直观视角下“三角函数”专题的二轮复习

安徽 郑福梅 祝 峰

高考中三角函数试题，多为基础题和中档题，是学生得分的重要知识版块.主要知识点包括三角函数图象和性质、三角恒等变换、正弦定理和余弦定理、解三角形和三角函数的应用.在扎实基础、注重技能的一轮复习基础上，二轮复习应在学科素养要求下，系统知识、凝练思想、发展素养，才能与“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的高考命题理念高度契合.选取一个恰当的学科素养视角，科学地分析、梳理和总结典型高考试题，从中获取有用信息，将其整合应用于二轮高考复习，使二轮复习与“试”俱进，是二轮突破的有效之举.

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》指出：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形分析、描述数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.本文拟在直观视角下，分析“直角三角形中的勾股数”“知图求式”“知式探图”“图象变换”“知式寻图”“用图探路”六类三角函数试题对学生知识、能力、思想方法，特别是直观想象素养的考查要求，旨在为“三角函数”二轮专题复习过程中，发展学生直观想象素养提供鲜活的教学素材.

1.直角三角形中的勾股数

同角三角函数基本关系式源于三角函数的概念，为解决“已知一个角的一个三角函数值，求其他三角函数值”问题而产生.高考中以化简、求值的形式考查，但这类问题不一定要全部利用关系式求解.借助直角三角形中的勾股数结合三角函数在各个象限内的符号，能够直观、准确、快速解答这类问题.

【例1】(2020·全国卷Ⅰ理·9)已知α∈(0,π)，且3cos2α-8cosα=5，则sinα=

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评析：已知某角的一个三角函数值，在直角三角形中构建恰当的勾股数，结合角所在象限，能够从图形中直观地看出该角的其他三角函数值.值得说明的是，数学思维不是仅仅在抽象层面展开，很多场合中是借助直观手段展开的.

2.知图求式

识图能力是直观想象素养的构成要件，是考查学生直观想象素养水平的一项评价指标.表现为能够读懂图形所表述的问题内涵，敏锐地捕捉并正确提取出问题解决的必要信息，建立图形与数量之间的关系，探索解决问题的途径.

由三角函数图象求其解析式，是高考中三角函数内容的常见题型.试题一般设置成给出函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的部分图象，由图象所提供的诸如对称性、单调性、特殊点等信息，确定函数解析式中相关参数.求解过程中，学生需具备较强的读图、识图、用图能力.

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评析：构建几何直观、利用几何直观，是学生具备直观想象素养顺次递进的两个环节，这类问题不需要学生由抽象问题构建几何直观，而是直接给出直观，要求学生能够利用图象直接求解数学问题.由图象读得零点，求出ω，进而由ω求出周期.

【例4】(2020·新高考全国Ⅰ卷(供山东省使用)·10)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=

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综上选择B，C.

3.知式探图

“以数思形”是这类问题对直观想象素养考查的核心，要求学生能够通过“数”的运算和推理，通过想象严密的逻辑推理与几何直观之间的关联，对已知函数图象的特征予以判断.

其中所有真命题的序号是________.

4.图象变换

高中数学中，学生对图象变换理论的系统认识是借助三角函数完成的.包括平移、伸缩、对称三类基本变换，三角函数图象变换问题能够准确考查学生数与形结合的能力，要求学生能够结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的实际意义；借助图象理解参数A，ω，φ，B的意义，理解参数变化对函数图象的影响.

其中所有正确结论的序号是

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A.① B.①③

C.②③ D.①②③

评析：考查正弦型函数的性质及图象的平移，以及学生的数学运算能力，逻辑分析能力.

评析：要求学生能够由图象的变换推理出函数解析式，并研究所获得新函数图象的特征，即求其一条特殊的对称轴.

5.知式寻图

在四个选项中遴选出已知函数图象的问题，也是高考试题中考查三角函数图象特点的一类常见题型.此类问题以直观想象素养立意，涉及正弦、余弦、正切函数的图象特征及性质等知识点，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.

【例8】(2020·浙江卷·4)函数y=xcosx+sinx在区间[-π,π]上的图象可能是

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A

B

C

D

评析：两道试题均考查函数的性质与图象，渗透逻辑推理、直观想象和数学运算素养.采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题.“知式寻图”与“知图求式”是一对相逆问题，形象的体现了几何直观与数量运算和逻辑推理相互转化的数学思维方式.

6.用图探路

函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、零点等性质在其图象上均有直观体现.三角函数问题的求解过程中，在正余弦曲线、正切曲线的基础上，如果能够借助图象变换知识，作出所研究函数的图象，则可以利用图象探寻问题的求解思路，或者直接得到问题的结论.

【例10】(2019·全国卷Ⅰ理·11)关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：

其中所有正确结论的编号是

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A.①②④ B.②④

C.①④ D.①③

解析：因为f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x)，所以f(x)为偶函数，故①正确.

评析：函数f(x)=sin|x|+|sinx|的相关性质，可以通过严密的逻辑推理获得，比如命题①函数的奇偶性性质；也可正确作出函数图象，借助图象直观地发现结论.

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A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x|

C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|

解析：图1，2，3，4分别是A，B，C，D四个选项对应函数的图象，可直观地看到，符合条件的函数为f(x)=|cos2x|.

图1

评析：在函数cos2x，sin2x，cosx，sinx图象的基础上，通过对称变换，分别作出四个选项中函数对应的图象，借助图象即可对所述问题直观判断.