依托“数学三个世界”理论 培养学生抽象概括能力——以“函数的单调性”教学为例*

葛爱通 徐 方 (江苏省赣榆高级中学 222100)

人类是通过不断的抽象概括获得对自然界的本质认识的.正是通过抽象概括，人们在思想上把个别的东西从个别性提高到特殊性，再从特殊性提高到普遍性，从而才能够真正地、深刻地理解和把握现实世界．本文旨在基于韬尔的“数学三个世界理论”，以“函数的单调性”为例，探索培养学生抽象与概括能力的教学策略．

1 抽象与概括的内涵及发展层次

抽象就是把事物的本质属性和非本质属性区分开来，并抽取出本质属性而舍弃非本质属性．抽象是在对客观事物的属性作分析、综合、比较的基础上进行的．经过抽象过程，事物的本质属性和非本质属性的界限就清楚了，人们的认识也就上升到了理性阶段[1]．概括是把从某类个别事物中抽取出来的属性推广到该类的一切事物中去，从而形成关于这类事物的普遍性认识．概括的过程，就是把个别事物的本质属性推广为同类事物的本质属性，这是思维由个别通向一般的过程[1]．

抽象与概括能力的发展分为三个层次：感性抽象概括、形式抽象概括和辩证抽象概括．

2 韬尔的“数学三个世界理论”简介

英国数学家戴维·韬尔于2004年以认知主义、新皮亚杰主义、建构主义为基础，从人类三种最基本的认知活动:感知、行动与反思出发，认为学习者以“前集”与“前变量”为基础，经历数学认知的三个层次(也称三个世界)发展其数学认知结构[2]．

·前集(set-before)

韬尔用“前集”指个体与生俱来的心理结构．韬尔认为，有三个长期塑造个体学习和进行数学思考的基本“前集”：①模式、相似、差异的识别；②活动序列的重复，直到形成无意识活动；③形容和改善思考方式的语言．识别和重复是语言的动力，是符号的相关运用．模式识别是学习数学的一种基本能力，包括对形状和数的识别．无意识的重复是学习过程中必需的．思维的发展依赖于个体这三种前集．

·前变量(met-before)

韬尔认为个人能力发展的基础建立于个体已有的经验，大脑中已有的经验形式影响我们对新情况的理解.他将“以个体具体的先前经验为基础的心理能力”定义为“前变量”，简而言之，前变量就是学习者学习新知识的认知基础．

·“数学三个世界”理论

“具体化世界”——是数学学习的第一阶段，是学生在问题情境(现实、数学、生活情境)中感知原始的数学对象，并用数学语言(自然语言)进行描述．

“符号化世界”——是指对具体化世界的操作过程进行反思、概括、抽象等活动而得到数学对象[3]，因此包括符号的过程性与概念性两个层面．教师设置丰富的数学活动，引导学生经历知识的发生、发展过程，并用符号语言进行表征，用概括性的语言描述具体化或符号化数学对象的认知过程，将其压缩成概念．

“形式化世界”——在对符号化世界的反思基础上进行辩证抽象概括，通过符号语言认识数学、表达数学，形成形式化的定义，有时需要逻辑推理论证建构形式化公理体系[3]．教师引导学生经历迁移运用、变式训练、建立认知结构等数学活动，以数学概念、定理、法则为基本数学对象，用高度抽象概括的数学语言描述它们的形成、发展及关系．“数学三个世界”中学生的认知方式如图1所示．

图1

3 基于“数学三个世界”的函数单调性教学案例

3.1 学生的“前集”分析

在初中时，学生已经能够借助图象识别函数的增减性，并能对有类似特征的图象重复识别，还能用自然语言描述函数图象的变化趋势．

3.2 学生的“前变量”分析

在小学阶段，学生已经能体会量与量之间具体的变化联系，知道一些实际情境，如“随着我的个子的增高，我的裤子的尺码越来越大”“一天中太阳随着时间先升高再降落”．在初中阶段，学生能用语言“随着……的增大而增大(减小)”描述函数图象的变化趋势．其着眼点在函数图象的“形”的特征层面．

3.3 学生学习困难分析

难点1：学生对“单调性概念中的任意x1,x2”难以获得实质性的理解．

高一学生接触到的第一个完全形式化的抽象定义就是函数的单调性，而他们的思维仍处于经验型逻辑思维阶段，对这一知识点的学习有很大难度[4]．自变量x1,x2取值的任意性是高一学生函数单调性概念理解的最大难点，因为这涉及“有限与无限、常量与变量、静止与运动”的矛盾及矛盾转化的辩证思维活动．

