核心素养下高中数学教学中的思维训练

北京 王志伟

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》提出数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.课堂教学中要落实和发展学生数学学科核心素养，就要创设合适的教学情境，启发学生思考，通过直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程，形成理性思维和科学精神.

一、创设情境激发兴趣，培养思维的积极性

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》在教学实施建议部分指出“基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境、提出合适的数学问题，引发学生思考与交流”.可以说兴趣是学生形成和发展数学学科核心素养的非智力因素中的核心因素，因此在教学中要以学生为本，通过挖掘教材中的兴趣因素，并在情境中提出问题，引导学生在问题解决的过程中促进数学学科核心素养的形成和发展.

例如：在开始学习数列一章时，可以先向学生讲述一个故事.古印度有一个国王酷爱象棋，一天他把象棋大师叫到跟前，赞扬一番后要重赏他，“你想要什么，我就给你什么”.象棋大师说：“金银财宝我不要，只想要一些麦子回家充饥”.国王说：“你要多少？”大师说：“不多，在棋盘的第一个格里放1粒，第二个格里放2粒，第三个格里放4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍，按规律把棋盘放满就行啦.”国王一听这还不容易，招呼粮食大臣尽快给他麦子.大臣回去一算吓了一跳，全国的粮食都给他，也不够他要的.大臣报告国王，国王也大吃一惊.同学们，小小的棋盘为什么会装下那么多麦子呢？要想知道原因请学好数列一章.

经过这样引导，同学们情绪高涨，课堂气氛活跃.以学生感兴趣，又有一定的趣味性、挑战性的数学问题入手，可以迅速集中学生的注意力，并且显得十分生动、有魅力，学生的兴趣异常浓厚，有利于启发学生的思维，培养他们思维的积极性.

二、巧用解题后的反思，训练思维的严密性

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力.”课程标准要求教师引导学生总结出一些具有针对性的学习方式，促进学生学会学习，这就要求教师在教学中，要逐步培养学生的反思意识，在数学活动过程中不断对数学具体知识、内容、包含的思想、观念、解题思路、解题策略等进行回顾、思考、总结评价和调节，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考、做出判断.

方法一：巧用错误解法，请学生比较.对于作业、练习中存在的普遍问题，让学生进行甄别，让学生用自己的理解发现并反驳错误，加深对问题的理解，避免错误再次发生.

例如：人教A版新教材必修2第73页习题7.1中复习巩固第2题：当实数m取什么值时，复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i是下列数？(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.

这个题目很简单，但由于学生刚刚接触复数的概念，有可能考虑的不周全，比如对于第(3)问，有些同学就是直接令实部等于0然后求得m的值，结果显然是错误的，这个题目就应该让学生进行仔细甄别，加深理解，一开始就留下深刻印象，纯虚数不仅实部等于0，同时虚部不等于0，所以一定要去掉使虚部也为0的m的值，这是学生很容易犯的错误.

方法二：列举相似问题进行比较，举一反三.在教学中，可以把相似类型的题目编成一组，让有过实践的学生进行积极思考，拓展性的思维也就从这里培养起来了.数学知识本身具有系统性和层次性.在单元复习课或总复习课中，精心设计一些习题题组，把相关的内容有机联系起来，保持知识的连贯性，并且使知识的应用随着题目的联系而逐步展开.

例如：在复习圆锥曲线中椭圆这一部分内容时，考试说明要求为：掌握椭圆标准方程及其几何性质，会根据所给条件画椭圆，了解椭圆的一些实际应用.我们设计题组目标为：熟练掌握椭圆定义、标准方程，熟悉并会求几何性质中的有关量，能根据所给条件运用待定系数法求椭圆标准方程，会应用椭圆定义解决有关问题.可设置如下题组：第一组复习基础知识和基本方法.

③若△ABC两顶点A，B坐标分别为(-3,0),(3,0)，而周长为20，则点C的轨迹是________；

让学生独立完成后，对其进行重点评讲，指出所应用的知识点、基本方法和基本数学思想，对学生存在的问题进行评析，最后与学生一起归纳总结.然后再布置第二套题组，巩固消化前面内容同时加进适当的综合题，进一步提高能力.如：

③P是椭圆上一点，F1，F2是两焦点，求|PF1|·|PF2|的最大值；

因此，利用题组把复习中讲—练—讲变为练—讲—练，使学生在主动探索中巩固消化了所学知识，更进一步达到了应有的教学目标.

