无穷限反常积分的狄利克雷（Dirichlet）判别法的应用探讨

李 霞

（沈阳理工大学理学院，辽宁 沈阳 110159）

无穷限反常积分是定积分的一种推广形式，其收敛性的判别在基础数学理论体系与其他学科实际应用中都有着重要的意义.在诸多收敛性判别法中，狄利克雷（Dirichlet）判别法则是理论意义重要但实际操作难以下手的一个定理.因此，能否找到一类适合狄利克雷判别法条件要求的被积函数，成为解决问题的关键，本文通过实例进行类推，以期对狄利克雷判别法的实际应用有所促进.

定理[1]设f(x),g(x)在[a, +∞)上有定义，

（1） ∀X＞a,g(x)∈R[a,X],∃M＞ 0,使得对

（2）f(x)在[a, +∞]上单调，且

由定理，狄利克雷判别法将函数乘积的无穷积分的收敛性判定问题转化为判定两个函数是否满足特定条件的形式. 但在具体应用中，相对于判别部分因式是否单调趋于零，更为困难的则是寻找是否有部分因式作为被积函数时积分有界.

先讨论可以应用狄利克雷判别法的例子.

解 ： 对g(x)=cosx，∃M=2，对于∀X＞ 1，

由狄利克雷判别法，当α＞ 0时，收敛.

从例1发现，当取g(x)为三角函数时，可以很轻松地得到其积分有界的结论，从而直接应用狄利克雷判别法求证，在某种程度上，是三角函数的周期性及函数值有规律的取值使其很好地满足了判别法的条件，那么三角函数的特性能否化为更一般的规律呢？

例2：g(x)是(−∞,+∞)上周期为2π的连续函数，

证明：对∀α＞ 0，收敛[1].

证明：显然，对∀X＞ 1，g(x)在[1 ,X]上连续且可积，故g(x)在[1 ,X]上有最值.

既 ∃m,M∈R，m＜M，当x∈ [ 1 ,X]时，m≤g(x)≤M成立.

由狄利克雷判别法，对∀α＞ 0，收敛.

例2提取了三角函数一个周期内积分为零这一特性，构成了更为一般的条件.进一步，条件“g(x)是(−∞,+∞)上周期为2π的连续函数，可弱化为“g(x)是(−∞,+∞)上周期为T的连续函数，其中T为实数，T＞ 0”。

这样就找到了更具普适性的一类函数，可以通过证明其积分有界，从而利用狄利克雷判别法证明其与某单调趋于零函数的乘积的广义积分收敛.但是，这也仅仅窥得问题答案的冰山一角，相信经过深入的理论研究，可以有更多发现.