习题教学，需重视『习题的习题』

文｜何月丰

2020年12月11日，周五

近期在教学“除数是两位数的除法”，课堂和练习的重心都放在计算上，对于“解决问题”的讨论相对而言有点忽视。现在学生对计算的技能已经比较熟练了，故今日的数学课，计划就数学书上一些略有特殊的“解决问题”进行教学。下图这道“解决问题”，便是我心里一直惦记着的“重要”习题之一。

因为有以往教学这道习题的经验，所以我比较清楚学生在解答时可能出现的问题。这些经验，便也成了我对这道习题教学设想时重点关注的地方，如对问题中“最多”的理解、算式中单位的确定等等。带着这样的经验与设想，我开始了教学。

实物投影出示习题——之所以不让学生翻开数学书，是因为我认为一起看大屏幕更能集中学生的注意力。

师：自己看，会不会？

“会，那么简单。”一些学生信心十足地喊着。

我关注着学生的表情，这让我能知道他（她）是否在认真观察和思考。一些学生很快开始动笔解答，也有一些学生动笔比较慢。

当大部分学生完成了，我便组织交流。

师：我有点不明白，题目中说“29 元/件、49 元/2 件”，这是同一种衣服还是不同的衣服？

一个声音比较响：不同的衣服。不过大部分学生还是认识到这是同一种衣服。

师：到底是不是同一种衣服呢？

生：是同一种衣服，1 件是29 元，如果你再加1 件，就是49 元。

师：哦，原来是这个意思。同一种衣服，如果你1 件1 件买，每件是29 元。如果你2 件2 件买，2 件一共49 元。我明白了。现在谁来说第一个问题？

生：185÷49。

我板书了这个算式，然后问：为什么要除以49？为什么不除以29？

生：因为2 件2 件买要便宜。

这位学生讲得是对的，但没有将习题中的关键点出来，需要再刺激一下。

师：我是钱多多，不差钱，干嘛要按便宜的买。到底是什么原因让我们要除以49？

生：因为题中说“最多”，2 件2 件买便宜，就能最多。

这才是关键。

师：哦！原来是这个原因，题目中要我们算最多买几件，那就要按便宜的买。

此处还与学生简要讨论了为什么按49 元买会便宜的原因。（照顾到所有学生，这一步还是有必要的）

师：谁算出来了？

生：3 余38 元。

根据学生的回答，我用红色粉笔板书了答案，并特意在“3”后面空了一段再点省略号写余数。这是一个关键点：“3”后面的单位是什么？这是我根据以往教学经验而刻意关注的地方之一。

师：38 元有单位，3 后面怎么没有单位？3 后面有单位吗？

学生在喊“有的”，于是我在“3”的后面又添了一个括号，如下：

185÷49=3（ ）……38（元）

看见括号，大部分学生在喊“件”，不过也有一部分学生在喊“组”。

师：到底是“件”还是“组”？

此时大部分学生开始赞成“组”了。

师：为什么是“组”呢？

生：因为49 元是买2 件，2 件就是1 组。

与学生再次讨论，明确单位确实是“组”，且明白1 组是2 件。然后我将单位补充上去，形成：

185÷49=3（组）……38（元）

师：接下来怎么办呢？

生：38 元还能再买1 件。

师：什么，还能再买1 件？什么情况？

生：因为题目说29 元买1 件。现在余下38 元，还能再买1 件。

师：哦！刚才是2 件2 件买，现在是1 件1 件买。

板书：38÷29=1（件）……9（元）。当然，写的过程中对单位“件”又进行了简单的讨论。

师：接下来怎么办？

现在学生都在喊“3×2”了。

师：3 干嘛要乘2？什么意思？

生：因为是3 组，每组有2 件。所以3 组是6 件。

这个问题前面已经讨论过了，但根据我的教学经验，这是学生经常要“忘记”的地方，所以此处我又再一次进行了“强调”。

结合学生的意见，我板书：3×2+1=7（件），然后请学生订正。

师：现在大家都明白了吗？

“明白了！”学生几乎异口同声。

师：有点不相信。请看大屏幕。

学生独立审题计算，然后交流，依次得出算式：

350÷69=5（组）……5（元）（此处再次讨论单位“组”，以强化）

5×2=10（件）

师：奇怪了，这次怎么不用再加1 了？

生：这次口袋里没钱了。

师：没钱了？

生：哦，不是没钱了，是钱不够了。

师：“不够”是什么意思？

生：现在还剩下5 元钱，买1 件要39 元，不够了。

师：哦，原来如此呀！

结合板书形成对比。

师：啊呀！我口袋里的钱数错了，我有400 元。

学生再次计算，然后交流。（略）

【日志解读】

在上面这则教学日志中，我觉得有两点值得与大家探讨：第一是对于这道习题的教学，我做到了充分展开、深入交流，尽可能使学生在第一次学习后就能对此类习题的解答有较为深刻的理解和掌握，也就是“像教例题一样教习题”；第二是对于这道习题的教学，我没有就题论题、一题了事，而是在教学之后又马上跟进了两道相似的习题，也就是安排了“习题的习题”。