难点2：学生用符号表征函数单调性能力不足．

初中数学对函数单调性的要求是“定性”的描述：从左向右看，函数图象上升(下降)，直观形象，学生一般都容易理解、接受和掌握．而高中数学对函数单调性的要求是“定量”的刻画：要用符号语言对函数单调性进行精准刻画．高中函数的单调性是学生第一次用严谨的数学符号语言刻画函数的变化特征，是学生第一次认识、理解和运用“任意性”去描述函数的增减性．

3.4 教材分析

3.5 基于“数学三个世界”理论的函数单调性教学实践

·教学片断1 创设问题情境，引导学生经历具体化世界

情景1:展示温度变化曲线图．

师：观察图2，分别涉及哪些量？它们之间是函数关系吗？

图2 某地某天24小时温度变化曲线图

生：涉及温度数与时间，是函数关系．

师：温度曲线图告诉我们要根据温度变化及时增减衣物.现实生活中还有大量类似的曲线，请你举例．

生：心电图、股票走势图、艾宾浩斯遗忘曲线……

师：这些曲线所反映的变化规律与我们的生活密切相关，研究客观世界的变化规律有助于我们更好地生活．根据函数定义，可知上述变化规律都是函数变化规律，因此只要研究函数值随自变量的变化规律即可．如，当自变量取值按照一定的规律(如变大、对称、等距)变化时，与之对应的函数值是否也有一定的变化规律？如何研究？

设计意图由生活情景引入，让学生明确函数性质研究的本质，激发学生的学习兴趣．

·教学片断2 设置数学活动，引导学生经历符号化世界

活动1 观察温度曲线图与一次函数、二次函数的图象，直观感知函数增减性．

生：从0～4时，温度下降；4～14时，温度上升；14～24时，温度下降．

师：函数图象是点的集合，当图象从左向右看呈上升或下降的趋势时，对应的点的横、纵坐标又存在怎样的关系呢？

生：图象上升，y随着x的增大而增大；图象下降，y随着x的增大而减小．

师：当自变量x增大时，函数值y的变化呈现一种规律性，这种变中的不变性就是函数的一个性质——函数的单调性.(板书课题)

师：请你画出函数y=2x+1,y=-x+2,y=x2的图象，并观察分析函数图象的变化特征．

设计意图通过学生身边熟悉的例子以及初中学习过的函数图象直观感知函数增减性，丰富的直观素材是进行数学抽象概括的基础．

活动2 从两个变量间的依存关系角度，结合区间概念描述函数单调性．

师：你能否利用区间的概念说说函数y=2x+1,y=-x+2,y=x2的单调性？

生：函数y=2x+1在区间(-∞，+∞)上单调递增；函数y=-x+2在区间(-∞，+∞)上单调递减；函数y=x2在区间(-∞,0)上单调递减，在区间(0,+∞)上单调递增．

师：通过上述三个函数，我们发现有的函数在整个定义域上单调递增(减)，有的在定义域的子区间上单调递增(减)．你能给出一般函数y=f(x),x∈A单调性的定义吗？

生：设函数y=f(x),x∈A，区间I⊆A，如果函数f(x)在区间I上随着自变量x的增大而增大(减小)，则称函数f(x)在区间I上为增函数．(学生表达不精确的地方，教师补充)

设计意图引导学生在三个特例的基础上由特殊到一般，对函数的单调性进行第一次抽象概括，让学生体会区间概念的运用以及单调区间与定义域的包含关系.函数值y随着自变量x的增大而增大的符号化是第二次抽象概括的重点．

活动3 用符号语言刻画“函数值y随着自变量x的增大而增大(减小)”．

活动3.1 观察 图3，说说该函数的单调性．

图3

生：看不出来……

师：俗话说“耳听为虚，眼见为实”，前提是你得准确观察．

教师拖动点P，让学生观察在自左向右的运动过程中点P的纵坐标不断增大．

生：是单调递增函数！

师：由图象上点的坐标的变化可以解决这个问题．

设计意图让学生体会代数刻画函数单调性的必要性．还要让学生明白，直观形象促成人们对事物或现象的感知并形成猜想，但是在数学中的任何一个结论，得以确认的唯一途径是逻辑论证，所以需要回到函数解析式中蕴含的数量关系本身，从定量的角度进一步刻画“y随着x的增大而增大”，从而形成更深层面的概念性理解．

活动3.2 从定量的角度进一步刻画“y随着x的增大而增大”．

思考：函数f(x)=x2,x∈(0,+∞)单调递增，那么f(1)

生：成立，反之不成立．

师：能举例说明吗？

生：如f(-1)

师：再多取几组值呢？如f(-1)

生：还是不能．

教师引导学生画图说明理由．

师：取无数组可以吗？如果不行，那该怎么办？

生：取所有的！

师：关键是能取尽吗？怎么办？

生：……

教师举出生活中的例子引导学生体会化无限为有限的思想方法．

师：比如，我们班所有同学都比老师年轻，换个说法，从我们班任选一名学生，这名学生比老师年轻．任选的这名学生不确指某一位学生(类似字母表示数)，一旦选定一名学生，他又是确定的．

