结构不良数学问题的特征、应用及教学逻辑

刘海龙 徐辉 傅海伦T

摘   要

在数学素养逐渐成为中学数学教学与测评核心目标的背景下，辨析了结构不良数学问题的特征，给出了结构不良数学问题在近年高考全国卷的表现，并结合结构不良数学问题的素养测评效能评析，进而提出解决结构不良数学问题的教学策略和建议。在数学测评中合理设计运用结构不良问题，能够诱导出反映学生数学知能水平的关键行为表现，是数学教学和测评实现素养导向的可行和有效途径。

关键词

高考  结构不良问题  问题解决模式  数学核心素养

2019年12月，教育部考试中心正式发布了“一体四层四翼”的高考评价体系，在高中课程标准数学学科核心素养的基础上提出了高考考查的数学学科素养——理性思维、数学应用、数学探索和数学文化[1]，完善了中学数学教育评价体系的关键一环。近年来，在课程标准与高考评价体系的指引下，高考命题以素养为导向[2]，创新运用了多种新题型，结构不良问题是其中重要的一类[3]。

一、结构不良数学问题的特征

对于特定的学习者而言，结构良好问题与结构不良问题是属性相互对立的两类问题，前者是问题的初始状态、目标状态、解决问题的模式（算子）三者都清晰明确的问题，而后者则是上述三种要素至少有一个没有明确界定的问题[4]。

有关结构良好的问题，常见于我们的学科课程之中，例如求解一元二次方程x2-x-1=0。这个问题的初始状态、目标状态以及解决问题的模式对于初中学生来说都是明确的，学生只要掌握必需的知识，运用一定的操作程序即可求得正确的答案，问题解决过程和答案都是稳定的。而有关结构不良问题，常源于实际生活，而且学生在未来生活中遇到的问题多数是结构不良的，例如“病毒的传播机制问题”。要解决这个问题，需要掌握一定的数学分析、微分方程、概率、统计等知识技能，在大量的医学和社会学调查的基础上，提出合理的病毒传播的数学模型假设，在解释和运用模型过程中，评估所建构的模型对实际情况的估计和推断的准确性[5]，并不断对模型进行调整，以求得到对未来病毒传播的更加准确的预判。结构良好问题和结构不良问题的特征见表1。

对于解决结构不良的数学问题，需要重构问题给出的信息，对问题进行充分的表征和分析，探寻问题解决的路径，树立评价意识，要随时对解题路径的设计规划、解题操作、最终效果进行评估。在这个过程中，学生既是一名问题解决方案的设计者，也是一个问题解决的操作者。应用场景多元、思考方式多元、解决方法多元、结论多元、评价多元，决定了合理运用结构不良问题，对学生的数学问题解决模式的学习、认知与元认知能力提升、数学核心素养的提升、创造性才能的培养都是十分有利的。特别是在大规模数学考试中运用的结构不良问题，能发挥出许多结构良好问题所不具备的优势，更为深入地评价学生在问题解决过程中的判断能力、思辨能力、创新能力、探究能力，促进学生形成应对未来的生活和挑战的数学素养。

二、结构不良数学问题在高考全国卷中的应用

在数学考试测评中设计和运用的结构不良问题，首先，综合考虑考试与测量评价目标的要求。问题必须在课程标准、考试评价体系所确定的框架内设计开发，以测量评价学生数学能力为目的，在知识、技能、素养、价值观等各维度均有明确的测量目标，对于数学教学具有启示和导向的价值。其次，创设的问题需要贴近学生的社会认知，与学生的学科知能素养水平相符，能让多数学生在一定时间内完成或部分完成试题，并可以通过考生的作答来判断和鉴别考生在数学知识、技能、素养上的差异。为使结构不良问题在数学考试中起到较好的测评效用，问题的规模不能太大，要控制问题发散的程度，可在问题初始状态、目标状态和问题解决模式这三个要素中，局部加入不确定性，使问题呈现结构不良的属性，以满足在有限时间内实现对学生数学水平考查的要求。

