一题多解在不定积分求解中的应用

张玉芳

【摘要】一题多解不仅能揭示不同解题方法之间的内在联系与区别，还可以启发和引导学生发散思维，培养学生对数学的兴趣和欣赏能力，最终提高学生的数学能力.本文给出了一道三角函数有理式不定积分的几种解法：万能代换法t=tanx2、万能代换变形法t=cotx2、三角代换法（t=cos x或t=2+cos x或t=1+cos x）、将被积函数部分分式分解法、使用数学软件Matlab直接积分法，从而展示一题多解在不定积分求解中的应用.

【关键词】一题多解;不定积分;三角函数有理式

不定积分是数学分析课程的核心内容之一.求解不定积分的方法有很多，如基本积分公式表、第一换元积分法（凑微分法）、第二换元积分法（变量代换法）、分部积分法、有理函数的不定积分法（将有理函数进行部分分式分解，然后求各个部分分式的不定积分）等.但有一类函数的不定积分（三角函数有理式的不定积分）求解方法比较灵活多变，初学者难以掌握.本文以几种方法（万能代换法t=tanx2、万能代换变形法t=cotx2、三角代换法（t=cos x或t=2+cos x或t=1+cos x）、将被积函数部分分式分解法、使用数学软件Matlab直接积分法）求解同一道三角函数有理式的不定积分为例，展示一题多解在不定积分求解中的应用.其目的：一是启发、引导学生发散思考，二是培养学生自主探究问题的能力，从而使学生能够感悟数学的魅力，培养学生对数学的兴趣和欣赏能力，最终提高学生的数学能力.

例求不定积分∫dx（2+cos x）sin x.

分析不同类型的不定积分一般都有基本的积分方法.对于三角函数有理式的不定积分，基本的积分方法是万能代换公式法.下面的解法1利用万能代换公式t=tanx2求解.

解法1令t=tanx2，则sin x=2t1+t2，cos x=1-t21+t2，dx=21+t2dt.

∫dx（2+cos x）sin x

=∫21+t2dt2+1-t21+t22t1+t2

=∫1+t2t（3+t2）dt

=∫13·1t+23·13+t2dt

=13lnt+239arctant3+C

=13lntanx2+239arctantanx23+C.

分析因为正切（tan）和余切（cot）互为倒数，解法1令t=tanx2，所以可以考虑令t=cotx2.下面给出解法2.

解法2令t=cotx2，则sin x=2t1+t2，cos x=t2-1t2+1，dx=-21+t2dt.

∫dx（2+cos x）sin x

=∫-21+t2dt2+t2-1t2+12t1+t2

=-∫1+t2t（3t2+1）dt

=-∫1t+-2t3t2+1dt

=-∫1tdt+13∫13t2+1d（3t2+1）

=-lnt+13ln3t2+1+C

=-lncotx2+13ln3cot2x2+1+C.

注解法1、解法2分别使用代换公式t=tan x2与t=cot x2，将三角有理函数的不定积分问题转化为普通有理函数的不定积分问题，再使用待定系数法，将普通有理函数的不定积分问题转化为能直接套积分公式或可以使用换元积分法、分部积分法求解的不定积分问题.但此过程烦杂，计算量大，容易出现错误.

分析因为sin x和cos x在微积分的运算中具有比较好的互逆性，且sin2x+cos2x=1， 所以下面的解法3、解法4、解法5采用了第二换元积分法中的三角代换法（t=cos x或t=2+cos x或t=1+cos x）及公式sin2x+cos2x=1，巧妙地达到了化简被积表达式的目的.

解法3令t=cos x，则dt=-sin xdx.

∫dx（2+cos x）sin x=∫1（2+t）sin x·dt-sin x

=-∫1（2+t）（1-t2）dt

=∫13·12+t-12·11+t-16·11-tdt

=13ln2+t-12ln1+t+16ln1-t+C

=13ln2+cos x-12ln1+cos x+

16ln1-cos x+C.

解法4令t=2+cos x，则dt=-sin xdx.

∫1（2+cos x）sin xdx

=∫1tsin x-dtsin x

=-∫1t[1-（t-2）2]dt=∫1t（t2-4t+3）dt

=∫13·1t-12·1t-1+16·1t-3dt

=13lnt-12lnt-1+16lnt-3+C

=13ln2+cos x-12ln1+cos x+

16lncos x-1+C.

解法5令t=a+cos x（a∈R），则dt=-sin xdx.

∫1（2+cos x）sin xdx

=∫1（t-a+2）sin x-dtsin x

=-∫1（t-a+2）[1-（t-a）2]dt

=∫1（t-a+2）（t-a-1）（t-a+1）dt

=∫13·1t-a+2+16·1t-a-1-12·1t-a+1dt

=13lnt-a+2+16lnt-a-1-12lnt-a+1+C

=13ln2+cos x-12ln1+cos x+

16lncos x-1+C.

注解法3、解法4、解法5直接使用了第二換元积分法，并巧妙地使用了sin2x+cos2x=1，将被积表达式进行了化简，将三角有理函数的不定积分问题转化为普通有理函数的不定积分问题，再使用待定系数法，将普通有理函数的不定积分问题转化为能直接套积分公式或可以使用换元积分法、分部积分法求解的不定积分问题.

分析在积分学中，有理函数的不定积分最基本的解法是：将有理函数进行部分分式分解，然后求各个分式的不定积分.下面的解法6就直接想方设法把被积函数进行部分分式分解，然后求解各个分式的不定积分.

解法6因为1（2+cos x）sin x=13-sin x2+cos x+2-cos xsin x=13-sin x2+cos x+2sin x-cos xsin x，

所以

∫dx（2+cos x）sin x

=13∫-sin x2+cos x+2sin x-cos xsin xdx

=13∫12+cos xd（2+cos x）+2∫csc xd x-∫1sin xdsin x

=13ln2+cos x+2lncsc x-cot x-lnsin x+C.

分析三角函数有理式不定积分的求解方法灵活多样，Matlab软件在求解积分方面有很大的优势.下面利用Matlab求解本题.

解法7

Clear

>>syms x c

>>int（1/（2+cos（x））*sin（x））

按回车键，得出答案

ans=

log（cos（x） - 1）/6 - log（cos（x） + 1）/2 + log（cos（x） + 2）/3.

综上所述，解法1、解法2是通过万能代换公式及其变形，将被积表达式进行了化简，解法3、解法4及解法5使用了三角换元对被積表达式进行了化简.

解法1、解法2、解法3、解法4、解法5都是将三角有理函数的不定积分问题转化为普通有理函数的不定积分问题，再结合待定系数法，将普通三角函数的不定积分问题转化为能直接套积分公式或可以使用换元积分法、分部积分法求解的不定积分问题.其中解法1、解法2的求解方法比较通用、直接、简单，易于掌握，但计算量偏大，容易计算出错;解法3、解法4、解法5使用的三角换元方法比较熟悉，但化简被积表达式比较巧妙，因此有一定的难度;解法6的求解方法比较巧妙，计算量偏小，但将三角函数有理式部分分式分解是一个难点，故此方法不具有通用性;解法7直接借助于数学软件Matlab编程求解，方法简单，容易得出结果，也具有通用性，但学生只知其然不知其所以然，这不是数学训练所想达到的目标.由此可见，七种方法各有优劣，只有通过对比训练，才能让学生更好地理解并掌握所学知识，真正体会数学的魅力.

【参考文献】

[1]陈纪修，於崇华.数学分析（上册）：第二版[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]赵树嫄.微积分：第三版[M].北京：中国人民大学出版社，2007.

[3]同济大学应用数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002.