论创新意识培养的有效途径

董金华

[摘  要] 创新是时代发展的标志，是时代进步的必然趋势，创新是人类共同关注的热门话题，而创新能力的培养不是一蹴而就的，需要在教学过程中不断渗透. 作为基础学科之一的数学，自然担负着培养学生创新能力的重任. 因此，在数学概念、定理、例题等教学过程中，要重视对学生已有知识的拓展，为学生的创新思维插上飞翔的翅膀.

[关键词] 创新;教学过程;拓展

在教学中，若仅仅依赖于模仿和记忆，不仅效率低下，而且因为形式单一，使得课堂枯燥乏味. 因此为促进课堂内容丰富化、教学生动化，满足学生多样化学习的需求，教师需要改变传统的以“教师讲授为主”的授课模式，让动手实践、自主探究和合作交流等多种教学模式走进课堂，以使学生养成自主学习、独立思考的好习惯. 自主学习后，学生会涌现出许多新想法、新思路，为创新意识和创新能力的培养奠定了基础. 当然，学生创新意识和创新能力的养成需要长期的积累，需要教师的引导和激发. 笔者结合教学案例，浅析在高中数学教学中培养学生创新意识的几个有效途径，以期共鉴.

[?]拓展例题，让创新意识扎根

创新意识的培养不是靠几道新颖别致的题目就可以养成，也不是“从无到有”才叫创新，其实创新源于学习中的日积月累，只有达到量的积累才会有质的飞跃，因此，在教学中，要在扎实的基础上逐渐培养创新意识. 数学例题作为典型试题，是经过专家的精挑细选，仔细推敲的，具有代表性和典型性，因此在培养学生创新思维时，要重视例题的拓展. 教师常采用将例题进行变式处理，通过多角度思考和多方位练习来培养学生思维的多样性和创新性.

例1：已知A（-3，-4），B（6，3）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，求a的值.

题目分析：要解此题，只要根据已知条件，分别求出A点到直线l和B点到直线l的距离，解方程即可求解. 由=，解得a=-，或a=-.

变式1：求过点P（0，-1），且与A（-3，-4），B（6，3）距离相等的直线m的方程.

变式2：设点A（2，1），B（-1，5）到直线m的距离均为，则这样的直线m有多少条？若距离为2时又有几条呢？

变式3：设点A（2，1）到直线l的距离等于1，点B（-1，5）到直线l的距离等于5，这样的直线l有几条呢？

通过学生熟悉的例题进行变式拓展，让学生意犹未尽，探究的热情被激发了，对知识点的理解更加深入了，从而完善了学生的认知.

[?]拓展已有认知，让创新意识抽枝、长叶

当学生利用已学知识解决最近发展区问题后，可以尝试进入下一个发展区，以拓展学生的思维，这也是有效培养学生创新意识，让创新意识抽枝、长叶的途径.

例2：如图1，A，A，B，B分别为椭圆+=1（a>b>0）的四个顶点. 将线段AA称为椭圆的长轴，BB称为椭圆的短轴，是否合理呢？请说下你的理由.

分析：题目源于学生熟悉的知识，但要说明其合理性，学生有些束手无策.

师：因为A，A，B，B分别为椭圆的四个顶点，即四点为椭圆与对称轴的四个交点，也就是说线段AA和BB必然过椭圆的中心，若可以证明AA为过椭圆中心的弦的长度的最大，BB为过椭圆中心的弦的长度的最小，是不是就可以解释了呢？（教师看学生有些无从下手，给出必要提示）

生1：可以從函数的观点出发，设ST是过椭圆中心的一条弦，设点S（x，y），则T（-x，-y），ST=2=2=2（-a≤x≤a）.

显然，当x=0时，ST最短，最小值为2b;当x=±a时，ST最长，最大值为2a.

师：很好，这样就很好地解释了原命题的合理性.

师：过椭圆的四个顶点A，A，B，B作x轴和y轴的平行线，从而形成矩形MNPQ. 该矩形MNPQ为椭圆的外切矩形，该矩形的面积为4ab. 现椭圆保持不变，改变椭圆外切矩形的位置（如图2），其外切矩形的面积是否发生变化呢？

教师留给学生足够的时间进行思考，以期学生可以充分利用已有认知进行自主建构.

