数形结合思想在初中数学教学中的渗透探究

王玉清

【摘要】数学是初中教学课程中的主干课程之一，对学生而言，也是衔接数学基础知识与高阶知识的一个关键环节.下文以此为出发点，围绕初中数学教学活动的开展，探讨数形结合思想的渗透与应用.文中从五个方面为初中数学教育教學的优化提供理论层面的思考与建议.

【关键词】初中数学;数形结合思想;教学

一、数形结合思想的重要性分析

相对小学数学而言，初中数学更加复杂与抽象，教学形式上，也更加自主，因此，部分学生由于不适应中学教学的形式与节奏，无法较好地将学习内容理解转化，导致问题堆积，严重影响学习效果，同时也挫伤了自己的学习积极性，让问题进一步恶化[1].这时就需要教师进行引导，通过学习方法和教学方法的改善，让学生转化思路，运用更加简单的方式将抽象的内容理解，更加直观地对问题进行解读，从而解决问题.

而数形结合这一方法就是转化的核心与关键，通过数图结合，一方面能使学生对问题的理解和抽象概念的解读更加直观，能够把握问题的重点，另一方面，图形也较好地展示出了抽象文字概念，化繁为简，更容易激发学生的学习兴趣.学生在长期应用数形结合思维的过程中，会形成较好的形象思维，从而为后续教学活动的开展奠定良好的基础，大大提高课堂教学效率的同时，对学生的成长与进步也是非常关键的.

二、实践应用分析

本文从五个方面探讨数形结合思想在初中数学教学实践中的具体应用，分别是教学内容、解题能力、其他数学思维、核心素养与学习兴趣.

（一）教学内容

数形结合思想在初中数学教学内容中有很多的应用空间，本文以无理数和函数两个板块的教学内容为例进行阐述.对于无理数而言，无理数本身就是小学数学教学中没有提及的一个重要概念，同时也是一个较为抽象的概念，因此，理解清楚概念本身比计算应用更为关键.但是很多学生在理解抽象概念时，往往是通过例子来理解，即在教师课堂举例的过程中进行理解，这样的理解本身是相对片面的，往往在同一例子中可以理解，更换了例子内容就不知道如何应用了.

而建立在数形结合思想的基础上，则能够较好地解决这一问题，首先基于数形结合思想，教师可以利用画数轴的方式来帮助学生建立相对概念，如在数轴正方向上，规定单位长度，随机取出不同单位，如“取4个单位1，”随后在负方向上，同样随机取出不同单位，如“取3个单位1”，此时，教师在黑板上写下算式，“4+（-3）”，并与所画的图形联系起来.如此一来，学生感到新颖，可以通过图形展示算式，给学生提供了一个新思路，学生对于无理数概念的理解，就如同这个图形的构建，将其简化，有了图形的直观展示，抽象概念不再抽象，学生的思维也不再僵化，而是更加具有形象化意识[2].

再以函数为例，函数的学习一直以来都是初中数学学习活动中较为困难的一个知识点，其困难的原因在于两个方面，一方面是函数具有抽象性，函数对学生抽象能力的考查较为深入，这就导致学生在概念理解上存在一定的困难，另一方面，函数问题中往往涉及了一定的变量关系，对于学生而言，变量关系在题目中具有一定的迷惑作用，容易诱导学生形成错误的思维概念.

而在解决函数问题时，同样可以运用数形结合思想来实现.以实际题目为例，“小红和小王一起相约出去游玩，两人同时从家里出发，在行走约20分钟后，在一个距离出发点900米的桥相遇，小红家中有事，相遇后立刻返回家中，而小王则留在桥边玩了10分钟，随后花费15分钟返回家中.”在这一内容的概述上，教师可以引导学生先通过平面直角坐标系，将涉及两个人的时间、距离之间的关系进行表述，题目相对简单，因此学生在绘制过程中也不存在难度，通过分别绘制小红和小王的出行时间和距离，在平面直角坐标系上就能直观地展示两个人离家的距离和具体的时间关系.这样一来，相对具有迷惑性的文字通过简单的图形就清楚地展示出来了，学生有了形象构建就能够更好地解决问题.通过数形结合思想，学生能够较好地实现举一反三、触类旁通的效果，达到高质量的教学目的[3].

（二）解题能力

数形结合思想不仅能辅助解读文本，对于解题还能够起到关键作用.通过数形结合思想能够有效地规避问题中设置的迷惑点，降低直接思维的难度，校正学生的解题思路与步骤，提高正确率.具体到实际中，以代数的学习为例.

代数的学习过程与上文中提到的无理数的学习、函数的学习相同， 同样都是先形成与代数式相关的图形，然后帮助学生来实现问题的解答.如题目“若直线y =x+h与曲线x=1-y2恰有一个公共点，求h的取值范围.”在这个问题中，学生通过作图，可以清楚地通过图形反馈得知，直线与曲线相切时，h=-2，即得出结论，-2≤h≤1.在整个解答过程中，借助数形结合思想将抽象的题目直接转化为直观的图像.通过观察，学生实现了联想，进而轻松完成了问题的解答.

