数学考试中结构不良问题的含义、功能及解法

2021-04-15福建童其林

教学考试(高考数学) 2021年1期

福建童其林

数学问题可分为结构良好问题和结构不良问题.在解决结构不良数学问题的过程中往往能体现出一个人的各种能力，如学习的迁移能力，即完成从非理想模型向理想模型的迁移；思维的变通能力，即能够完成把不良结构变通为良好结构等等.也正因为如此，当今高考的素养立意就是要完成从结构良好数学问题的考查向结构不良数学问题的考查的转化，也正基于此，结构不良问题往往被命题者作为测量问题解决能力的工具，以达到试题具有良好“区分度”的目的.中学数学教学中，我们应该努力寻求解决结构不良数学问题的方法，其中补偿法是一种常用的方法.应用补偿法一般可解决下面四类缺陷问题：物理性缺陷问题——物理割补，等效运算；情境性缺陷问题——返璞归真，技术补偿；过程性缺陷问题——结构假设，等效转换；假设性缺陷问题——合理假设，检验校正.

1.结构不良试题的含义

Reitman(1965)首次从认知心理学的角度区分了结构良好问题和结构不良问题.前者是初始状态、目标状态和算子都很明确的问题，而后者是这三者中至少有一个没有明确界定的问题.所谓算子就是解决问题的方法和途径.结构不良的问题并不是指问题本身有什么错误或者不恰当，而是指它没有明确的结构、要求或者解决途径.

陈尧明老师认为，数学问题可分为结构良好问题和结构不良问题，在中学数学试题中大量出现的是结构良好的数学问题.所谓结构良好，是指提供的信息完整，数学结构(研究对象、输血过程)理想，问题目标明确，解决过程和答案稳定，也就是我们常说的理想模型.结构良好和结构不良是一个相对的概念.结构不良一般分为结构缺陷和结构复杂两类.

任子朝认为数学科结构不良问题的主要特征有：(1)问题条件或数据部分缺失；(2)问题目标界定不明确；(3)具有多种解决方法、途径；(4)具有多种评价解决方法的标准；(5)所涉及的概念、规则和原理等不明确；(6)需要学习者表达个人的观点或信念.

【例1】(2020·5月宁德市普通高中毕业班质量检查试卷理·15)宁德市中学生篮球比赛中，如图为某球队8场比赛得分的茎叶图，其中有两个数字不慎被墨迹污染(分别用m,n标注).目前得知这组数据的平均值为58，则方差s2最大时m-n的值为________.

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点评：本例的数据部分缺失问题，解题时要注意隐含条件：m,n∈N.

本例是一个逆向思维的问题，也是具有多种解决方法、途径，并需要验证是否符合题意的问题，需要学习者表达个人的判断.

【例3】(2019·11月山东海南调研卷)在①b1+b3=a2，②a4=b4，③S5=-25，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值，若k不存在，请说明理由.

设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列，________，b1=a5,b2=3，b5=-81，是否存在k，使得Sk>Sk+1且Sk+1

本例是典型的结构不良问题，具有多种解决方法，需要学习者表达个人的观点或信念.

【例4】三角形ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，有下列两个条件：(1)a,b,c成等差数列；(2)a,b,c成等比数列.

现给出三个结论：

请你选取给定的两个条件中的一个为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之.

本例是条件和结论都要学习者组织和判断的问题，是条件和结论都开放的问题.

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2.结构不良试题的功能

近年来，结构不良问题引起了研究者的关注，新建构主义高度重视结构不良问题对于发展学生的思维、创新和迁移能力，他们强调应当变传统知识的接受者为问题解决的主动者.

从知识观来看，结构不良问题的解决有利于高级知识的获得.有利于激发学生的学习兴趣，有利于培养学生发现问题、解决问题的能力，有利于应对现实挑战的创新能力和实践能力的提高，有利于提高高考数学的区分度.

中学数学教学中，应该努力寻求解决不良结构数学问题的方法，其中补偿法是一种常用的方法.

3.求解结构不良试题的一种方法：补偿法

应用补偿法一般可解决下面四类缺陷问题.

3.1物理性缺陷问题——物理割补、等效运算

所谓物理性缺陷是指数学解题对象在空间上与理想的数学模型存在一定的缺陷.补偿法就是经物理性割补使之成为一个完整的理想结构，找出缺陷结构与理想结构之间的差异，再用有关的性质、原理求解，从而得到正确的结论.此类结构不良问题在立体几何中比较常见.

如图，把四面体补成一个长方体，假设长宽高为x,y,z,列出方程组即可快速求解.

解析:由题意知该三棱锥为正方体的一部分,如图所示.

点评：将四面体补成正方体，通过求解正方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积.

3.2情境性缺陷问题——返璞归真、技术补偿

所谓情境性缺陷是指实际问题条件与使用条件之间的差异形成的缺陷.良好结构的数学问题的条件是有序的、正定的，但实际问题条件往往是无序的、离散的.碰到这种原理性缺陷问题时，可以通过画图象、画表格等数学技术手段进行补偿，使问题呈现良好有序的结构，返璞归真.

【例8】若E,F分别是三棱柱ABC-A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点,且B1E=CF,三棱柱的体积为m,求四棱锥A-BEFC的体积.

解析：如图,连接AB1,AC1.由于B1E=CF,则梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积.

因为四棱锥A-BEFC的高与四棱锥A-B1EFC1的高相等,

设三棱柱的高为h,

点评：局部与整体考虑相结合.

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所以b1+b2020=b1+b2=4，即(a1-2)2+(a2020-2)2=4.

法三：(a1-2)2+(a2020-2)2=4，即(a1,a2020)在(x-2)2+(y-2)2=4上，

点评：本题是数列内部综合问题，也是和其他数学分支的综合，还是解题方法的综合，有一定的难度.

3.3过程性缺陷问题——结构假设、等效转换

不少数学问题，在连接题设和结论的关键点上，会遇到一些客观上根本不可能知道的，或可以知道但不需要知道从而不用知道的，或需要知道但当前尚未知道的数学对象，这些我们泛指过程性缺陷问题.对于此类问题可以将结构假设为有利问题解决的理想状态，抹去过程的碎碎末末，抓住理想状态下的一些特殊环节进行分析剖解.

【例10】将n2(n≥3)个正整数1，2，3，…，n2填入到n×n个方格中，使得每行、每列及每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做几阶幻方.如图就是一个3阶幻方，定义f(x)为几阶幻方一条对角线的和，例如f(3)=15，那么f(4)等于________.

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点评:深刻理解数学概念，掌握数学思想方法是会算的必要条件.

【例11】已知三角形ABC的顶点A(4,-1),角B和角C的角平分线方程分别是x-y-1=0和x-1=0.求BC边所在直线的方程.

本题是让许多学生百思不得其解的一个问题，主要是打不开思路、想不到方法造成的.画图，利用对称性，即可知A(4,-1)关于角B的平分线所在直线x-y-1=0的对称点E(0,3)在直线BC上，同理A(4,-1)关于角C的平分线所在直线x-1=0的对称点D(-2,-1)在直线BC上，所以直线DE的方程，即直线BC所在的直线方程，为2x-y+3=0.