高中生发散性思维的培养路径

崔晓红

[摘  要] 文章探讨了发散性思维的含义与特征，并在此基础上指出发散性思维的培养路径主要有：一题多解，构筑“发散”通道;数形结合，确定“发散”频道;逆向思维，开辟“发散”跑道.

[关键词] 发散性思维;一题多解;数形结合;逆向思维;培养

随着不断深化的课程改革，现代化教育逐步将目标转移到创新型人才的培养上来了，并将核心放置在发散性思维之上. 由此，发展和加强学生的发散性思维已经成为课堂教学的一个重要目标. 但是在部分教学活动中，常常会因为受应试教育的影响，或过于强调知识技能的习得，导致了思维的封闭性、表面化. 可见，不恰当的教学方式不仅会抹灭学生思维本性中蕴含的灵活，还会使其本该拥有的发散变得封闭、灵活变得僵化. 故此，培养发散性思维的路径值得探索. 在学生学习高中数学的过程中加以培育既迎合了高中数学的发展趋势，也便于学生智力的开发，同时有助于提高其综合能力.

[?]发散性思维及其特征

思维就是人体大脑对于客观事物的规律和特征作出的间接性和概括性的一种反应过程，即在感知的驱动下进一步认识事物的过程. 思维可以理解为一种理性认知的活动，其可以推动智力的发展，也可以推动社会的发展. 何谓“发散性思维”，即思考者从不同的方向、角度出发分析、探索和设想，探求属于自己的解决方案，并使得问题圆满获解的一种思维方式. 其特征为：将学生的联想和想象发挥到极致，由一点向着四周辐射开去，并逐步冲破已有知识圈，在观念和知识的重组和整合中找寻到更多的设想和方法. 很多时候，我们在考查学习者是否具有创造性时，常常介入发散性思维的考查进行判断.

笔者认为学生发散性思维的孕育，可以在情感上予以启迪，也可以在问题思考过程中予以培育，亦可以在解决问题上予以培养，不管以上哪种方式都是在进行创造性活动的过程中发展起来的. 在这个过程中，学生的思维会经历联系、转化、想象、批判、扩展等过程，提升思维灵性，进而获得全面发展.

[?]发散性思维的培养路径

已有研究提出解决问题的过程是发展发散性思维的有效方式，那么日常教学中如何让其自然渗透呢？笔者认为可以从以下几方面探寻：

1. 一题多解，构筑“发散”通道

一题多解就是启发学生从不同角度，运用不同方法，分析和解决同一个问题的活动过程. 教师在教学中应积极构建平台，诱导学生进行一题多解的活动，为学生构筑“发散”的通道，使其养成良好的解题方法，最终使得创新思维得以发展.

例1：已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，且点P为它们的一个公共点，∠F1PF2=，则椭圆与双曲线离心率的倒数之和的最大值是________.

解法1（判别式法）：如图1，根据对称性设点P在第一象限，设椭圆长轴的長是2a，双曲线实轴的长是2a，且F，F分别为左焦点和右焦点，PF=m，PF=n，据椭圆与双曲线定义，可得m+n=2a，

m-n=2a.①

又因为∠FPF=，据余弦定理，可得4c2=m2+n2-mn②，离心率的倒数之和是+=+. 根据①式，得出m=a+a，所以+==. 根据②式，可得-·+-4=0，将其视为以为变量的一元二次方程，从而判别式Δ≥0，即

≥0，进一步解得≤. 取等号时，==，e=，e=，所以二者的离心率的倒数之和的最大值为.

解法2（配方法）：根据解法1，可得

+

====≤. 设m=2n时取得等号，所以+≤，所以最大值为.

解法3（数形结合法）：根据解法1中的①式，可得m=a+a，n=a-a，再代入②式，得出4c2=（a+a）2+（a-a）2-（a2-a），结合待求目标整理得出+=4. 令=x2，=y2，则上式可化简为x2+3y2=4. 令t=x+y，x>0，y>0，从而原题可以转化为“如图2，当直线t=x+y与椭圆x2+3y2=4有公共点时，求直线在y轴上截距的最大值”. 进一步可得，当t取得最大值时，直线与椭圆相切，由y=-x+t，

x2+3y2=4消去y并整理，得出4x2-6tx+3t2-4=0. 根据Δ=0，t>0，可得t=，所以本题的答案是.

解法4（三角换元法）：根据解法3，得出+=4. 令=2cosθ，=sinθ，θ∈

0，

，则+=2cosθ+sinθ=sin（θ+φ）≤，所以本题的答案是.