生2：MN和QP，NP和MQ为两组平行直线，设直线MN的方程为y=kx+m，则直线QP的方程为y=kx-m;设直线MQ的方程为y=-x-n，则直线NP的方程为y= -x+n. 将直线MN的方程与椭圆方程联立，并根据Δ=0，得m2=b2+a2k2. 将直线QP的方程与椭圆方程联立，其结果相同. 同理，将直线NP和MQ的方程与椭圆方程联立后，得n2=b2+. 由此可得椭圆的外切矩形的面积为：

S=·===.

令t=

k+，则t2≥4，S=4·=4=4，也即4ab≤S≤2（a2+b2）.

师：很好，解题思路清晰，运算也很精彩. 根据生2的推理得出椭圆面积的取值范围为[4ab，2（a2+b2）].

由对椭圆长轴和短轴合理性的探究，变为关于椭圆外切矩形的问题，让学生知晓椭圆的外切矩形的边若与x轴和y轴分别平行，则其面积为4ab;若位置变化，则其外切矩形面积也随之发生变化. 本题关于直线对称性的利用、方程的代入和求解等知识都是已有的学习经验，但通过拓展和利用，达到了锦上添花的效果，不仅对学生解题能力是一种锻炼，对思维也是一种锻炼.

[?]拓展数学模型，让创新意识开花、结果

数学问题的研究往往需要很多思维活动，例如：分析、推理、比较等，通过探究和挖掘问题的本质从而找到解决问题的方法，化特殊为一般，化复杂为简单. 而在这一思维过程中，数学模型发挥着巨大的作用，因其可以将实际问题中蕴含的数学知识提取出来，通过分析和整理，运用数学知识去解决实际的问题，成为连接现实世界和数学世界的纽带，因此，要培养学生的创新能力，离不开数学建模意识的培养和拓展.

例3：假设X，Y是两个相互影响的种群，设X种群随时间变化的数量为{a}，Y种群随时间变化的数量为{b}，其满足关系式

师：对于变换次数少的情况，可以避免计算特征值和特征向量而直接计算，不失为一个好的办法，生1面对复杂的计算也显得游刃有余，精神可嘉. 但是若变换次数多，计算量会变大，该方法从效率上来讲是不太完美的，优势也就减弱了.

若抛开本题的两个种族相互制约的影响，单纯从线性关系数列的角度去考虑，如何将矩阵变换转变为数列的通项问题呢？为了让学生进一步完善该认知，教师又给出了一道相似的问题.

师：设数列{a}和{b}满足a=1，b=0，且

问题给出后，学生经过交流讨论给出了两个解题思路：①首先得出a=14a-a-6，接下来利用特征根的方法求数列{a}的通项;②按照刚刚例题的思路进行模仿，得出这个关系式

-4，但是进行到这一步后就不知道该如何下手了，右侧的列向量显然已经成了干扰. 教师没有直接给出计算过程，而是提出问题“满足条件a=pa+q（p≠0，q≠0）的这个数列通项，是如何得出的？”学生回忆之前的方法是将常数q分解到a和a中，将其转化为等比数列再求解.

在教师的提示下，学生借鉴上面的处理方法，验算后得出

由二项式展开得（2+）n+（2-）n=c·3k·2n-2k为整数，这是个完全平方数.

在本题的证明中，既应用了上面例题的解题思路，又引入了对a=pa+q（p≠0，q≠0）这个数列通项的思考，充分地利用了已有的数学模型进行拓展. 教学中，教师对学生的思路给予了积极肯定的评价，在思维受阻时用问题引导学生利用已有数学模型进行解题，这样的积极评价和引导既有利于弘扬学生张扬的个性，又有利于学生创新思维的培养.

总之，民族进步和国家的发展都离不开创新，要创新就需要创新人才的培养，创新人才的培养需要渗透创新教育，而创新教育应源于教学活动，因此，在教学中，教师要不失时机地进行引导，通过变式问题、模型拓展等教学手段发展学生的创新意识. 创新教育不是针对个别学优生的，要重视全体的共同提高，因此，在教学中，教师要从本班的学情出发，采用分层次的问题，引导学生逐渐提升，做到“因材施教”.