含参函数单调性的讨论

安徽 徐 双

在高三的教学过程中，笔者发现很多学生对于函数单调性的讨论，尤其是含参函数单调性的讨论感到困惑，不知道从哪里开始讨论，或者讨论不全面.笔者结合自己在教学中的感悟，对含参函数单调性的常见问题进行了归纳总结.

原函数的单调性取决于导函数值的正负，所以，原函数单调性的讨论本质上就是在定义域内讨论导函数f′(x)>0或f′(x)<0的问题，即不等式问题.而不等式与函数一脉相承，导函数的零点是导函数值正负的临界值，所以我们要研究导函数的零点，即方程f′(x)=0的根，一般会出现定义域内无根、一根、两根的情况，超过两根的情况不常见，在这里不再论述.下面笔者将从方程f′(x)=0为单根和双根两种情况进行论述，双根型又分为二次函数(可因式分解)型、二次函数(不可因式分解)型、指数双根型和混合双根型四种情况，具体又从方程f′(x)=0是否有根、根是否在定义域内、若有两根，两根的大小等三个方面分别进行阐述.

一、单根型

所谓单根型，即方程f′(x)=0只有单根的情况，这种情况我们只需讨论方程f′(x)=0是否有根，如果定义域有限制，还要进一步讨论这个根是否在定义域内.

例1.已知函数f(x)=ex-ax(a∈R).

(1)若x∈R，讨论函数f(x)的单调性；

(2)若x∈[0,1]，讨论函数f(x)的单调性.

分析：第(1)问定义域没有特殊限制，我们只需要考虑f(x)的导函数f′(x)=ex-a是否有零点.先假设它有零点，解f′(x)=0得x=lna，它有意义时需要a>0，也就是说a>0时导函数有零点x=lna，进而原函数的单调性就会在x=lna左右端发生变化，反之a≤0时，导函数f′(x)无零点，连续函数在定义域内无零点，说明它的函数值符号不变，即恒正或者恒负.那么我们得到，当a>0时，f(x)在(-∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增；当a≤0时，f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.

第(2)问有定义域的限制，我们令导函数的零点x=lna在(0,1)内，解得1

从上面例1的分析过程可以看出，我们讨论的标准分别为导函数是否有变号零点以及变号零点是否在定义域内，抓住影响原函数单调性的最关键因素——导函数的零点，就能找到所要讨论的参数临界值，让问题得以解决.

二、双根型

方程f′(x)=0有两个根的情况较复杂，根据决定导函数值符号的式子的形式，我们进一步分为二次函数(可因式分解)型、二次函数(不可因式分解)型、指数双根型和混合双根型四种情况，下面依次论述.

1.二次函数(可因式分解)型

这种情况我们要考虑方程f′(x)=0是否有根，根是否在定义域内以及两根的大小，二次项系数若含参数，也要对它进行讨论，这里面说到的几种情况可能会出现一个或者多个，需要根据实际情况进行讨论.

分析：方程f′(x)=ax2-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)，本题中定义域没有特殊限制，需要从三个方面进行讨论：方程f′(x)=0是否有根、二次项系数以及两根大小.由前两个方面可以把a分为a<0,a=0和a>0三种情况，根据两根大小又可以把a>0进一步分为01三种情况，这样我们就把参数a分为a<0,a=0,01五种情况.讨论结果如下：

②当a=0时，f(x)在(1,+∞)上单调递减，在(-∞,1)上单调递增；

④当a=1时，f(x)在(-∞,+∞)上单调递增；

2.二次函数(不可因式分解)型

当不能利用因式分解来求方程f′(x)=0的根时，我们要对判别式进行讨论，来判断导函数是否有变号零点，并用求根公式把零点表示出来，若二次项系数含参数还要对它进行讨论，因为它会影响多项式的次数以及二次函数的开口方向，进而影响到原函数的单调性，若定义域有限制，还要讨论导函数的零点是否在定义域内，至于它们的大小及正负，则可由二次项系数及韦达定理来判断，不需要单独进行讨论.

分析：f′(x)=ax2-2x+1，因为二次项系数含参数，所以要把a分成a<0,a=0和a>0三种情况，再根据判别式Δ=4-4a来确定方程f′(x)=0是否有根，因此，最终把a分成a<0,a=0,0

①当a≥1时，Δ=4-4a≤0,f′(x)≥0恒成立，f(x)在(-∞,+∞)上单调递增；

如果原函数有定义域的限制，可以根据一元二次方程根与系数的关系，结合判别式与韦达定理来讨论方程f′(x)=0的根是否在定义域内，也可以解出方程f′(x)=0的根后，令它在定义域内去解出参数的范围，进一步对参数进行分类讨论，读者可尝试解下面的变式.

3.指数双根型

指数双根型的导函数的形式为f′(x)=ae2x+bex+c(a≠0)，可类比二次函数型，分为可因式分解和不可因式分解两种，也可换元后利用复合函数的单调性进行讨论.下面结合2017年全国卷Ⅰ文科第21题来进行说明.

例4.(2017·全国卷Ⅰ文·21节选)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x，讨论f(x)的单调性.

分析：f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a)，首先要看方程(2ex+a)(ex-a)=0是否有根，因为ex>0，

所以当a>0时，f′(x)=0有一根x=lna，所以f(x)在(lna,+∞)上单调递增，在(-∞,lna)上单调递减；

当a=0时，方程f′(x)=2e2x>0恒成立，f(x)在(-∞,+∞)上单调递增；

上面例4中的导函数对应表达式是可因式分解的，还有不可因式分解的，这时需要类比二次函数(不可因式分解)型来讨论，必要时进行换元，利用复合函数的单调性进行讨论，通过下面的例子来看看具体的做法.

例5.(2020·合肥三模文·21节选)已知函数f(x)=ex-e-x,g(x)=ax(e为自然对数的底数)，其中a∈R.试讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性.

分析：F′(x)=ex+e-x-a，因为F′(x)=ex+e-x-a≥2-a，

所以，当a≤2时，F′(x)≥0恒成立，F(x)在(-∞,+∞)上单调递增；

4.混合双根型

混合双根型是指导函数由一次因式与指数型因式或者对数型因式相乘构成的，这种情况可类比二次函数(可因式分解)型来进行讨论，可能会涉及导函数是否有根、根是否在定义域内以及两根大小问题，同时也要注意每个因式对应的函数的单调性，这会影响双根型函数的“开口”方向.

例6.(2016·全国卷Ⅰ文·21节选)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2，讨论f(x)的单调性.

①当a≥0时，f(x)在(1,+∞)上单调递增，在(-∞,1)上单调递减；

结束语

通过上面的题型分类及例题分析，笔者把高考中常见的含参函数单调性的讨论进行了总结归纳.对于此类问题的教学，一定要让学生理解单调性问题的解题关键是导函数在定义域内是否存在变号零点，导函数在定义域内存在变号零点，原函数在定义域内单调性就会发生改变，反之，连续的原函数的单调性就不会发生变化.至于导函数在定义域内是否存在零点，则需要学生掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等函数零点的求解方法，有时还可能用到零点存在性定理，涉及猜根、卡根及“隐零点”问题，本文不再论述.在讨论单调性时，可以借助一次函数和二次函数，向学生展示导函数值正负的示意图，帮助学生理解函数增减的变化，以便更好地由图象写出正确的单调区间.