教师多元角色担当 促进学生素养发展——“函数的单调性”课例与思考

马晴燕 (江苏省锡山高级中学 214174)

1 问题的提出

普通高中新课程标准、新教材、新评价方式让教师面临新挑战，促使教师重新审视自身的教学角色．新形势下，教师需要解读新课标,合理使用新教材,探究基于数学学科核心素养的课堂教学策略和评价方式，在教学中的角色势必更加多元化．教师担当哪些角色，又该如何担当才能促成学生学科素养的发展？本文就2020年10月在无锡市锡山、惠山两区新教材教学研讨活动中开设的交流课为例，与大家分享笔者的探索与实践．

2 单元教材分析

2.1 内容及其解析

函数的单调性是函数的基本性质之一[1]，在解方程、解不等式、求函数最值(值域)等方面都有重要应用．学生经历从函数增减性变化规律的直观感知、自然语言描述到函数单调性的数学符号刻画，体验从定性到定量的一般化抽象过程，为函数其他性质的研究奠定认知基础和参考路径，促进“一般观念”的形成和数学抽象、逻辑推理等学科核心素养的发展．用符号语言刻画函数单调性是本课的教学重点．

2.2 目标及其解析

本课的教学目标是：(1)借助函数图象，会用符号语言描述函数单调性，理解其应用价值；(2)会用定义证明简单函数的单调性；(3)经历函数单调性定义的抽象过程，感悟数学符号表示的优点．

达成上述目标的标志为：(1)理解单调性定义中“任意”“都有”等关键词的含义，能从图象或由定义判断函数单调性、单调区间，知道函数单调性反映了客观世界中事物在量的增或减上的变化规律；(2)能紧扣函数单调性定义证明函数单调性；(3)经历从图象直观感知到自然语言描述再到数学符号语言刻画的抽象过程，感悟研究函数性质的一般方法：作图—识图定性—符号化定量，促进数学抽象、逻辑推理素养的发展．

2.3 教学问题诊断分析

学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数，对函数的增减变化规律已具备了直观感知、自然语言描述的基础，但首次接触用函数的符号语言来精确表述函数单调性，这是一个较难的数学抽象过程，对学生有较大的障碍．教学中基于学生思维水平和认知现状，以问题串的方式给学生设置一条从整体到局部、从具体到一般、从定性到定量的归纳、抽象路径，并借助多媒体技术辅助展示抽象过程，增强直观性、条理性和选择性．抽象出函数单调性定义(符号语言)是本课的教学难点．

2.4 教学支持条件分析

教师采用启发、讲授和合作交流相结合的教学方式，引导学生经历抽象过程，借助多媒体展示课堂教学关键环节、核心问题、备选方案等，以增强概念抽象过程的条理性、直观性和选择性，让学生有更多时间和精力专注于“事实—概念”的抽象过程．

3 教学实录

3.1 创设情境，提出问题

师：函数是描述现实世界的一个重要模型，我们可以通过研究函数变化规律来把握客观世界.而运动变化的规律性和变化中的不变性即为性质，今天我们就开始研究函数的性质，即函数的变化规律和不变性(图1)．

图1

问题1为了研究一般函数的性质，我们往往怎么做？

生1：先研究已学的具体函数，再一般化．

追问1 同学们能提供一些具体函数吗？

生2：y=2x+1,y=x2．

追问2 你能作出它们的图象，并说说这些图象分别反映了相应函数的哪些性质吗？

(教师根据学生简述在黑板上作出三张函数图象(图2～图4)，请学生讨论交流发现的性质.)

图2 图3 图4

生4：图3关于y轴对称，图4关于原点对称，都具有对称性．

生5：图2和图3定义域为R，图象都是连在一起的，图4定义域为{x|x≠0}，图象断开成两部分．

生6：图2一直是上升趋势，图3先下降后上升，图4两部分都下降．

生7：图2中，y随x的增大而增大；图3中，y轴左侧y随x的增大而减小，而y轴右侧y随x的增大而增大；图4中，y轴左侧y随x的增大而减小，y轴右侧y也是随x的增大而减小．

师：很好！同学们都是从三张图象的共性和差异入手，努力寻找不变性．那么图象保持上升、下降趋势是从哪个角度去看图？

生7：从左往右看图象．

(教师对应在图3下方板书图象特征)

