借助图形计算器进行数学建模与函数拟合——以“直角弯头的制作”为例*

王 剑 (江苏省无锡市第一女子中学 214002)

钱 铭 (江苏省无锡市第一中学 214031)

顾懿天 (上海市第十中学 200011)

日常生活中，烟囱、铁门及管道都会用到各种各样的弯头，这些弯头是改变管路方向的管件，可以按照角度细分，其中最为特殊的是如图1所示的90°弯头(90° elbow)，也常被称作直角弯头．

想要制作一个直角弯头，就必须遵循以下步骤：(1)了解直角弯头的构造；(2)分析直角弯头两部分的截口轮廓线；(3)在平面图形中作出轮廓线，裁剪粘合形成一个直角弯头．本文拟以“直角弯头的制作”为例，谈图形计算器在数学建模和函数拟合中的应用．

1 探究过程

从图1中不难看出，直角弯头是由两个截口(椭圆)相同的斜截圆柱无缝拼合而成，想要制作一个直角弯头，就要了解斜截圆柱的截口轮廓线．

图1 直角弯头

探究1截口轮廓线的函数拟合．

可以斜截一个薯片罐，将其一分为二，需要确保斜截面是平面(可以将斜截面置于平整桌面观察，若截口与桌面没有空隙，可视为平面)，将其中一个斜截圆柱的侧面沿母线剪开并展平(图2)．

于是制作一个斜截圆柱的关键在于能否精确画出截口轮廓线，也就是研究图2中的曲线A1BCDA′1．需要猜想曲线A1BCDA′1是什么曲线，是抛物线还是正余弦函数曲线？或者是其他类型的函数曲线？

图2 斜截圆柱及其侧面展开图 图3 斜截圆柱上的等分点与垂线段

此时，可以利用图形计算器做一个函数拟合，具体步骤如下：

步骤一：将圆柱底面的圆周十六等分；

步骤二：如图3所示，从每个等分点画一条与底面垂直的直线，在截口轮廓线上找到对应的交点；

步骤三：依次量出每个交点与对应等分点之间的距离，得到表1．

表1 交点序号与对应距离

步骤四：将表格中的数据依次输入图形计算器，并以n作为自变量、h作为应变量作出散点图(图4)．

图4 图形计算器显示的散点图

步骤五：分别用二次函数和正弦函数模型进行拟合．

步骤六：比较拟合的不同图象和数据误差，检验猜想．

由图5和图6可以得到，二次函数拟合得到的MSe值约为0.77，远大于用正弦函数拟合得到的MSe值，故拟合实验表明截口轮廓线符合正弦函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象，但要画出截口轮廓线，还需了解各参数与弯管形状和大小的关系．

图5 拟合二次函数的公式及图象

图6 拟合正弦函数的公式及图象

探究2y=Asin(ωx+φ)+B中参数的意义.

首先，可以观察直角弯头中一个斜截圆柱的侧视图(图7)，不难发现∠M=45°，作ON⊥MN交于点N，则易知△MON为等腰直角三角形．易得，椭圆形截面和底面平行面的二面角为45°．

图7 一个斜截圆柱的侧视图 图8 椭圆形截面上的点到平衡位置的距离

这一推导过程涉及较多的立体几何知识，从探究角度来讲，也可以通过图形割补进行分析和解析式的构造．一个斜截圆柱的侧面展开图中，截口轮廓线是一个周期的正弦函数曲线，根据正弦函数的对称性，展开图可以割补成一个矩形(图9)．这一环节学生也可将圆柱沿母线展开，得到两个斜截圆柱的侧面展开图，通过轮廓线的拼接得到一个矩形(图10)．

图9 正弦函数图象的对称性 图10 矩形中的截口轮廓线

反之，制作一个直角弯头，只需要如图10所示的矩形材料，在中间画出截口轮廓线所对应的一个周期的正弦函数图象，便可裁剪拼接出一个直角弯头．

探究3画出截口轮廓线对应的正弦函数图象．

经过以上三个探究过程，我们可以了解到直角弯头的构造、通过图形计算器拟合得到截口轮廓线满足正弦函数，从而能够在给定纸张上画出对应函数的图象，通过裁剪、粘合即可得到一个直角弯头．

