统计与概率”部分的内容标准为对象，根据内容标准的不同方面[3-6]提出以下问题：各国在“统计与概率”部分的内容设置上有何异同？各国在“统计与概率”部分的内容广度和深度如何？各国“统计与概率”部分的课程内容在不同年级是如何分布的？

1 研究设计

1.1 研究对象的选取

考虑到各国文化背景和经济水平的差异，数学教学水平也不尽相同，研究选取了以上八个代表性国家的数学课程标准(基本信息如表1)．

表1 各国数学课程标准基本信息

1.2 研究思路与方法

研究利用Nvivo 11质性分析软件对各国课标中“统计与概率”部分的内容进行编码分析．以TIMSS提出的数学和科学课程的研究框架[16，17]为依据，将“统计与概率”部分知识点梳理概括，确定研究的编码框架，将各国课程标准中的一个编号或一句话作为内容设置以及内容广度的条目选取方式，对每个半句(动宾搭配)作为内容深度的条目选取方式，并对其进行编码．之后通过软件对两次编码结果进行编码信度检验，结果显示内容设置及内容广度的编码一致性为94.09%，内容深度的编码一致性为93.93%，说明研究结果信度较高．对编码结果整理分析，从内容设置情况、内容广度、内容深度、学习知识点的时间分布四个方面进行研究．

2 研究结果及分析

2.1 内容设置情况

内容设置情况主要对各国统计与概率下设知识点的分布情况做比较研究．

(1)“统计”部分各知识点所占比例比较

将二级编码“统计”中下设的三级编码所占比例进行统计，得到“统计”部分下设知识点所占比例比较，如图1．

图1 “统计”部分各知识点所占比例比较

中国和芬兰“数据的收集与分类”部分所占比例较高，占到20%以上，且该知识点是中国“统计”部分内容设置中占比最高的内容，而新加坡和英国的课标中没有涉及该部分相关知识．在“数据统计与分析”部分，韩国和芬兰的教学中完全没有涉及，中国、澳大利亚、美国、英国都不低于17%．在“读取图表，利用数据做图表”部分，韩国、新加坡和英国的占比都超过50%，中国最低，仅占到18%．在“数据的整理”方面，芬兰占比超过30%，新加坡其次，而美国只占4%．此外，在八个国家中只有日本涉及到了运用统计知识解决问题的知识．

(2)“概率”部分各知识点所占比例比较

将二级编码“概率”中下设的三级编码所占比例进行统计，得到“概率”部分下设知识点所占比例比较，如图2．

图2 “概率”部分各知识点所占比例比较

在学习概率计算之前，韩国、新加坡和英国没有设置“预测可能出现的结果”的内容，而中国课标中该知识点的占比高于“概率计算”．在“概率计算”部分，美国、韩国和英国均超过20%，其他国家占比也在10%左右．此外，澳大利亚还加入了简单逻辑用语的学习．

2.2 内容广度

王建波将内容广度界定为：内容所涉及的范围和领域的广泛程度[18]．曹一鸣将内容广度分为绝对广度、可比广度和相对广度[19]．研究选取绝对广度和相对广度对各国课程标准的内容广度进行比较，绝对广度指各国“统计与概率”部分所包括的知识点个数．本研究的相对广度计算方法如下：将知识点数目最多的国家的内容广度定为1，其余国家的内容广度为知识点个数与知识点最多的课标中知识点个数的比值．

(1)关于“数据的图形表示”的内容广度

将各国该部分学习内容进行归类整理，按照内容知识点概括得表2．

表2 各国“数据的图形表示”部分学习内容知识点概况

将表2中知识点个数进行统计，得到各国课标中“数据的图形表示”内容广度排名(图3)．

图3 各国“数据的图形表示”部分学习内容广度比较

由图3可知，新加坡课标中包含“数据的图形表示”的知识点个数最多、广度最大，澳大利亚与英国次之，中国课标的内容广度较低，排在第七位，芬兰课标最低，相对内容广度仅为0.2．

在内容设置上，我国比新加坡缺少散点图、象形图、茎叶图、累积频率图和盒须图五项内容，还不含澳大利亚课标中的双向表、韦恩图两项内容．

(2)关于“数据的整理”的内容广度

将各国学习内容进行归类整理，按照内容知识点概括得表3．

表3 各国“数据的整理”部分学习内容知识点概况

将表3中知识点个数进行统计，得到各国课标中“数据的整理”内容广度排名(图4)．

由图4可知，芬兰课标中包含“数据的整理”的知识点个数最多、广度最大，中国次之，达到0.83，日本最低，仅有0.33．

虽然我国在数量上占据优势，且引入“样本”内容，但是在内容上，日本与美国学习的“四分位数”是中国内容设置中所没有的．虽然美国占比较低，但侧重四分位数间距和平均绝对偏差的内容．