除了通过图形来帮助学生完成数学内容的解答外，在解题能力的提升上，通过数形结合思想，还能够有效地完成以数解形，即题目给定一个指定图形，并配以一段文字描述提出问题，此时同样可以运用数形结合思想解答，触类旁通，达到简单快速的解题效果[4].

（三）其他数学思想

数学是一个极为庞大的体系，如果说小学数学教学是基础内容的教学，是帮助学生认识数学、了解数学的过程，那么初中数学就是学生初次尝试运用数学逻辑解决数学问题的一个过程，是学生学会“以彼之矛”作为武器来实现学习的有效途径.以著名的鸡兔同笼实验为例，在鸡兔同笼的问题解答过程中，往往都是通过假设，创建一个一元二次的方程组，再通过方程组的计算，得出具体的结论，看似很容易，实则不然[5].学生只会通过一元二次方程来解答问题，或在解答问题时首先选择了一元二次方程组这样的形式，说明在学生的思维空间当中，一元二次方程本身较为简单，且符合题干设计，是学生固化思维的一种体现，教师应当引导学生尝试做出第二种或第三种解题方式，如改为应用二元一次方程组的设置与计算来解决问题，辅以图形，学生就能够得到更加直观的感受.

这里需要强调的内容是如何渗透数形结合思想，即如何调动学生的积极性，让其探索第二种乃至第三种的解题方法[6]，对于学生而言，存在一定的思维惰性，一旦问题得到了解决，就不愿积极地去寻找更加多样的解决思路，这就导致学生的思维存在一定的局限性，在后续教学中，思维水平与实际思维能力要求不符，无法实现更好的教学效果.以此，教师要引导学生，优化渗透方式，强调多元化个性化的解题行为.

（四）核心素养

核心素养是教学活动开展中的一个核心要素，尤其是对于当下的素质教育而言，素质教育改变了应试教育中成绩至上的教育思维，更加注重强调学生的个体能力，但这并不意味着成绩就一文不值，相反，成绩也是检验学生个体能力的重要体现.教师要将核心素养落实到具体的学科当中来，如数学学科，就是在强调培养学生个性化能力的同时，也要培养学生的解题能力、学习技巧方面的能力，促使学生能够综合地，全面地应用数学[7].

数形结合思想在初中数学教学中的渗透，实际上可以看作是对核心素养具体方面的培养过程.因此，在实际教学中，让学生理解和掌握数形结合思想，就成了一个关键的内容.如对于勾股定理的理解.勾股定理是初中阶段较为重要的一个定理，应用频次也很高，如果学生对公式只是死记硬背，那么在面对较为灵活，具有迷惑性的题目时，就很难应用勾股定理来解决问题，相反，如果引入图形的概念来理解定理本身，就能够对定理的推导过程有基础的掌握，也就能够进一步接触到定理的内涵，从而达到高质量学习的目的，这样追本溯源的学习方式，是强化核心素养的一个关键步骤[8].

（五）学习兴趣

总体而言，初中数学要比小学数学的难度更大，除了概念较多较为抽象外，计算量也有了明显提升，而在面对这一问题时，显然兴趣会成为引导学生继续学习的核心动力，如果失去学习兴趣，在学习过程中举步维艰，那么学生很容易在这一阶段产生厌学心理，从而放弃数学学科[9].

而调动学生积极性的关键，就是将复杂的内容简单化，化繁为简，促使学生感到学习上较为轻松，逐步引导学生在学习过程中树立成就感，从而促使学生愿意积极主动的自主探索，当学生自主行动起来时，教学活动的开展就会变得简单又高效.如传统的记忆模式中，数学公式多且复杂，学生容易记混，而利用数形结合思想，学生则能够更为简单直观地对公式进行记忆，并将其与生活实例联系起来，形成高效记忆并避免混乱思维，如华罗庚教授关于数形结合的一首脍炙人口的诗就是数形结合记忆的一种趣味化的真实写照.“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难人微.数形结合百般好，割裂分家万事休.切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫离.[10]”

三、应用策略分析

在数形结合思想实际应用过程中，还需要遵循一定的应用原则与步骤.只有在遵循原则、依据步骤的情况下，才能够最大限度地发挥出数形结合思想的重要价值.

（一）步骤

第一步是导入，在这一阶段就是学生如何通过数形结合思想将图形或数学导入到需要解答的内容当中来.为了更好地实现导入过渡，在教学过程中，教师就要注重对数形结合思想的引导，如在为学生解答关于“绝对值”“正负数”等概念内容时，教师就可以结合数轴进行讲解，并尝试让学生自行在数轴中探索如象限规律等内容，引导学生自主应用数形结合思想，从基础上帮助学生养成良好的学习习惯.导入阶段需要注意的是一定要培养学生具有正确的数形结合思想，很多学生对于数形结合思想的认知不明确，认为数形结合多此一举，在实际应用中比较少，很难将两者有效结合，这就导致在后续解决复杂内容时，无法较好地应用数形结合思想完成有效的学习活动[11].