2 思考与建议

苏教版高中数学必修4中“实习作业”[1]：制作烟囱弯头(图11，单位：cm)，不考虑焊接处的需要，选用的矩形贴片应满足怎样的尺寸？请你设计一个最合理的裁剪方案．(在矩形铁片上画出裁剪线应是什么图形？)

图11 课本中“直角弯头”结构图

本课例“直角弯头的制作”便是受此启发，通过探究活动，不仅让学生感受“数学源于生活又服务于生活”，而且能促使学生将所学的圆柱的侧面展开图、二面角、直线与平面的关系等立体几何知识与三角函数性质和图象相联系，借助图形计算器进行自主探究、合作交流等活动，培养学生的数学建模能力和创新能力．

探究前，可以让学生先在家中利用火腿肠等制作直角弯头模型，通过斜切火腿肠、观察截面椭圆的展开图，增加感性认识，为进一步的理性分析打下基础[2]．课堂中，利用图形计算器进行函数模型拟合分析，让学生应用信息技术验证猜想，为推理证明埋下必要的线索．课后，还可以引导学生继续探究，笔者设计了如下两个问题：

问题1 用一张A4纸(210 mm×297 mm)制作一个直角弯头，要使其容积最大，如何裁剪、拼接？请给出设计方案，明确操作步骤．

提示：分别以长边和短边为母线构造的圆柱，其体积是不一样的．

问题2 裁剪一张长为a、宽为b的矩形纸张，拼接一个弯头，弯管的夹角为θ(0<θ<π)，截口轮廓线的正弦函数解析式是什么？θ为何值时，弯头体积最大？

3 图形计算器在数学建模中的应用

一般地说，数学建模可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构的过程[3]．本节课中，为了制作一个直角弯头，经历了解直角弯头的构造、通过图形计算器拟合得到截口轮廓线满足正弦函数、在给定纸张上画出对应函数的图象、裁剪并粘合得到一个直角弯头的过程．这样的数学建模过程，可以用框图表示(图12)．

图12 课本中“直角弯头”结构图

数学的猜想和发现与数学建模密不可分，当教师向学生提供了有趣且适切的数学学习情境，引导学生参与制定方案、开展建模、数据分析、推理论证等活动时，学生的学习方式自然而然地由被动变为主动，通过观察、比较、类比、归纳、数据处理等方式发现规律、理解数学．[4]图形计算器作为一种现代手持技术，具有数据处理功能、函数功能、简单编程功能和进行一些数理实验的功能，具有很好的交互性，它可以直观地绘制各种图形，并进行动态演示、轨迹跟踪、趋势拟合[5]，为数学建模和探究提供了便捷有效的工具．课堂中进行数学建模与探究有一些基本程序[6](图13)，学生往往能够发现问题、采集数据，但是处理数据(函数拟合)时比较棘手，以往总是由教师引导学生往“正确”的道路上引导，殊不知，不确定性、怀疑、启发式论证、争议甚至死胡同和错误不仅是合情合理的，而且也是数学在其发展过程中的不可分割的一部分，更是培养学生批判性思维必不可少的环节．

图13 课本中“直角弯头”结构图

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，感悟数学与现实之间的关联，学会用数学模型解决实际问题，注重信息技术与数学课程的深度融合．[7]鉴于数学学科的特点和客观条件的限制，让学生置身于机房上课显然是不现实的，教师使用信息技术又多少失去了一些“探究味”．图形计算器作为一种数学手持学具，为“做数学”提供了强有力的支持，为数学思维提供可视化的图形，使分析数据、发现规律、指导

预测容易实现，更重要的是图形计算器的便携性、灵活性为数学教学提供了更多可能．

值得注意的是，图形计算器作为一种学具，也应防止其出现功能异化，对不该使用的地方需要适当限制．[8]例如，把知识的结论直接告诉学生而只把图形计算器作为验证结论的工具是不可取的．数学是思维的科学，数学教学的核心是培养学生的数学思维，将图形计算器运用于课堂教学和探索研究，其目的是让学生借助手持技术把握数学知识的实质和联系，从特殊中探寻一般规律，领会数学的精神、思想和方法．图形计算器的研究方兴未艾，还需要长时间的实践探索与经验积累．