师：从左向右函数图象保持上升(或下降)趋势，这种性质称为函数的单调性(定性)．今天我们重点研究函数的单调性．

(板书课题：函数的单调性)

师：函数y=x2的图象既有保持上升趋势的部分，又有保持下降趋势的部分，我们不妨用此函数进行下一步研究．

问题2初中用变量关系来刻画图象变化趋势，将单调性的图象语言转化成自然语言，得到了更具体的描述．我们已经用集合语言从对应关系角度优化了函数的定义，同学们能试着用更精确的函数符号语言来描述单调性吗？不妨以函数f(x)=x2在y轴右侧部分为例．

图象语言：函数f(x)=x2图象在y轴右侧部分从左到右保持上升．

自然语言：函数f(x)=x2在区间(0,+∞)内y随着x的增大而增大．

师：用符号语言如何表达？

(学生探究，小组交流)

生8：在(0,+∞)上只要x1

生9：在(0,+∞)随便取x1,x2，当x1

生10：在(0,+∞)上取x，Δx>0，f(x)

追问1 他们的观点有没有相同之处？不同之处又在哪里？谁的更合适？

生11：都有“若x1

生12：三种说法应该是一样的．

生13：前两种说法一样，最后一种没有“只要”和“随便”取x，Δx的意思．

师：能修改成跟前两个一样的吗？

生14：在(0,+∞)上任意取x，任意Δx>0，则f(x)

生15：改成“存在”不行，比如f(1)

图5

生16：改成“无数多个”也不行，这无数多个以外部分可以跟上面例子一样．

师：说得很到位！可见这里“任意”的描述是必要的．至此，我们将自然语言精确描述成函数符号语言．这时，我们就可以说函数f(x)=x2在区间(0,+∞)内是单调递增的．

追问3 你能从数的角度证明上述f(x1)

师：利用了不等式的性质.还有其他想法吗？

师：作差是常见的比较大小的方法.上面两种方法都从数的角度进行了严格证明，验证了形与数的一致性．你能类似地描述f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗？

追问4 函数f(x)=|x|,f(x)=-x2各有怎样的单调性？

问题3从这些例子中，我们发现函数可能在整个定义内不单调，但在定义域内某个区间上是单调的，你能用符号语言描述一般函数f(x)的单调性吗？不妨以图6为例．

图6

(学生口述，教师板书并一起完善)

3.2 抽象概念，辨析内涵

函数单调性定义：对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1

追问1 你能给减函数类似地下个定义吗？

(学生口述，教师板书)

图7 图8

当x1f(x2)，就说函数f(x)在区间D上是减函数，这个给定的区间就为单调减区间(图8)．

追问2 设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，且∀x1,x2∈A，当x1

生19：不能，比如图3中取集合A={x|x=-1或x≥2}满足条件，但f(x)=x2在(-1,+∞)上不单调递增．

生21：不能确保∀x1,x2∈D，当x1

师：不错，能借助熟悉的问题举反例，并紧扣定义指出了问题的关键：不能确保D上每个元素都满足条件．

生22：在(-∞,0)和(0,+∞)分别单调递减，单调减区间是(-∞,0)和(0,+∞)．

3.3 数学应用，巩固新知

师：我们将对图象的直观感知和初中自然语言的描述进一步精准化、抽象化，从而严格定义了函数单调性，实现了从直观定性到严密定量的研究，有助于利用数形结合进行严密的推理和论证．我们已经直观感知了一次函数的单调性，大家还能用定义去严格论证吗？

例1根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性．

(师生合作交流，教师完成板书)

师：我们再次体验了数形的优劣和一致性．单调性不仅在数学中，在物理中也有一定的应用价值．

(学生口述，教师板书)

师：我们用定义证明了一些熟悉函数的单调性，接下来试试相对陌生的函数．

问题3大家能从这三例证明中提炼出用定义证明函数单调性的步骤吗？

师生合作：(1)设元：任取x1,x2∈D，且x1

3.4 小结提升，形成结构

问题4这堂课同学们经历了怎样的探究过程？

基于初等函数图象→自然语言→(函数)符号语言；定性→定量；研究函数性质的一种常用方法：观察图象→猜想性质→逻辑推理．

回顾本课要点：(1)函数单调性定义；(2)判断、证明函数单调性的方法；(3)体验数形结合、特殊到一般的思想方法．

3.5 目标检测，检验效果

练习2：图9为我市2020年某天24小时内的气温变化图，你能写出气温图中的单调区间吗？

图9

(学生集体口述，多媒体展示)

(借助学校“深学系统”：学生上传解答，教师展示代表性的解答供师生交流.)