1.初始状态和最终状态不明晰的结构不良数学问题

结构不良问题可以采取条件开放或结论开放的形式构建，为问题的初始状态和最终状态呈现不确定性。例如，2020年新高考全国卷第17题：

试题设计了三个开放性的可选择的条件，导致问题的结论同样是开放的。学生可以比较容易地初步确定问题解决的方案，那就是先从问题已固化的条件出发，进一步挖掘信息，初步化归条件，然后结合已有的知识和经验，观察已知条件与待选条件之间是否存在有利的联结，进而解出三角形，或者判定三角形不存在。这种方案的选择大概率源于学生平日注重提升解题效率、尋求最优化的解题方法的训练，因为大多数学生潜意识里会认为，不同的条件可能会对应不同的计算难度和计算量，通过解出三角形得到有解的结论会要比判定三角形无解来说更为有利。

正弦、余弦定理的运用模式和化归，是解决这个问题的首要的必备知识和关键能力。首先，已固化的条件sinA= sinB是两个角的关系，而未固化的条件中则有两个边边关系、一个边角关系可选择，所以，通过运用正弦定理将两个角的关系转化为边边关系a= b，是学生容易想到的操作。得到这个关系后，最容易观察到的就是可以结合条件③c=b，得到a=c= b，从而初步判断此三角形是B=120°，A=C=30°的等腰三角形。而此后可以通过判断sinA≠ sinB与题设矛盾而得到三角形不存在的结论，也会有相当多的学生在后续解三角形过程中发现方程无解，才得以证明三角形并不存在。实际上，问题结合条件③后，只给出了等腰三角形的腰和底边的比例以及底角，假如符合条件的三角形存在的话，将会是无数个相似的三角形，也并不能求出的c值。

当然，此问题的解决模式远远不止上述几种，但实际上各种模式之间没有优劣之分，只是体现了不同学生的思维特征和习惯的差异，涉及的计算量和思维含量相近，不论选择什么路径解决问题对学生来说都是公平的。

这道典型的结构不良试题，立意于素养导向，立足于对必备知识和关键能力的考查，体现了方程思想和化归思想的运用，实现了基础性、综合性、应用性、创新性的统一。试题通过构造不明晰的问题初始状态和最终状态，增强但又合理限制了试题的开放性，为学生的作答提供了充分的反应空间，体现了探究性和问题解决模式的自主建构，是传统的结构良好的问题较难实现的。考生不仅仅要解决问题，还要设计解决问题的方案和路径，预设各种可能性并思考应对的方法，并随着问题解决的推进，时刻评估解题操作成功的可能性。

2.问题解决模式不明晰的结构不良数学问题

高考试题在创制时，问题的初始状态虽然以学生熟悉的内容为基础，但常立足于知识交汇，体现数学思维的创新。当知识的联结和解题模式超出学生既有的经验时，解决问题的操作模式就会变得模糊和不确定，需要学生创造性地建构解题路径，探寻解题的方法。例如，2020全国新课标I卷（理科）第12题：

若2a+log2a=4b+2log4b，则

A.a>2b     B.a<2b     C.a>b2    D.a

问题给出的条件方程和目标状态都是明确的，但显然不可能通过解方程或赋值法找到答案，问题的解决模式需要进一步探寻。学生比较容易想到的是将指数式和对数式分离，并且调整指数式和对数式的底数进行化归，从而找到问题解决的契机。即由条件得2a-22b=log2b-log2a=log2（b/a），（a>0，b>0）。经此操作，既在等式左侧构造出了与A、B选项相关的差式，又可以进一步通过对数运算化简等式右侧。此时，问题解决的模式已经明晰起来，即要想比较两个指数式的大小，实际上就是要讨论a与b的大小关系：

（1）当a>b时，log2（b/a）<0，则b

（2）当a0，则a>2b，矛盾;

