极限计算中的“泰勒公式法”

刘桂东 郑玉国 苏小囡

【摘要】泰勒公式在极限的计算中有着重要的应用，熟练运用泰勒公式在很多情况下可以提高极限计算效率。本文将结合例题对利用泰勒公式计算极限的方法进行深入探讨，并详细解释泰勒展开公式中“幂次最低原则”的含义。

【关键词】泰勒公式  极限计算  幂次最低原则

【基金项目】江苏高校哲学社会科学研究项目（2021SJA0362）;江苏省高等学校自然科学研究面上项目（批准号：20KJB110012）资助。

【中图分类号】O13    【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）37-0137-03

一、引言

作为高等数学的基石，极限基本贯穿了整个高等数学[1]。从函数的连续性、可微性到积分、无穷级数，极限无处不在。因此，在理解极限定义的基础上，如何快速准确计算函数或数列极限也是高等数学的重点和难点之一。极限的计算方法可以大致总结为连续函数定义法;极限四则运算法;夹逼准则法;指数对数法（幂指函数）;定积分定义法;等价无穷小替换和洛必达法则;泰勒（Taylor）公式法 [2-3]。其中洛必达法则可以说是这几种方法中应用范围最为广泛、并且也是相对简单的方法之一，主要用于“”型、“”型、“0·∞”型、“1∞”型等未定式的计算中。在运用洛必达法则时，一般要先考虑首先采用等价无穷小替换，以简化极限的表达式，然后对表达式的分子和分母同时求导数。但对于一些复杂的分式极限计算，等价无穷小替换往往是不够的，而且很容易计算错误。例如：计算极限，若采用等价无穷小替换，则分子等价为sin（sinx）-x～sinx-x～x-x，显然这里等价无穷小替换是错误的。

而泰勒公式在这些复杂的极限计算中有着重要的作用，只要知道极限每个部分的泰勒公式，就可以很容易地计算出极限值。

二、泰勒公式

设函数f（x）在x0的某个邻域∪（x0，δ）内具有直至n∈N+阶导数，则当x∈∪（x0，δ）时，有

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+…+（x-x0）n+ο（x-x0）n

其中ο（x-x0）n表示（x-x0）n的高阶无穷小量，该公式我们称之为函数f（x）在x0点处的泰勒公式，或者也成为泰勒展开。

若上式中x0=0时，我们就得到了麦克劳林（Maclaurin）公式：

f（x）=f（0）+f′（0）x+x2+…+xn+ο（xn）

因此在计算x→0的极限中，我们就可以利用其麦克劳林公式来替换函数f（x）。

常见初等函数的麦克劳林公式：

ex=1+x++…++ο（xn）

（1+x）α=1+αx+x2+xn+ο（xn）

ln（1+x）=x-++…+（-1）n-1+ο（xn）

sinx=x-++…+（-1）n-1+ο（x2n-1）

cosx=1-++…+（-1）n+ο（x2n）

容易验证，等价无穷小其实是麦克劳林公式展开到前1～2项所得到的，例如sinx～x就是在麦克劳林公式中取n=1且忽略余项ο（x）所得到的。对于一些复杂极限的计算，等价无穷小替换通常是不够的，需要展开为更多项的麦克劳林公式。

例1：

分析：该题中显然是“”型未定式，可以采用洛必达法则分子分母求导，但事实上如果采用泰勒公式法则更为简单。

a）若将sinx的麦克劳林公式展开到第一项（n=1），即sinx=x+ο（x）代入可得==极限不存在，显然这是错误的。

b）若将sinx的麦克劳林公式展开到第二项（n=2），即sinx=x-+ο（x3）代入可得

==

-·

+

=-

c）若将sinx的麦克劳林公式展开到第三项（n=3），即sinx=x-++ο（x5）代入可得==

-·

+

+

=-

对比上面a）、b）、c）三种方案可以看出，若将sinx展开到第一项麦克劳林公式，则没有办法求出正确答案;若展开到第二项或者更多项麦克劳林公式，则可以求出正确结果，但事实上，x3以上的项与分母作商的极限为0，其实不影响极限的计算结果，所以只需要展开到x3项。

三、泰勒公式法幂次最低原则

其實，泰勒公式法也是一种特殊的等价无穷小替换，只是将函数等价为更加复杂的函数：展开项数更多。

由例1可知，在利用泰勒公式法计算极限时，尽管展开项数越多越不容易出错，但项数越多也就意味着计算越为复杂，其实很多都是冗余项，对极限的结果没有任何影响。那如何决定泰勒公式中展开项数n呢？我们应该遵循幂次最低原则：将低幂次互相抵消后，所有项取到非抵消项的最低幂次项。我们以几道例题分别解释幂次最低原则。