(3)关于“概率计算”的内容广度

将各国学习内容进行归类整理，按照内容知识点概括得表4．新加坡和澳大利亚引入概率的简单运算，美国引入复合事件的概率．

表4 各国“概率”部分学习内容知识点概况

将表4中知识点个数进行统计，得到各国课标中“概率”内容广度排名(图5)．

由图5可知，中国、新加坡、韩国、美国和澳大利亚课标中包含“概率”的知识点虽内容不尽相同，但总个数均相同，广度最大，其他三国次之． 其中我国注重用频率来估计概率，美国偏向于计算复合事件的概率，新加坡要求互斥事件和独立事件中概率的加法和乘法，澳大利亚注重使用概率之和解决问题．

图5 各国“概率”部分学习内容广度比较

2.3 内容深度

曹一鸣将内容深度界定为课程内容所需要达到的思维深度[20]．我国课标中将知识与技能分为了解、理解和掌握三个层次，但很多国家的课标中并未做出明确的层次划分．结合新修订的布卢姆教育目标分类学，分类为记忆、理解、分析、应用、评价和创造[21]，最终将内容深度分类为：知道、理解、掌握、应用四个层次．

(1)内容深度的整体比较

内容深度可分为绝对深度和相对深度，研究选取各国课标的相对深度进行比较．相对深度的计算方法为：首先规定知道、理解、掌握、应用四个层次的水平权重分别为1，2，3，4，以此对各国知识点数做加权平均，得到各国课标内容的绝对深度．再将绝对深度最大的国家深度定为1，其余国家的相对深度即为该国与绝对深度最大的国家深度的比值，该比值介于0和1之间．

将各国课程标准中的知识点进行梳理，得到各国内容深度及排序(图6)．

图6 各国课程标准内容深度比较

由图6可以看出，在这八国课标内容深度的排名中，英国内容深度最高，日本紧随其后，二者数值相近，明显高于其他国家；其次是美国，深度在0.8左右；新加坡、韩国、澳大利亚和中国深度相差不大，处于中等水平，均在0.7～0.8之间；芬兰深度最低．

(2)内容深度的分层比较

将各国课程标准中属于不同层次的知识点数目进行梳理，得到各国课标中内容深度各层次的知识点比例分布(图7)．

图7 八国课标中内容深度各层次的知识点比例分布

从图7中可以看出，虽然各国课标内容在知道、理解、掌握、应用四个层次的分布情况存在差异，但所有国家均是理解层次较多．芬兰课标的表述中只有对知识的知道和理解，不进行深入探究与学习，内容相对简单．中国、澳大利亚和芬兰课标中的知道层次相对于其他国家较多，分别为33%，39%，58%．在掌握层面，日本和新加坡的要求较高，分别为15%和13%，中国、韩国、澳大利亚和美国相近，都在6%左右．英国是所有课标中应用层次最多的，达到21%，其次是日本、美国和澳大利亚，其余国家没有应用层次要求，这也从一定程度上表明英国课标对于“统计与概率”内容的深度要求较高．

2.4 学习知识点的时间分布

在知识点的时间分布上，主要考察各国课标最早引入某知识点的年级、知识内容的年级分布及其连续性．根据严虹对课程连续性的界定[22]，课程连续性倾向于知识内容的不间断、不分离．本研究中提及的连续性主要指基于研究内容设置的连续程度．

(1)统计内容学习知识点的时间分布

将各国统计内容下设知识点的学习时间进行统计，得到各国“统计”部分学习时间图．其中灰色部分代表该年级或学段对该知识点进行学习，白色部分表示未学习，“/”代表该国课标无该年级．

由图8可以看出，大部分国家都在学习统计与概率初期引入“数据的收集与分类”，而前期的学习大多关注已给出数据的分类整理，在后期的学习中，中国、日本、澳大利亚、美国引入抽样，要求学生了解简单随机抽样．

图8 各国“统计”部分学习时间

中国、澳大利亚、美国和英国都在初学“统计与概率”时引入“数据统计与分析”，韩国和芬兰未涉及该知识点．整体来看，“数据的统计与分析”学习的连续性较差，除中国内容设置是按照学段划分外，按年级划分的国家中新加坡和美国有连续两年的学习，其他国家的学习过程都不是连续的，期间存在一年到四年不等的空白期．

所有国家将图表的学习贯穿小学初中阶段．学习内容也从读取图表到自己制作图表，从条形图开始到频数直方图．这也表明图形与统计密不可分，对于图表的学习有利于促进学生对统计的理解．

