初中数学抽象的要义与培养关键点

摘   要

数学抽象是指从空间形式与数量关系中得到数学研究对象的思维过程。初中学生数学抽象一般要借助数学直观而达成，发展初中数学抽象有利于实现数学学科育人以及回归数学学科本位。初中数学抽象的培养关键点包括：情境创设，即从生活情境走向数学情境;深度学习，即从循环类比走向结构生成;实践体验，即从系统关联走向综合解决。

关键词

数学抽象  学科育人  情境创设  深度学习

数学抽象是指在研究空间形式与数量关系的过程中，抽离出本质的特征及属性，而舍弃其他非本质的特征或属性的思维过程，包括从复杂的图形与数量关系中抽离出一般性的规律和结构，并进一步用数学语言予以规范表征。数学抽象一直贯穿于数学的产生与发展，作为数学概念形成的必要手段和内隐的思维品质，是形成理性思维极其重要的基础，也成为初中数学六大关键能力[1]中的“首席”。

初中阶段学生数学抽象的培养是一个循序渐进的过程，但在实际教学中往往会面临着如下现象：一是很多教师教法相对传统单一，注重知识结论，但缺乏经历数学概念的完整抽象过程;二是很多数学教师认同数学抽象的重要性，但对具体如何培养学生数学抽象却不甚了解。因此，有必要对初中阶段数学抽象的要义及培养关键点等予以探讨。

一、初中数学抽象的要义

数学究其本质研究的是抽象的元素，柏拉图时期，西方已开始明确把数学概念看作抽象物，在研究哲学范畴时，将抽象观念作为数学思想融入其中，他们关心方法论中的推理过程，推崇以演绎得到知识，亚里斯多德则在奠定数学推理系统化、规范化的基础上创立逻辑学，而欧几里得的《原本》则当之无愧地成为数学公理化抽象和推理证明的巅峰之作。一般而言，数学抽象可分为弱抽象（即在原型中只选取某一重要特征予以抽象，导致原型内涵减弱）、强抽象（即将新的特征引入原型，加强原型内涵）、构象化抽象（即在数学逻辑发展中，根据需要构造出原型之外的理想化的数学对象）、公理化抽象（即基于数学理论体系和谐统一的需要，构造出完全理想化的新公理）。北师大林崇德教授认为，数学抽象的内涵是指思维过程中舍去一切物理属性，得到数学研究对象[2]。东北师大史宁中教授提出与数学抽象有关的两个阶段理论，认为第一步抽象建立在经验直观上，第二步抽象建立在对象表达符号化以及论证过程形式化之上[3]。而随着现代脑科学的研究发展，人们的认识逐步趋向一致，即抽象的本质是人脑神经细胞集群对空间信息与数量关系的简约化的激活反应，其一般步骤为：分离本质属性并建构模型——概括特征并一般化——定义并符号化——系统与集成化。

初中学生数学抽象是伴随着其数感和符号意识[4]的发展而逐步提升的，此阶段的数学抽象必然需大量借助“数学直观”而实现。江苏省教育厅基于义务教育质量监测进行跟进式分析，研究表明，初中生数学抽象发展水平分布呈“橄榄球状”，即学生在数学抽象方面达到A水平（最高水平）的只约占四分之一，处于D水平（最低水平）的人数是4%，显然处于中等B水平与C水平的比例偏大，呈现“两头少中间多”的分布特点。初中生数学抽象的发展还存在较为明显的区域性差异，大多数乡村学生数学抽象发展整体水平明显落后于城区学生。

二、初中数学抽象的育人价值

1.为实现数学学科育人奠定了重要基础

“数学抽象”位居初中数学六大关键能力之首，是初中数学学习的总“阀门”，在提升数学核心素养、落实数学学科育人目标中起到核心作用。但研究表明，初中生数学抽象高水平发展的人数比例相对偏低，因此必须发展学生数学抽象能力，以便能更好地发挥数学在培养学生理性思维以及加强学生创新能力方面的不可或缺的作用，从而对于提高数学学科整体育人质量具有决定性的意义。