例2：

分析：例题中每一项我们都可以写出其泰勒公式，例如分子上x2e2x=x2+2x3+…++ο（xn+2）ln（1-x2）=-x2--…-+ο（x2n）

遵循幂次最低原则，x2e2x+ln（1+x2）在利用泰勒公式时，低次幂x2可以互相抵消，但x3项则不能互相抵消。因此，x2e2x取到非抵消项的最低次幂为x3，ln（1-x2）取到非抵消项的最低次幂为x4=ο（x3），因此代入泰勒公式时只需利用：x2e2x=x2+2x3+ο（x3），ln（1-x2）= -x2+ο（x3）即可。同理分母代入xcosx=x-+ο（x3），sinx=x-+ο（x3）得：

==-6

总结可得：对于两个函数的加减，幂次最低原则为分别将两个函数展开到非抵消项的最低次幂，即取到非0的最低次幂（例2中为x3）。

例3：

分析：该例题中，分子exsinx为两个函数的乘积，其中ex=1+x++…++ο（xn）  sinx=x-+…++ο（x2n-1）

此时该如何分别选取其麦克劳林展开项数呢？

同样，我们也应该遵循幂次最低原则：两项乘积的低次幂x、x2会和x（1-x）相互抵消，而非抵消项的最低幂次为x3，由于在sinx的麦克劳林展开中最低次幂为x，故我们只需要将指数函数展开为ex=1+x++ο（x3），而在ex的麦克劳林展开中最低次幂为1，所以三角函数需要展开为sinx=x-+ο（x3），这样才能保证两项乘积中都能取到非抵消项的幂次最低，即x3。

而对于分母而言，由于幂次不能互相抵消，所以我们只要对其采用等价无穷小替换ln（1+x）-x即可，所以计算结果如下：

=

==

例4：

分析：该例题中sin（sinx）为复合函数，在选择其泰勒展开项数时也同样遵循幂次最低原则：将低次幂x抵消后，所有项取到非抵消项的最低次幂x3，剩下的高次幂表示为ο（x3），因此，需要将sin（sinx）=sinx-+ο（x3），并进一步将其中sinx展开为sinx=x-+ο（x3），而中sinx只需要展开到第一项即可，也就是=+ο（x3）。故

==-

总结上面几个例题发现，无论对于函数乘积或复合函数，在采用泰勒公式法计算极限时，我们都要服从幂次最低原则。

除了上述极限过程为x→0的极限可以采用泰勒公式法外，对于一些x→∞的极限通过使用倒代换t=后，我们同样也可以采用泰勒公式法。

例5：x3-x2

+

e

-

分析：采用倒代换后上述极限可转化为，此时对分子采用泰勒公式法，低次幂1，t，t2都可以互相抵消，非抵消项的最低次幂为t3，因此需要将et展开为et=1+t+++ο（t3），而对于只需要展开到第一项即可，因为它的泰勒公式第二项为t6=ο（t3），故=1+ο（t3）。代入計算可得：

==

四、结语

极限的计算非常重要，往往也比较复杂，在高等数学的教学重点和难点内容。本文通过几个实例，展示了泰勒公式在极限计算中的重要作用，同时也对泰勒公式中展开项数n的选择给出了分析过程，即幂次最低原则。对于一些复杂的极限，只需要掌握一些常用初等函数的麦克劳林公式，则可以快速简单求解极限，而且不容易出错。

参考文献：

[1]同济大学数学系编，高等数学第七版（上册）[M].高等教育出版社，2014.

[2]袁利军，曾静.泰勒公式在极限计算上的应用[J].课程教育研究， 2017（21）：246-247.

[3]刘艳. 泰勒公式在函数极限计算中的方法探讨[J].教育教学论坛， 2020（28）：328-329.

作者简介：

刘桂东（1991年1月-），男，江苏盐城人，南京审计大学统计与数据科学学院讲师，理学博士，主要研究方向是计算数学。

郑玉国（1976年-），男，汉族，吉林四平人，硕士，南京审计大学统计与数据科学学院讲师，研究方向：应用统计、数学建模。

苏小囡（1984年-），女，汉族，山东泰安人，博士，南京审计大学统计与数据科学学院副教授，研究方向：金融数学、金融统计。