3.6 作业布置，应用迁移

4 教学思考

本节课笔者力求立足2017版课程标准，研读教材和教师教学用书，结合教学经验准确把控学情，尝试单元化教学设计．整节课的设计主要参考了教师教学用书和教材提供的建议、内容等，结合实际需求进行了微调.比如，为了注重知识的上下位关系以及前后所学的自然承接，笔者结合节引言将问题情境设计成从特殊到一般，基于学生提出的基本初等函数模型展开研究．再比如，笔者根据预设将教材中提供的一些旁注融入问题串或其追问中，使课堂主线更清晰，既尊重了学生的思维发展水平，又追寻了新的课标理念，在夯实“四基”“四能”的过程中自然导向数学学科核心素养．在这一过程中，教师角色更多元化，教师需合理转换角色．

(1)做课标、教材与学生间的衔接者、传递者，发挥理论与实践间的桥梁作用

新课程改革下数学课堂教学的总体设计目标应该是基于课程标准，用好教材教参，导向学科素养．2017版课程标准指明了新一轮数学课程改革的总体方向和要求，教师应结合各类培训深入解读新的课程标准，根据所选教材、教师教学用书去领悟编写者的意图，以确定内容及其解析、教学目标及其解析，奠定单元化教学设计的基础．教师在从解读新课程标准、研读教材，到切实将课标理念、教材意图借助经验和实践自然转变成学生能入手的情境和问题等，从而“教”学生学会学习，实现教与学之间有效的承接和合理转变的过程中，担当了课标理念、教材意图与学生学习之间的衔接者和传递员，发挥了理论与实践间的桥梁作用．

(2)做数学课堂教与学的设计者、组织者，发挥课前预设与课堂生成间的转换作用

基于对课程标准的解读和对教材的领悟，教师结合经验，通过同行交流、学生访谈、课前预测等完善对学生认知现状的了解，以确定对教学问题的诊断分析、对教学支持条件的分析，进而构建教学设计思路和意图.重点要理清以下几个环节：1)课堂主要环节设置，比如概念课常设置为创设情境(提出问题)；抽象概念(内涵辨析)；数学应用(巩固新知)；总结提炼(完善结构)；目标检测(评价反馈)；作业布置(应用迁移)，让学生感受各环节的作用和理念.2)课堂研究主线，用以体现研究路径和设计意图，常以核心问题的串连方式来展开研究，必要时辅以呈现思维梯度的追问.3)合理预设与具体生成的有效转换.教师应精准表达，适当备选，结合板书、多媒体展示等途径让学生准确领会；同时能迅速捕捉学生意图，沉着应对预设外的生成，引导学生理清研究主线．可见，教师在课堂教学中必须担当智慧的设计者、系统的组织者，合理转换课前预设与课堂生成．

(3)做学生思维发展的引导者、协助者，发挥知识获得与素养培养间的促进作用

思维的工具是语言；思维的形式是概念、判断、推理等；思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析与综合等．[2]学生的数学思维品质集中体现了个体的思维水平和关键能力，正如章建跃教授所说，培养学生的数学思维品质是发展学生数学学科核心素养，以此促进因材施教．为此，教师应基于课标，挖掘课程蕴含的数学本质和育人价值，分析学生思维发展水平，力求做到：1)查阅相关资料，找准依托背景和学生最近发展区域，设计适切的教学情境，让学生能直入研究主题；2)预设师生围绕设计可能展开的交流和探索，预估如何引导学生用数学的眼光去观察、猜想、发现、提出问题，用数学的思维去思考问题，用数学的语言去表述问题；3)基于单元化教学设计，对学生加强问题意识的培养和一般观念的指导．哈尔莫斯说过：“问题是数学的心脏.”课堂问题导向应凸显教学重点、辅助突破难点，引导学生从运动变化的现象中寻找不变性，结合适量的一题多解、关联性题组训练等，让学生经历多层次、多角度的探究活动，促进学生数学思维的灵活性、深刻性、广阔性和独创性，切实提升数学学科核心素养．