除美国外，各国都在学习统计与概率的中期引入“数据的整理”，随着学生计算能力的增强，慢慢开始该知识点的学习．而由于美国引入统计与概率的时间较晚，直到初中才开始学习，因此初接触时就学习数据的整理．各国对于该知识点学习时间的安排，也从侧面反映出“数据的整理”部分对于学生运算基础和基本逻辑能力的要求．

只有日本涉及运用统计知识解决实际问题的学习，学习时间是5-6年级和9年级，都是在小学、初中的后期．在创设的问题情境中解决问题，有助于加深对所学知识的理解，同时初步建立学生的建模意识．

(2)概率内容学习知识点的时间分布

将各国概率部分下设知识点的学习时间进行统计，得到各国概率部分学习时间图．

由图9可以看出，“预测可能出现的结果”作为概率学习的基础，通常处于“统计与概率”学习的中期，为之后概率计算的学习打下基础．各国概率计算的学习普遍在“预测可能出现的结果”之后，位于整个“统计与概率”学习的中后段，且八国学习知识点的时间设置中都没有出现间断.这也从某种程度上表明概率计算所含内容较少，是一个连续的学习过程．另外，只有澳大利亚在概率的教学中加入了简单逻辑用语的学习．

图9 各国“概率”部分学习时间

3 研究结论

3.1 内容设置重点突出，中国特点鲜明

整体来看，所有国家“统计”部分所占比例均高于“概率”部分．韩国、日本、新加坡、澳大利亚、美国和英国“读取图表，利用数据做图表”和“概率计算”分别在统计和概率中占比最高；芬兰统计部分中“数据的整理”知识点占比最高，概率部分两个知识点占比相同；而中国“数据的收集与分类”和“预测可能出现的结果”分别在统计和概率中占比最高．

3.2 知识点学习时间分布差异显著，学段划分影响明显

由于选取的八个国家的数学课标的划分方式不同，中国、韩国、英国和芬兰按学段设置内容，日本、新加坡、澳大利亚和美国按年级设置内容．其中依照学段划分的国家课标内容设置的概括性更强，如中国和芬兰；依照年级设置课标的国家对于内容设置的详细程度更高，具体知识点的要求也更为详细，如澳大利亚和新加坡．从学习知识点的时间分布进行比较，在以日本和澳大利亚为代表的一些不划分学段的国家中，一些知识点的学习时间出现间隔，而中国等划分学段的国家更加注重知识点的连续性．

3.3 内容广度存在差异，侧重各异

从内容广度上进行比较，各个国家课程标准的具体内容设置差异较大．将数据的图形表示、数据的整理和概率计算三部分知识点汇总并计算总体内容广度发现：新加坡内容设置的广度最大，中国位于中间位置，芬兰、日本较低．其中在“数据的图形表示”部分，多国涉及盒须图、韦恩图等知识，而中国课标中未见涉及．中国在内容设置中提到“样本”的概念及相关计算，而其他国家则没有这一内容．

3.4 内容深度侧重具有较强一致性，略有差异

从内容深度上进行比较，各个国家课程标准的内容深度侧重点基本相同，重点集中在理解层次．整体来看，英国和日本深度最大，芬兰内容深度最低，其他国家处于中等水平，差距不大．值得一提的是，芬兰内容深度最低与其课程标准内容叙述最为简略有着密切关系．从内容深度各层次的知识点比例分布来看，所有国家均侧重于知道和理解等要求较低的层次，日本和英国具有较高要求，掌握和应用层次占比较多．

4 启示与思考

建议进一步充实细化统计与概率内容．我国课标中的总条目数远少于按年级设置课程内容的国家，且在具体知识点的要求上较为笼统．尽量细化统计与概率课程内容设置和具体要求，有助于教学实施过程中知识内容的传输更加精准有效，增强期望课程与实施课程之间的一致性．

建议在保持连续学习优势的基础上适当增加统计与概率的内容广度．我国课标的相对内容广度在八国中处于中间位置，其中多国涉及的盒须图、韦恩图、四分位数等知识在中国课标中未见涉及．适当增加课标的内容广度有助于扩展学生的知识面，使学生体会更多的统计活动，有助于培养数据分析观念．

建议增加统计与概率的应用内容，加大内容深度，加强知识与生活的联系．我国课标中仅对掌握哪些知识点内容及掌握到何种程度作出要求，极少有对知识点如何应用进行描述．在课标中增加知识点应用的内容，有助于学生对知识点的全面掌握，并在一定程度上培养学生解决实际问题的能力．