设计意图通过实例，引导学生体会“任选”所蕴含的辩证思维：一是化无限为有限，二是动与静的相互转化，为辩证抽象概括铺垫．

师：请你用数学语言描述f(x)=x2在区间(0,+∞)上随着x的增大而增大．

生：任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1

设计意图让学生体会用不等式刻画“自变量、函数值增大”．

师：你能用数学符号语言描述单调函数的定义吗？

生：设函数y=f(x),x∈A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1

师：请你类比增函数的定义，说说减函数是如何定义的？

设计意图引导学生进行函数单调性的第二次抽象概括．

·教学片段3 进行课堂小结，引导学生经历形式化世界．

师：请同学们思考下面三个问题：(1)你能用三种语言描述函数的单调性，并说说单调增、减函数的异同吗？(2)研究函数单调性的方法是什么？这种方法能否迁移到其他函数性质的研究？(3)在概念形成过程中涉及的思想方法有哪些？

设计意图让学生概括知识、技能和思想方法．

4 培养学生抽象概括能力的教学策略

抽象概括能力的培养不仅要立足于数学知识的产生、发展过程，还要关注学习主体——学生．这告诉我们要在学生的认知基础、规律和数学知识的逻辑体系之间寻找一个恰当的平衡点，基于此制定教学目标，设计教学流程才更加有效．可从以下几点进行操作.

4.1 分析“前集”与“前变量”，瞄准抽象概括的固着点

韬尔的“数学三个世界理论”认为,学生的数学认知发展是建立在其“前集”与“前变量”基础上的.认真分析学生的“前集”与“前变量”，我们才能有的放矢地制定教学目标，设置问题时才能找到相应的固着点．比如，学习函数的单调性之前，学生已经能够借助图象识别函数的增减性，并有对有类似特征的图象重复识别的能力，还能用自然语言描述变化趋势；但学生对“单调性概念中的任意x1,x2”难以获得实质性的理解，因此将其作为本节课的重难点．

4.2 创设自然的问题情境，提供抽象概括的发生点

“从抽象到抽象”是当前教学中一种不好的倾向，不少教师按照“一个定义、三项注意”的方式教学，这样的课堂难以让学生获得对知识真正的理解．其实大量丰富的直观材料是学生进行抽象概括的基础，学生在对客观材料的观察、实验、分析、比较中区分本质属性和非本质属性[5]，然后舍弃事物的背景将本质属性概括到一类事物中，从而获得对事物的深入理解．也就是说，没有丰富的直观材料，难以让抽象概括真正发生．

4.3 设置有价值的探究活动，奠定抽象概括的发力点

杜威提出了“在做中学”．普通高中课程标准(2017年版)也将“基本活动经验”作为“四基”之一，由此可见让学生参与探究活动的重要性．本文主要设置了以下几个活动体验：首先是观察两条曲线，并举出现实生活中以及数学中的例子，让学生直观感知并感性抽象概括，认识到函数单调性来源于对现实生活中变化规律的研究，同时通过感性抽象概括提出数学问题,也为更高层次的抽象概括指明了方向．

4.4 遵循学生的认知规律，厘清抽象概括的分层点

从“从左向右看图象上升(下降)”到“函数值随着自变量的增大而增大(减小)”，由图象直观到用自然语言的概括，对学生来讲没有难度．但是从“函数值随着自变量的增大而增大(减小)”到用符号语言表征，对于学生是很困难的．原因主要有两个方面：一是在初中对函数增减性的描述中，学生没有用区间描述过自变量的变化范围，更谈不上能意识到单调区间与定义域的关系；二是学生对“单调性概念中的任意x1,x2”难以获得实质性的理解(其中蕴含着“有限与无限、常量与变量、静止与运动”的矛盾及矛盾转化的辩证性思维活动)．因此，本节课设置了体现两个层次的抽象概括活动：一是从两个变量间的依存关系角度，结合区间概念描述函数单调性；二是从定量的角度进一步刻画“y随着x的增大而增大”．这样降低了学生的认知难度，提高了教学效益．

5 结束语

对学生抽象概括能力的培养既要关注能力本身的层次性(感性、形式、辩证)，也要关注学生的认知规律，忽视任何一方都难以达到理想的培养效果．韬尔的“数学三个世界理论”重点关注不同的“世界”中学生的不同认知操作方式，如观察实验、分析比较、自然语言表征、反思具体化世界操作、符号语言表征、迁移应用、逻辑推理等，正切合了抽象概括能力的层次性发展.因此韬尔的理论有助于学生数学思维能力的健康发展．