数形结合的完美体现——浅析四个“一次”之间的关系

黄 峰

(江苏省泰兴市实验初级中学 225400)

一次函数图象上的点与有序实数对 (x、y) 之间的对应关系，一次函数与二元一次方程之间的关系，一元一次不等式, 一元一次方程和一次函数之间的相互关系.这四个“一次”是有着紧密联系的.但对于这四者之间究竟存在一个什么样的关系, 学生就感到非常茫然了，下面我想就这方面的问题谈谈个人肤浅的认识:

一、深入了解一次函数

破析一次函数，是弄清它们之间关系的关键所在，苏科版初中数学教材八上第6章6.1给出的函数的定义是:一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应, 那么我们称y是x的函数，x是自变量.6.2给出了一次函数的数学表达式是y=kx+b(k,b是常数，且k≠0) , 特别地，其b=0时就是正比例函数, 通过该表达式更能体现x和y的一一对应关系, 只要确定了x(y) , 就能确定唯一的y(x) 与之对应.在初中数学中x和y组成了一对有序实数对(x,y).6.3学习了一次函数的图像.通过列表、描点、连线, 发现了一次函数是一条直线，正比例函数是过原点的直线.通过观察图像, 我们知道了一次函数图像的性质：如果k>0, 那么函数值y随自变量x增大而增大；如果k<0,那么函数值y随自变量x的增大而减小.一次函数y=kx+b的图像可以由正比例函数y=kx的图像向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到.

二、四个“一次”之间的关系

一元一次方程、二元一次方程 (组)、与一元一次不等式(组)侧重于从数的方面解决问题, 而一次函数的图象侧重于从形的方面解决问题.我们在实际应用时，往往是数形结合, 相辅相成.

1.一次函数与二元一次方程(组)之间的关系

例1请在方格纸上画出一次函数y=2x+4的图像.

第一步：列表，恰当地选取自变量x的几个值，计算函数y对应的值；

x…-3-2-101…y…-20246…

第二步：一次函数图像上可以取到无数多个点.我们把表中各对x,y的值为点的坐标：(-3,-2),(-2,0),(-1,2),(0,4),(1,6)，在平面直角坐标系中描出相应的点.

第三步：顺次连接描出的各点.

例2已知直线y1=2x-4与直线y2=-2x+8的图像，求出交点坐标.

图1

一个二元一次方程就是一个一次函数，一个一次函数就是一条直线，一条直线上有无数个点，每一个点对应一个坐标，每一个坐标就对应一个解，无数个点就对应着二元一次方程的无数个解.而另一条直线也是这样的.所以这两个一次函数图像的这个交点就是无数个点中的特殊一个，交点坐标同时满足两个一次函数表达式成立，也就是同时满足对应的两个二元一次方程所组成的方程组成立，所以二元一次方程组的解就是所对应两个一次函数图像的交点坐标.反过来，如果我们知道两个一次函数图像的交点坐标，就可以直接得到对应的二元一次方程组的解.这两种方法一种是数，一种是形，充分体现了数形结合的好处.

2.一次函数与一元一次方程之间的关系

例3如图2，观察一次函数y=2x+4的图像，回答下列问题：

图2

(1)一次函数图像与x轴的交点坐标是什么？

解析通过图像我们可以直接读出交点坐标是(-2,0)，我们之前的学习已经知道一次函数图像与x轴的交点纵坐标为0 ，在这里我们可以令y=0,得出它所对应的一元一次方程2x+4=0来验证这个点的横坐标是不是-2.

(2)在一次函数图像上我任意找出一个点的纵坐标为6，你能说出这点的横坐标吗？

解析第一种方法，借助图像，我们可以通过这点作x轴的垂线段去确定这点对应的横坐标.第二种方法，可以令y=6，得出它所对应的一元一次方程2x+4=6，来确定这点的横坐标.

3.一次函数与一元一次不等式(组)之间的关系

例4如图2，观察一次函数y=2x+4的图像，回答下列问题：

(1)在一次函数的图像上，当函数值y>0时，位于图像上哪一部分，此时自变量的取值范围是多少？

解析通过图像，我们可以发现函数值y>0图像位于x轴的上方，自变量x的取值范围是x>-2;我们也可以通过它所对应的一元一次不等式2x+4>0来确定它的自变量x的取值范围.

(2)在一次函数的图像上，当自变量x>0时，位于图像哪一部分，此时函数值y的取值范围是多少？

例5已知函数y1=2x-4与y2=-2x+8的图像，观察图像并回答问题：

(1)x取何值时，2x-4>-2x+8？

解析本题若从数的角度可作如下思考:解不等式2x-4>-2x+8, 得x>3.而从形的角度就简单多了, 不等式2x-4>-2x+8就是y1>y2, 在直角坐标系中寻找y1的图象在y2图象之上的区域, 显然为x>3.

(2)x取何值时，2x-4≥0与-2x+8≥0同时成立？

由以上论述可知, 一元一次函数与二元一次方程(组)、一元一次方程、一元一次不等式(组)之间是相互联系，相互渗透的, 如果我们树立数形结合的理念, 在解决问题时或数或形或数形结合, 那么在解决相关问题时必能做到快速准确，融会贯通、游刃有余.