关于第一方面，已经在本刊2021年第1～2 期合刊《像教例题一样教习题》中有过解读，此处就不再赘述。故，接下来重点就第二方面“习题的习题”谈一下自己的理解。

一、为什么要安排“习题的习题”？

所谓“习题的习题”，顾名思义，就是为习题而准备的习题。也许我们会想：为习题再准备习题，有必要吗？答案当然是肯定的。

一般而言，习题是为例题而准备的。每道例题教学之后，都会安排一定量的习题，用于巩固学生对例题所学知识的理解和掌握。但是，在习题教学过程中，也经常会遇到一些在形式、要求、策略、内涵等方面与之前所学例题有很大差异的习题。像教学日记中我记录的这道习题，出现在人教版四年级上册“除数是两位数的除法”这个单元，本单元并没有专门编排“解决问题”的相关例题（用于引出算式教学算理算法的“解决问题”例题除外），学生也未在之前的学习中遇到过类似的习题，所以虽然这道习题中涉及的计算技能学生都会，但它不是简单的知识应用类习题，而是学生首次遇到的具有新颖形式和要求的习题，具有一定的探索性。显然，这样的习题，其教学的目标不仅仅是简单地巩固之前所学，还承载了一定的新知教学任务。

面对这样一道承载了一定新知、具有探索性的习题，在教学中就如同面对一道例题。例题教学需要习题来巩固，那么，具有一定例题特征的习题，自然也需要习题来巩固。由此可见，“习题的习题”确实是有必要的，只不过其中所讲的习题，不是一般的习题，而是具有例题特征的习题。

二、如何安排“习题的习题”？

在习题教学过程中要安排“习题的习题”，一般来说要经历以下两步。

1.分析习题的特征。

前已提及，那些具有一定例题特征的习题才需要我们在教学中安排“习题的习题”。这也就是说，要安排“习题的习题”，教师首先要善于从习题的外在形式、问题要求、方法策略、知识拓展等方面对习题进行分析，从中找到那些具有一定例题特征的习题。对此，我们可以尝试从以下三个方面进行：

第一，读一读《教师教学用书》。《教师教学用书》一般都会对教材上每一道习题的内涵及承载的教学目标进行分析，并对其教学提出建议。因此，通过阅读《教师教学用书》，就可以帮助我们把握每一道习题的特征，并对其作出判断，进而确定其是否需要“习题的习题”。

第二，做一做教学中用到的每一道习题。教学中用到的习题，可能来自教材、作业本，也可能来自其他的教学资料。不管这些习题来自哪里，作为教师，在备课时自己先把每道习题做一遍，这是习题教学最基本的要求之一。通过提前做一做，可以帮助我们更好地对这些习题（特别是教材之外的习题）的特征作出判断，确定是否需要“习题的习题”。

第三，想一想以前教学这道习题的经验。对习题特征的把握，一方面来自对习题本身的研读，另一方面来自对学生解答的反馈。也就是说，有一些习题也许教师认为挺简单，但学生在解答中却对其中的一些字词、步骤理解上有偏差。学生在解答一道习题中遇到的困难，就会成为教师教学这道习题的经验。因此，面对一道习题，想一想自己以前教学的经验，特别是要想一想学生的情况，同样能为其是否需要安排“习题的习题”提供参考，我对教学日记中习题的判断，便是基于以前的教学经验。

最后需要说明的是，对于习题特征的分析，除了做好以上三个方面之外，教师还要具有从“一题”到“一类”的意识，即面对一道具有探索性、蕴含新知识的习题时，我们的眼里不应将其看成是一道题，而应看成是一类题。当我们站在“类”的视角看待习题时，对于习题的特征就会有一个更为清晰的认识，如有教师提炼出的“买几送几”“原路返回”等名词，便是从“类”的视角看习题的体现，这同样有助于我们判断其是否需要“习题的习题”。事实上，像我们熟悉的“归一问题”“行程问题”等，本身就是对题进行“类”的提炼。

2.准备跟进的习题。

当我们通过分析确定一道习题需要“习题的习题”后，接下来要做的工作便是准备跟进的习题。对跟进习题的准备，需要我们针对原来习题的特征，在备课时就设计好，以备课堂上使用。对此，需要注意以下两点：

一方面，要注意形式匹配。所谓“形式匹配”，即指习题在设计时，常常只需将情境或数据换一换而已，在形式、要求、结构等方面与前面的习题尽可能匹配。之所以要“形式匹配”，是因为此时习题的目标不在探索、创新，而在于使学生尝试应用一遍刚才习题中学到的新本领，以实现巩固。如教学日记中我在习题教学之后又跟进的两道习题，与之前的习题相比，仅仅是换了数据而已——其中一道余数上略有变化，也是在换一种形式强调原来的解题思路。

另一方面，要注意持续跟进。所谓“持续跟进”，即指此类习题在首次教学时有跟进习题，并不代表这样就结束了，而是要在以后的教学中借机再跟进。如教学日记中记载的习题，我在第二天与学生讨论另一道教材上的习题时，先将其作为复习的内容进行了练习，再由此引出新讨论的习题。此后在单元复习、期末复习时，还会进一步跟进。