（3）当a=b时，log2（b/a）=0，则a=b=0，矛盾。综上，a<2b。

这个问题，是以指、对数运算和指、对数函数的性质等必备知识为基，以化归、分类讨论、数形结合的数学思想为引，构造的问题解决模式不明晰的结构不良问题，体现了对数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养的考查，对学生的理性思维和数学探索能力提出了较高的要求。

这个问题的解决过程，凸显了迁移运用和创新建构问題解决模式的重要性。当学生自身的认知和经验中不存在解决此类问题的模式，或没有发现自己掌握的模式能够解决这个问题的时候，朴素的化归思想会最先发挥作用，学生常对问题初始状态和目标状态进行转化，拉近二者之间的距离。在这之后，学生或者能观察探究到某种关系，然后发现新的问题和已经掌握的操作模式是相同的，从而实现方法的迁移，并最终解决问题;也可能设计的路径无法解决问题，则需要重新进行转化以建构新的操作模式。如果学生能将掌握的概念、性质、方法进行联结，能够为问题解决建构起新的认知结构，或者顺利实现了方法的迁移运用，也就意味着学生具备了突破结构不良问题的核心能力，反映出学生具有较好的数学素养和随机应变的能力。

3.综合性的结构不良数学问题

综合性的结构不良问题，常来源于现实生活情境，问题的信息、解决模式和最终结论都具有不同程度的开放性和不确定性。例如2019年理科数学全国I卷第4题：

古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（ -1）/2≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是（ -1）/2。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（    ）。

A.165cm    B.175cm    C.185cm    D.190cm

题目使用了语言叙述的方式给出了包括人体部位的长度、比例等关联复杂的信息，这种信息呈现的方式显然是不够直观的，不利于问题的分析和解决。从以往的经验看，审题时反复阅读文本，并进行划线标记等单纯的强化记忆的操作并不能有效帮助学生理解题意。而数学模型素养较好的学生，通常能很快地与试题信息展开互动，对信息进行选择、重构和解释，进而将信息表征为可以直接用于问题解决的、直观且便于操作的形式，比如图形和图表。

有图1作支撑，试题条件的深层次的不良结构也会随之显现，即长度测量的定义不一致。面对这种不确定性，学生容易陷入建立方程模型求值的思维定式而产生困惑：“头顶至咽喉的长度”是否等于“头顶至脖子下端长度”，“肚脐至足底的长度”是否等于“腿长”，所给的条件是否是冗余的等等。而能否综合不一致的定义、双重条件、模糊的设问表述等复杂情况，利用条件中的“不相等”关系，建立不等式模型，则是找到解题路径的关键。这个建模的过程既是对学生的数学模型素养的考验，也是对学生的意志品质、心理素质与临场应变能力的考验。

在解模过程中需要不断评估和调整操作方案：是否需要两个不等式都要解？如果只解一个就能做出判断的话，选择先解哪个更简便？考虑黄金分割比的根式和数字形式中哪一种更有利于运算？考虑是否可能通过估算来简化运算，必须使用0.618吗？使用0.62或使用0.6进行估算，所得到的数值是否会影响到答案的选择？此过程需要学生预设解运算过程中可能会遇到的问题，在运算前思考，在运算中评估和调整，以获得更加优化的解决方案，对学生的元认知水平提出了考验。

“维纳斯”一题综合体现了结构不良问题的特征，它的初始状态和目标状态是模糊的，解决问题所涉及的原理和方法也并不容易确定，随着分析的推进，需要不断做出新的评估和选择，对学生的意志力和随机应变能力提出了较高的要求。因此，试题才能够综合体现理性思维、数学应用、数学探索、数学文化的高考素养考查目标，全方位考查学生的信息加工重构能力、问题表征能力、数学建模素养、解题策略监控与调整能力等复杂的认知与元认知能力[7]，凸显数学测评的素养导向。