第二步是在导入的基础上展开的，即正确应用.如方程组如何运用数轴来表示，这对于很多学生而言，最初都是一个难以过渡的过程，如何从生疏到熟练就是这一阶段的关键.具体到实际中可以从两个方面来落实，一方面是从教师的视角来看，教师在教学讲解与问题解答中，就要常常运用数形结合思想来解决问题，另一方面就是从学生的视角出发，教师可以要求学生運用数形结合思想，并保留作图过程，以此来锻炼学生的思维习惯，帮助学生在清晰的思路下逐步熟练应用数形结合思想，最终将其转化为一把“利器”，解决各种“疑难杂症”.

第三步就是升华，数形结合思想的渗透并不是以帮助学生掌握数形结合思想，使其更加高效学习为最终目的，其最终目的是以数形结合思想为基准点，帮助学生了解不同数学内容板块中的联系性，能够自主将其联系起来，逐步熟练地运用已学的知识去尝试推导未知，形成积极探索的学习态势，保持旺盛积极的学习信心，让学生得到整体能力上的提升[12].具体到实际中，如在讲解三角函数这一板块的内容时，教师也可以尝试引入其他图形来引导学生探索分析，通过多内容的组合学习，帮助学生调动已学知识求解未知，学生的思维逐步发散开拓，拥有更加活跃的学习思路，这才是核心素养培养的关键所在，也是良好应用数形结合思想的根本目的.

（二）原则

数形结合思想的三个具体原则在实际应用中很容易被教师及学生忽视，三个原则分别是主动性原则、整体性原则和个性化原则.

主动性原则是指在整个教学过程中，无论是学生还是教师，都应当意识到数形结合思想不是在解决难题时最后选择的“救命稻草”，而应当是在问题分析初期就积极应用的一个常规方法，在遇到问题时，通过分析，先一步主动利用数形结合思想构建图形，分析问题的关键和难点所在，然后运用所学知识，化难为易，解决问题，避免由于思维误区导致的局限.

整体性原则是指在应用数形结合思想时，结合的内容不仅仅是数学和图形，还有相关的知识点、定义、公式等内容，结合过程中要具有整体性，很多学生在应用数形结合思想来解决问题时，仅仅是通过对问题的解决还原出图形，但是没有后续的公式与定义分析套入，导致问题从文字形式变成图形形式，但是本质上没有发生变化，反而浪费了宝贵的做题时间，这一点要尤为注意[13].

最后是个性化原则，数形结合思想固然重要，但并非万能钥匙，并不是所有的数学内容都要应用到数形结合思想，数形结合思想也并非适用于所有的教学环节当中，有的问题本身很直观，无须通过数形结合思想来解决，有的问题则更加复杂，需要运用更加多元化的思维来解答.因此，从整体上看，数形结合思想是具有个性化的，要依据不同情况具体利用，而不是盲目滥用.这一点，也是学生在初期掌握数形结合思想时最容易出现的一点错误，教师要及时地给予纠正，引导学生正确掌握并使用[14].

四、结束语

综上所述，本文主要围绕数形结合思想在初中数学教学中渗透的五个方面，探讨数形结合思想的重要性与应用价值，但在实际教学活动中，需要注意的一点是，数形结合思想并非万能公式，其能够帮助学生较好地理解一部分教学内容，但并非所有的教学内容都能套用数形结合思想，教师只有帮助学生纠正这一错误思维，才能够促使学生更好地实现学习本身，提升能力的同时，也强化自身核心素养.

【参考文献】

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[2]闫宗明.初中数学教学中多种方法的应用分析[J].科学咨询（教育科研），2020（06）：281-282.

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[4]黄美芬.数形结合 并蒂花开：数形结合思想在初中数学教学中的运用[J].科学咨询（教育科研），2020（05）：242-243.

[5]邓夥.关于数学思想方法及教学策略的研究[J].中外企业家，2020（14）：210.

[6]许晓萍.浅谈初中数学核心素养的培养策略[J].科技风，2020（11）：87-88.

[7]张小龙.现代信息技术与初中数学教学的整合[J].科学咨询（教育科研），2020（04）：161-162.

[8]茍玉梅.浅议数学教学中的顿悟[J].科技资讯，2020（09）：187-188.

[9]贾广旭.初中数学数形结合思想教学研究与案例解析[J].科技资讯，2020（08）：127-129.

[10]孔维权.试析丰富初中数学课堂、创新初中数学教学方法[J].才智，2020（06）：199.

[11]罗红蔓.试论在初中教学中如何培养学生的数学探索能力[J].才智，2020（06）：202.

[12]林妙容.“解决问题”教学中有效利用数形结合思想[J].才智，2020（05）：190.

[13]张海生.在数学学习中感悟数学思想例谈[J].华夏教师，2020（04）：50-51.

[14]陈耿.如何让初中数学教学彰显“数学味”[J].西部素质教育，2020（02）：236-249.