具有阶段结构的SIS型传染病模型的动力学性质*
2022-08-11刘晗嫣谢景力
刘晗嫣，谢景力，舒 晴
(吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 416000)
捕食者-食饵模型是种群动力学中的重要模型，不管是捕食者种群还是食饵种群均容易受外界因素影响，如疾病、阶段结构、恐惧因子和避难所等[1-3].近年来，学者们偏向于将不同的影响因素结合起来，分析各个因素对捕食者-食饵模型的综合影响.例如，杨鑫等[4-6]研究了具有阶段结构的单一种群传染病模型，刘芳等[7-11]研究了具有阶段结构或SIS型传染病的捕食者-食饵模型.笔者拟在捕食者-食饵模型中引入疾病和阶段结构[9]，并分析Beddington-DeAngelis型功能反应对新模型的动力学性质的影响.
1 模型的建立
假设食饵和捕食者种群的自然死亡率不受外界因素的影响，仅成年捕食者有捕获能力，建立如下捕食者-食饵模型:
(1)
其中:S(易感者)和I(染病者)为食饵种群；X和Y分别表示捕食者种群的幼年和成年阶段；q为食饵种群的自然增长率；n和m分别为捕食者和食饵种群的自然死亡率；γ表示染病率；μ表示食饵染病的死亡率；g表示捕食者幼年到成年的转化率；λ1，λ2分别表示成年捕食者捕获未染病食饵和染病食饵的转换率，0<λ1<1,0<λ2<1.模型(1)中所有参数均为正数.S，I，X，Y满足如下初始条件:
S(0)=S0≥0,I(0)=I0≥0,X(0)=X0≥0,Y(0)=Y0≥0.
(2)
捕食者和食饵相互作用流程如图1所示.
图1 捕食者和食饵相互作用流程Fig. 1 Flow Chart of Predator-Prey Interaction
2 正解的存在性和解的有界性
定理1对于系统(1)，在初始条件(2)下，正解存在.
证明对于系统(1)，在初始条件(2)下，对于∀t>0，有
即正解存在.证毕.
定理2对于系统(1)，在初始条件(2)下，解是一致有界的.
证明令h(t)=S(t)+I(t)+X(t)+Y(t)，则
q(S+I)-mS-(μ+m)I-nX-nY≤q(S+I)-θk,
其中k=min{1,m,μ+m,n}，θ∶=S+I+X+Y，于是
由常数变易法，可得
3 平衡点的存在性
对于系统(1)，存在零平衡点E0=(0,0,0,0)，当q=m时边界平衡点E1=(1,0,0,0)存在.
边界平衡点E2=(S2,I2,0,0),E3=(S3,0,X3,Y3)和正平衡点E*=(S*,I*,X*,Y*)满足如下存在性定理:
定理3当m 定理4当q>m且(α1+mb)gλ1>qbgλ1+cng+cn2时，平衡点E3存在. 定理3证明对于平衡点E2，由系统(1)可得 易得 若m 定理4证明对于平衡点E3，由系统(1)可得 化简可得 若q>m，(α1+mb)gλ1>qbgλ1+cng+cn2，则S3>0，X3>0，Y3>0，平衡点E3存在.证毕. 定理5证明对于平衡点E*，由系统(1)可得 化简可得 (3) (1)零平衡点E0的稳定性.通过在E0点的Jacobi矩阵可得迹和行列式分别为 tr(E0)=q-2m-2n-g-μ,det(E0)=-n(q-m)(μ+m)(g+n). 若q (2)边界平衡点E1的稳定性.通过在E1点的Jacobi矩阵可得特征值为 λ11=q-m=0,λ12=γ-(μ+m),λ13=-(g+n),λ14=-n, 于是边界平衡点E1是非双曲的. (3)边界平衡点E2的稳定性.通过在E2点的Jacobi矩阵可得特征值为 于是边界平衡点E2也是非双曲的. (4)边界平衡点E3的稳定性.通过在E3点的Jacobi矩阵可得迹和行列式分别为 其中 引理1[12]若det(E3)<0，则E3为鞍点；若tr(E3)>0,det(E3)>0，则E3不稳定；若tr(E3)=0,det(E3)>0,则E3是中心；若tr(E3)<0,det(E3)>0，则E3局部渐进稳定. (5)正平衡点E*的稳定性.通过在E*点的Jacobi矩阵可得迹和行列式分别为 其中S*,I*,X*,Y*为方程组(3)的解. 引理2[12]若det(E*)<0，则E*为鞍点；若tr(E*)>0,det(E*)>0，则E*不稳定；若tr(E*)=0,det(E*)>0，则E*是中心；若tr(E*)<0,det(E*)>0，则E*局部渐进稳定. 取 定理6当q 证明边界平衡点E3=(S3,0,X3,Y3)的Lyapunov函数为 W=W1+W2+W3+W4. 其中： 取 证毕. 定理7当q 证明正平衡点E*=(S*,I*,X*,Y*)的Lyapunov函数为 V=V1+V2+V3+V4. 其中：
4 平衡点的稳定性
4.1 平衡点的局部稳定性
4.2 平衡点的全局稳定性