解法5（柯西不等式法）：根据解法3，可得+=4. 再由柯西不等式得出

，所以+≤=. 当且仅当1·=·，即=，=时等号成立，所以本题的答案是.

解法6（导数法）：令=λ·，λ>1，代入+=4，可得（3+λ2）·=4，所以=，则+=，则f′（λ）=. 由f′（λ）=0，可得λ=3. 当λ<3时，f′（λ）>0，f（λ）单调递增;当λ>3时，f′（λ）<0，f（λ）单调递减. 所以λ=3时，f（λ）取得最大值f（3）=，所以本题答案是.

设计意图：高质量的一题多解活动可以激发学生发现和创造的欲望，训练学生娴熟运用数学思想和方法，从而发展发散性思维. 本例中，教师以探究性问题精准激发思维的“生长点”，让学生广开思路，生成各种解法，完成内化认知结构的“思维之举”. 与此同时，在展示多种解法的过程中，进一步复习题目所涉及的数学思想，并让学生在对比区分解题策略的繁简优劣中体会到正确且快速完成解题才是高效解题的永恒追求，从而优化解题方法.

2. 数形结合，确定“发散”频道

数形结合是一种重要的数学思想，更是一种有效的解题方法，它具备数的严谨和形的直观两大优势，借助数与形二者之间的关系完善解题路径. 因此，教学过程中，教师应引领学生灵活而巧妙地构想，在数形结合中确定“发散”频道，进而快速而准确地求解问题，发展发散性思维.

例2：试求出函数f（x）=lnx+2x-6的零点个数.

略解1：易证f（x）=lnx+2x-6在定义域（0，+∞）上单调递增. 又因为f（1）·f（4）<0，所以函数f（x）=lnx+2x-6只有一个零点.

略解2：探求函数f（x）=lnx+2x-6的零点个数，就是求方程lnx+2x-6=0的解的个数，也就是求函数y=lnx与y=-2x+6图像的交点个数，通过作图易得只有一个.

设计意图：本例中，略解1是灵活运用代数法来解决问题，是常规的解题思路;略解2则巧妙运用几何法，利用函数图像的交点来解决，让发散思维“大展宏图”. 之后再通过数形结合与常规方法进行对比，让学生更加直观地感知到数形结合的快速与便捷，真正达到以几何之“石”攻代数之“玉”的效果，从而活化学生的思维，彰显学生的个性[1]. 同时，在解题中不断总结数学思想和方法，应用到其他问题的解集中去，成为解题的有力保障.

3. 逆向思維，开辟“发散”跑道

“逆向思维”就是对司空见惯的认识或观点进行反向思考的一种思维方式. 换句话来说，就是当思维受阻无法畅通时，不必再钻牛角尖，转换一个角度、改变一种方式、变换一个方向进行思考，就可以获得意想不到的效果，其本质特征就是“另辟蹊径”，它是一种灵活有效的思维方式，需要合理的想象力为基石[2]. 事实上，逆向思维与发散性思维是相互关联且无法分割的，因此，训练逆向思维，可以开辟“发散”跑道，打通思维通道，建立灵活多样的思维方式.

例3：已知函数f（x）=，若数列{a}满足a=4，a=f（a）. 证明：当n≥2时，恒有a<3成立.

证明（反证法）：假设a≥3（n≥2），根据已知可得a=f（a）=，所以当n≥2时，==·

=<1. 又易证a>0，所以当n≥2时，a2时，a

设计意图：教师要为学生设计逆向思维的机会，在解题中引导学生自觉、主动地运用逆向思维，让其经历长久的思维监控，以主动发展自身的逆向思维，从而推动发散性思维的前进. 本例中，学生自主探究，在思考中发现逆向思维的有效性，潜移默化地提升思维的发散性.

总之，高考是对学生能力的考查，而并非知识的复制，能力的培养并非一夕之功，需要教师一以贯之地加以训练. 发散性思维在数学学习中也并非完全独立的，它可以贯穿人才培养的全过程，渗透数学教学的每个环节，并与其他思维叠合培养. 但无论怎样，探寻一题多解、数形结合与逆向思维应是发散性思维能力提升的必然路径.

参考文献：

[1]  沈凌云. 初中数学教学中数形结合思想的培养[J]. 数学教学通讯，2014（31）.

[2]  师天元. 试论中学数学中逆向思维方法的应用——以定义、定理、公式的逆用为例[J]. 兰州文理学院学报（自然科学版），2012（S4）.