三、通过一题多解，训练思维的发散性

数学学科教学的一个重要任务就是“增强学生的创新意识和科学精神”，这要求大力发展学生的发散性思维，引导学生根据已有信息，从不同角度、不同方面思维，从多方面寻求多样性答案.为了发展学生发散性思维，教师在教学中，可以有意的设计一些一题多解的教学环节.通过对同一个问题，采用不同方法求解，拓宽学生思路，起到加大思维空间的效果，这是训练思维发散能力的常用手段.

例如：(2015·北京卷文·20)已知椭圆C:x2+3y2=3.过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M.

(Ⅰ)求椭圆C的离心率；

(Ⅱ)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；

(Ⅲ)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.

此题前两问属于中低档题，第三问属于难题，对于第三问有几种不同解法.解法1：直接证明直线BM的斜率等于1，恒等变形技巧性极强，考生难以驾驭.解法2：转化成kBM-1=0，则大大降低了计算难度，虽然只是一小步变化但思维的转换并不容易.解法3：做一步图形转化，略解如下：

欲证BM∥DE,由平行线截线段成比例定理，只需证AD∶DB=AE∶EM

所以BM∥DM.

这样，弄通、弄懂一道题，就会解出一类题，避免了题海战术，让学生在掌握数学知识内在联系的过程中，享受数学的相似美，提高学生归纳、概括的能力.

四、注重概念教学，训练思维的深刻性

课程标准指出数学教学就是要“引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”，这就要求学生数学思维的抽象程度、逻辑水平及思维活动达到一定的深度，能够对事物进行深刻理解并善于抓住事物的本质规律，在思维活动中，能深入细致地考虑问题，探索解决问题的途径.

例如：人教A版新教材必修1，2.2基本不等式的教学，就可以设计以下问题：

此案例的问题情境贴近生活，给学生创设了一个观察、联想、抽象、概括、数学化的过程，在这样的实际问题情境下，学生会想学、乐学、主动学.教学实践证明，问题情境教学是提高课堂质量的有效途径之一.在数学课堂教学中，教师灵活处理教学过程中出现的各种问题，精心创设各种教学问题情境，能够培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性和主动性，促使学生以探索者的身份去发现问题，总结规律，提高学生运用知识解决实际问题的能力，同时又使课堂教学丰富多彩，生动活泼.这样，对概念多提几个问题，不仅可以帮助学生全面而准确地掌握概念，克服思维的表面化，而且能够引导学生善于观察问题，深刻地思考问题，从而实现思维的深化.

五、基于变式训练，培养思维的创新性

课程标准指出数学教学就是要促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展，创新性思维是指人在探寻事物变化规律过程中产生出的新的见解或方法等思维活动，是建立在一般性思维的基础之上的，是长期开放式培养与训练的结果.这就要求在教学活动中通过引导学生自主阅读、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等多种形式的教学方式，不断引导和鼓励学生敢于质疑、敢于探究，敢于大胆地发表新见解.在课堂教学中，创设变式教学情境，灵活运用变式教学是培养和发展学生创新思维的重要载体.在教学过程中，运用变式教学，可以为学生提供自由、和谐、互相尊重的学习氛围，有利于促进学生萌发尝试新事物的勇气，并在轻松的心态下学会从失败中总结经验，为成功奠定良好的基础.

例如原题：求曲线y2=-4-2x上与原点距离最近的点的坐标.

变式1：在曲线y2=-4-2x上求一点M(x，y)，使它到点A(a,0)的距离最短.

将原式的特殊点(原点)改为一般的点A(a,0)，这符合由特殊到一般的认知规律，学生容易接受.

变式2：已知抛物线y2=-4-2x与直线y=kx+3没有公共点，求k的取值范围.

也可进一步改为：

变式3：已知抛物线y2=-4-2x与动圆(x-a)2+y2=2没有公共点，求a的取值范围.

这样的变式练习，学生可以通过实验得出，也可以通过数学方法得出，通过这样的练习能提高学生学习数学的兴趣，从而达到教学目的.

将常规题变为探索题，是设计变式题的又一途径.由常规题演变的探索题，对学生来说更具创造性和挑战性.总之，教师在习题的设计过程中要充分考虑题组的自身特点，从学生的角度去思考问题，习题设计要由浅入深，由易到难，由具体到抽象，由特殊到一般，层层深入，步步启发，既要注意题与题之间的连贯性，连接的趣味性，题目的针对性和开放性，同时要保持知识的网络性和整体性.不同的题组，有着各自不同的功能，精心设计的题组在教学中发挥着不可替代的作用，对于提高教学效率、培养学生的能力、提高学生的数学素养起着重要作用，也是优化课堂教学的一种途径.