Boussinesq 方程行波解的存在性

徐园芬，章丽娜

（1.浙江万里学院基础学院，浙江宁波 315100；2.湖州师范学院理学院，浙江湖州 313000）

0 引 言

用于描述重力下浅水长波的传播、一维非线性晶格中长波的传播以及非线性弦中长波传播的不适定Boussinesq 方程[1]

文献［2］应用滤波和正规化技巧，得到了式（1）的六阶Boussinesq 方程[1]

其中，ε为小参数；文献［3］获得了六阶Boussinesq 方程弱的非局部孤立波解；文献［4］对式（2）进行了分析和数值研究。目前尚未见与式（2）的行波系统动力学行为研究相关的报道。本文将利用平面动力系统方法的分支理论［5-13］，研究式（2）在不同参数下的精确行波解，旨在获得与Boussinesq 方程相对应的行波系统的相图分支，证实Boussinesq 方程存在孤立波解和周期波解。

1 与Boussinesq 方程相对应的行波方程

为研究式（2）的行波解，做以下变换：

其中，c为波速。将式（3）代入式（2），并关于ξ积分4次，取积分常数为零，化简后得

式（4）等价于以下行波系统：

式（5）的首次积分为

下面将通过定性分析，得到式（5）的相图分支。

2 行波系统的相图分支

为分析行波系统式（5）的平衡点类型，令

易得函数f(φ)的图像，见图1。

图1 f (φ)的图像Fig.1 The graphs of the function f (φ)

由图1 可知，当|c|＞c*时，式（5）有4 个平衡点，分 别 为(φ1，0)，(φ2，0)，(φ3，0)和(0，0)，其 中φ1＜0 ＜φ2＜φ3；当|c|=c*时，式（5）有3 个平衡点，分别 为(φ1，0)，(φ2，0)和(0，0)，其 中φ1＜0 ＜φ2；当|c| ＜c*时，式（5）有2 个平衡 点，分别为(φ1，0)和(0，0)，其中φ1＜0。令λ(φ*，y)为式（5）的线性系统特征值，则

由平面动力系统理论及式（7）可知，f′(φ*)的符号和平衡点(φ*，0)的位置共同决定平衡点(φ*，0)的类型（如鞍点、中心及退化奇点等）。进一步，可得式（5）的相图分支，如图2 所示。

3 行波解的精确参数表达式

图2 式（5）的相图分支Fig.2 The bifurcation of phase portraits of formula（5）

由式（5）及其首次积分式（6），可得式（2）的某些行波解的精确参数表达式。在求解过程中将用到sn(ω，k)，cn(ω，k)，sd(ω，k)等椭圆函数以及勒让德椭圆积分

为叙述方便，将式（6）H(φ，y)=h记为

由式（6）可得

由式（5）的第1 个方程，可得

显然，对一般的h，无法用式（9）求得行波解的精确参数表达式，因为G(φ)为五次多项式且式（9）右端为超椭圆积分。取c=2（如图2（c）所示），有h3＜0 ＜h1＜h2，当h=0 时，式（5）为由H(φ，y)=h定义的一条周期轨道。式（8）可写为

其中，r3＜r2＜φ＜r1。由式（5）的第1 个方程得

于是式（5）的周期波解为

其中，ω为参数，

在 图2（a）和（b）中，当h=0 时，式（5）为 由H(φ，y)=h定义的一条开轨道，式（8）变为

由式（5）的第1 个方程，得到式（2）的行波解参数：

其中，ω为参数，A2=(b1−r)2+a21，

4 孤立波解和周期波解的存在性

有以下结论：

定 理1当|c| ≤c*时（如 图2（a）和（b）所示），有

（ⅰ）当h=h1时，水平曲线H(φ，y)=h为一条同宿轨道，式（2）存在峰形光滑孤立波解；

在历史教师看来，他所讲述的历史—故事既无用，又有用。无用之处在于，历史似乎总是在原地打转，历史的经验并不能为后人提供避免犯错的借鉴。有用之处在于，对历史的探究、编造和解释本身就是人之所以为人的组成部分；对历史的好奇心，就是对自我的好奇心；对历史的探究就是对自我的探究。所以人类要一次又一次地讲述故事，讲述自我。“生命中包含了太多的空白。我们身体里十分之一是有机的生理组织，十分之九是水；生活是十分之一的‘此时此地’，十分之九的历史课。”[2]54

（ⅱ）当0 ＜h＜h1时，水 平 曲 线H(φ，y)=h有一族周期轨道，式（2）存在一族光滑周期波解。

定理2当c*＜|c| ≤c**时（如图2（c）所示），有0 ＜h1≤h3＜h2，则

（ⅰ）当h=h1和h=h2时，水平曲线H(φ，y)=h均为一条同宿轨道，式（2）均存在峰形光滑孤立波解；

（ⅱ）当0 ＜h＜h1和h3＜h＜h2时，水 平 曲 线H(φ，y)=h均有一族周期轨道，式（2）均存在一族光滑周期波解。

定理3当c**＜|c| ＜c***时（如图2（c）所示），有0 ＜h3＜h1＜h2，则

（ⅰ）当h=h1时，水平曲线H(φ，y)=h为周期轨道和同宿轨道，式（2）存在光滑周期波解和峰形光滑孤立波解；

（ⅱ）当h=h2时，水平曲线H(φ，y)=h为一条同宿轨道，式（2）存在峰形光滑孤立波解；

（ⅲ）当h=h3时，水平曲线H(φ，y)=h为周期轨道，式（2）存在光滑周期波解；

（ⅳ）当0 ＜h＜h3和h1＜h＜h2时，水 平 曲 线H(φ，y)=h均有一族周期轨道，式（2）均存在一族光滑周期波解；

（ⅴ）当h3＜h＜h1时，水平曲线H(φ，y)=h有2 族周期轨道，式（2）存在2 族光滑周期波解。

定理4当|c|＞c***时（如图2（c）所示），有h3＜0 ＜h1＜h2，则

（ⅰ）当h=h1时，水平曲线H(φ，y)=h为周期轨道和同宿轨道，式（2）存在光滑周期波解和峰形光滑孤立波解；

（ⅱ）当h=h2时，水平曲线H(φ，y)=h为同宿轨道，式（2）存在峰形光滑孤立波解；

（ⅲ）当h3＜h＜0 和h1＜h＜h2时，水平曲线H(φ，y)=h均有一族周期轨道，式（2）均存在一族光滑周期波解；

（ⅳ）当0 ＜h＜h1时，水平曲线H(φ，y)=h有2 族周期轨道，式（2）存在2 族光滑周期波解。

5 结 论

应用平面动力系统方法，得到式（5）随波速c改变的相图分支，当h=0 时，获得了六阶Boussinesq方程的光滑周期波解的精确参数表达式，当h≠0时，在不同波速下，证实了式（2）存在孤立波解和周期波解，且小参数ε的变化，不会改变孤立波解和周期波解的存在。获得了光滑周期波解的精确参数表达式，证实了Boussinesq 方程存在孤立波解和周期波解。

以上结果对实验观察该模型的波动现象具有较好的指导作用。