三、解决结构不良数学问题的教学逻辑

1.构建对结构不良数学问题的正确认知

设计并运用结构不良数学问题，以培养学生发现问题、辨析概念、构建联结和假设验证等解决问题的能力[8]，对于面向素养的数学教学与测评是一种必然。因而，教师亟需充分了解数学结构不良问题的特征，在课堂教学、考试测评、研究性学习等不同场景中尝试开发和运用结构不良问题，分析评价结构不良问题对培养学生数学核心素养的效用，为学生提供更为灵活的数学学习实践机会，在促使学生从一个被动的信息加工者变成一个主动的问题解决者的同时[9]，促成自身的数学教学价值观从单纯关注学生的知识结构向关注核心素养提升转变。

2.重视必备知识、关键能力的教学

结构不良的数学问题并不是脱离知识和能力框架的问题，而是以落实数学基本概念和方法的掌握为目标设计的、具有创新结构的问题。结构不良问题的解决不存在捷径，学生只有掌握了扎实的数学基础知识和熟练的数学技能，知识、能力和核心素养才能有机协同地发挥作用，不同知识、方法之间才能产生新的综合性的联结，促进问题解决能力的形成和提升。所以，教师的教学应以提升学生数学素养为引导，耐心帮助和鼓励学生落实对基础知识的理解和基本技能的训练，逐步积累问题解决经验，发展学生解决实际问题的能力。

3.帮助学生建构自主探究解决问题的空间

为了让学生真正形成有助于应对未来生活的数学素养，教师应借助结构不良问题的教学，帮助学生建构自主探究解决问题的空间。在学生尚未获取应对结构不良问题的经验之前，教师的任務是为学生构建好最近发展区，将学生解决问题所需要的必备知识和关键能力提升到位。这些预备性的知识技能和方法作为解决问题的支架，在学生开始尝试解决结构不良问题时会起到关键作用。但随着学生解决问题的经验越来越丰富，教师就应该尝试减少教学过程中的干预，从一开始的启发式教学，转向逐步放手的项目式教学。教师应指导学生自主设计问题解决的方案，大胆地将知识准备、信息的处理加工、问题的重构与表征、问题目标的确定、知识间的联结、方法的类比与迁移、解题策略的评价、解题操作的监控等学习任务交由学生完成。在这个过程中，教师要给学生提供有必要的支撑，而非无原则的铺垫，要帮助学生认识解决问题过程存在障碍的原因，引导学生自主监控、评价、和调整。只有在此种能够更加灵活地进行辨析、建构、迁移运用的学习空间里，学生的高阶数学思维能力才能形成。当学生脱离了既有的模式和经验之后，面对新情境新问题，仍然可以运用数学思维和方法，在独立思考的基础上发现问题、表征问题和求解问题，则标志着数学素养的最终形成。

参考文献

[1] 任子朝，赵轩. 基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径[J].中国考试，2019（12）：27-32.

[2] 任子朝.从能力立意到素养导向[J].中学数学教学参考，2018（05）：1.

[3]任子朝，赵轩.数学考试中的结构不良问题研究[J].数学通报，2020，59（02）：1-3.

[4] Reitman W R.Cognition and Thought：An Information Processing Model[M].Wiley，1965：312.

[5] 姜启源.数学模型[M].第2版.北京：高等教育出版社，1987：48-52.

[6] Jonassen，D.H.Instructional design mode for well-structured and ill-structured problem-solving learning outcomes[J]. Educational Technology Research and Development，1997（01），65-95.

[7] 李同吉，吴庆麟.论解决结构不良问题的能力及其培养[J].华东师范大学学报，2006，24（01）：63-68.

[8] 王尚志.如何在数学教育中提升学生的数学核心素养[J].中国教师，2016（09）：33-38.

[9] 鲁志鲲，申继亮.结构不良问题解决及其教学涵义[J].中国教育学刊，2004（01）：47-50+57.

【责任编辑  郭振玲】