2.为回归数学学科本位提供了基本保证

中共中央、国务院在《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》中明确指出，要引导教师依据学科特点，深刻理解知识结构与思想方法。要根据不同年龄阶段和认知基础，科学把握学生认知规律，促进学生思维发展，培养认知能力。意见特别强调课堂主阵地作用，要求注重启发式、探究式、互动式，优化教学方式[5]。因此，发展数学抽象既是遵循教学规律的体现，更是回归数学学科本位的必然要求。

三、初中数学抽象的培养关键点

初中数学抽象的具体表现为：感悟现实生活中数的意义，估计运算结果;用符号表示数、数量关系和变化规律;从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念;借助符号进行运算和推理，抽象出一般规律和结构。而要确保实现上述目标，则必须抓住培养关键点。

1.在情境创设中介入抽象

初中数学课堂往往通过情境创设开启新知诱发，其成功与否会直接影响到整节课的效果。情境创设需要体现数学学科特点与内容特点，遵循数学学习认知规律，符合学生的年龄特征、学情基础和活动经验，更应多从生活情境向数学情境过渡，搭建由直观到抽象的桥梁，以促使学生更为积极主动地投入于数学学习中，取得事半功倍之效。

案例一  勾股定理的引入教學

生活情境引入举例：一艘轮船以16海里/时的速度离开某港口向正东方向航行，同时另一艘轮船也从该港口以12海里/时的速度向正北方向航行，一小时后两船相距多远？

学生很快画出示意图，但显然看似简单明了却又不知如何求出两船距离，其参与意识很快从潜伏状态上升到活跃状态。

数学情境引入举例：在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边。

（1）若△ABC为一般三角形，则a，b，c有怎样的数量关系？

（2）若∠B=∠C，则a，b，c有怎样的数量关系？

（3）若∠A=∠B=∠C，则a，b，c有怎样的数量关系？

思考：在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，那么a，b，c又有怎样的数量关系？

从一般三角形到特殊三角形，通过角的关系转化为三边之间的数量关系，直接引发对直角三角形三边数量关系的思考探索，凸显数形结合即用代数思想解决几何问题的探求欲望。

两类引入设计异曲同工，可根据学生原有抽象素养基础灵活选用，也可结合运用，而一般通过数学情境引入，可更迅捷地建立起数学知识间的联系，更有效的通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的本质属性。

2.在深度学习中发展抽象

数学抽象需要学生在理解的基础上，学会批判性地接受新的数学事实和思想，并融会贯通纳入自身认知结构中[6]，这也正是数学深度学习的真谛所在。对于数学概念和原理，在教学中可依据其形成背景，在借助直观模型或数学情境的同时，多给予学生深入理解的时间和空间，让学生经历观察、动手操作、计算、猜测、验证、类比等数学活动，循环加深理解。特别是重要数学概念，更应从问题的不同层次入手，通过问题思维链的设置，明确研究对象，构建新旧知识间的联系，重组已有认知结构，不断生成、转换，形成新的认知体系。

案例二  函数概念的生成

函数作为中学数学的核心内容之一，其定义是从集合、映射的观点出发，这对于初中学生来说显然过于抽象。以人教版八年级下册教材“19.1变量与函数”为例，可施行单元整体教学，即将“变量”与“函数的概念”两个小节合二为一，让学生通过多个不同类型的实例，明确常量与变量，并对变量之间的关系进行探究。函数作为一个核心概念，其关键内涵是“一个变化过程，两个变量间的唯一对应关系（即单值对应）”。在初中阶段，为了能更好引导学生接受这一抽象概念，可通过多个问题关系的“发现”，给学生直观地呈现出问题反映的共同特质，一是反映了不同事物的变化过程，二是在变化过程中都有两个变量，并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定一个值。这样，学生在对变量之间的关系进行深度理解中充分感知变量和函数的存在与意义，体会变量之间的相互依存关系和变化规律，最终逐步建构生成函数概念。

在深度学习中发展抽象，需将教师的相机引领和学生的深思顿悟有机结合起来，努力营造宽松、合作、协商的学习氛围，对学生暴露出的思维不足或错误以及不同见解予以宽容与理解，能针对课堂上有意义且易于发散的内容进行互动。这种互动不是师生间机械的问答，也不是学生间形式上的分组讲话，而是教师在紧紧围绕教学目标开展的教学过程中“学生积极的思维活动”和“有意义的内容生成”这两个方面的互动。而这主要取决于课堂问题的恰当驱动，当合适的问题环环相扣、步步深入，成为教学环节进程的助推剂，“积极思考”与“知识生成”也就顺理成章的贯穿于教学进程始终了。初中数学知识必须与学生的经验世界以及现实生活紧密联系起来，这样的课堂才会变得鲜活而有亲和力，知识不再抽象而陌生。

3.在实践体验中强化抽象

在新课程理念的倡导下，义务教育阶段数学教材的编排多采用“螺旋上升”的做法，即将相关领域分成几个阶段，先学一段，转学其他领域内容，待一学期甚至更久后，再学下一段相关内容。这样的编排给如何确保数学抽象的延续性以及知识体系的完整性、紧密性带来了一定挑战，因为从遗忘理论来看，前一阶段的学习内容经过几个月之后必然发生严重的记忆衰退，而且多个领域的内容交错学习易引起相互抑制。这就要求教师必须熟悉整个阶段数学教材体系，能够在宏观上把握、关注到教材的前后关联性、连贯化。例如研究一元一次不等式，必然要与前一阶段所学的一元一次方程、二元一次方程组，以及后续的一次函数等知识点结合起来，让多个重要的“一次”在学生头脑中形成关联，通过“抽象”加深“印象”，建立起牢固的对应关系。再如在数据统计领域，从问题呈现到数据的收集、整理、描述、分析，再到解决问题、统计思想，都须引领学生建立完整的思维链，真正做到融会贯通、得心应手[7]。

在数学教学中应要求学生及时按领域、类型等梳理知识，巩固“抽象”成果，总结数学活动经验，归纳数学研究方法，提炼数学思想，系统把握数学对象的关联性与本质特征，进而引领学生进行较高层次的心智活动，包括对数学问题进行审读、分析、尝试解决、评价决策，最终提升数学关键能力。

四、对初中数学抽象的感悟

1.择机而动，在具象与抽象间把握契机

作为人类认识客观世界的阶梯，具象无疑为学习者提供了充分的想象基礎与空间，是事物多方面属性、特点、关系的统一;而抽象则从具体事物中抽取出相对独立的各个方面、属性、关系。两者在我们的认识中互相联系和转化。初中阶段学生的认知水平正开始摆脱初级的、感性的具体认识，逐步迈向高级的、理性的抽象认识。而影响这一进程能否顺畅的重要因素之一就是教师的引领是否适切，即需要教师妥善理智地处理好具象与抽象二者间的平衡，在兼顾到初中数学课程基础性与普及性的前提下把握契机，切实依据教学内容的难易度与学生的学情基础，扣准最近发展区。

2.提纲挈领，在合情与逻辑中涵育素养

核心素养作为学习个体在与各类情境有效互动中所体现出的价值追求、方法策略及行为品格，其形成与提升是一个长期而艰难的过程。与此相应，数学抽象伴随着推理能力的形成和提高也是一个循序渐进的过程，贯穿于数学教学的始终。在初中阶段，教师应更注重学生思维的条理性，既要通过学生活动和体验发现规律、猜测结论，发展合情推理能力，也要逐步引导学生通过演绎推理确认抽象的结论。初中数学教学，应有效改善教学生态，引导学生从纷繁复杂的各类问题、信息中抽丝剥茧，提纲挈领，抓住本质，锤炼抽象思维，提升抽象素养。

参考文献

[1] 董林伟.初中生数学关键能力的发展状况——基于2018年江苏省义务教育学生学业质量监测数据的分析[J].教育研究与评论（中学教育教学），2019（7）：5-17.

[2] 林崇德.21世纪学生发展核心素养研究[M].北京：北京师范大学出版社，2016：29.

[3] 史宁中.数学思想概论·数与数量关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2008.

[4] 郑毓信.“数感”“符号感”与其它——《课程标准》大家谈[J].数学教育学报，2002（8）：30-32

[5] 中共中央国务院.关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见[S].北京：人民出版社，2019.

[6] 吴小兵.结构化视角下数学深度学习的实践探究[J].教学与管理，2020（4）：53-55.

[7] 吴小兵.初中数学课堂教学的20个细节[M].南京：南京师范大学出版社，2016.

【责任编辑  郭振玲】