结构化视角下专题复习课的教学主线设计

汪晓慧

[摘  要] 数学学习的主要内容应该是数学的结构. 让学生学会如何去思考，如何将新的思维、知识、方法等纳入认知结构，是数学教学的关键所在. 文章通过一节专题复习课的反思，谈谈在教学中如何有效地设计教学主线，提升学生学习的有效性，促进学生提升数学核心素养.

[关键词] 认知结构;主线设计;专题复习

数学学习，解题是其中非常重要也是极其关键的一种形式，“数学学习是数学认知结构的组织（同化）和重新组织（顺应）并形成新结构的过程，即是一个‘再创造’过程”[1]. 因此，在日常教学中，尤其是在专题复习的过程中，如何有效地提高学生分析、解决问题的能力就显得至关重要. 随着教学改革的推进，我们对教师教学、学生学习的研究越来越多，越来越明显地强调学生的学习. 但是在实际的教学中，背诵加模仿操练的模式还是随处可见，这样的情况产生的是碎片化学习. 教师的教学就题论题，学生的学习模仿操练，严重影响了教学效果的提升，加重了教学负担和学习压力.

数学是一门结构性很强的学科. 在教学中，对数学知识、思维、方法等结构的研究和思考还是比较缺乏的，而数学知识、思维、方法等结构又是数学学习的基础和关键. “数学知识不是孤立的单点或离散的片段，数学方法也不是个别无关的一招一式，它们血肉相连，组成一条一条的‘知识链’，并组合为知识体系，形成一定的知识结构.”[2]在教学中，尤其是在复习课的教学中，就题论题、就事论事的情况仍然常见，将数学复习理解为解题，并认为仅靠解题就能提升学生对概念的理解、定理的运用，这是非常危险的，对学生的数学学习造成的负面影响也是非常大的. 顾广林曾指出：“让学生学到结构化的知识，形成完整的认知结构，应是复习课的追求. ”[3]因此在教学中，教师要努力让学生形成结构化知识、结构化思维、结构化方法. 下面，笔者将以一节初三（九年级）二次函数背景下相似问题的专题复习课为例，谈谈专题复习课教学主线的设计.

本节课的主线设计

1. 教学主线的设计

本节课是一节初三（九年级）的专题复习课，知识点相对集中，需要学生对二次函数、相似三角形等知识的综合理解和运用，其中最关键的是相似三角形的判定、性质及应用.

首先，相似三角形的判定及性质涉及较多的数学定理，尤其是对定理条件的熟练应用是关键. 我们知道“相似”追根溯源是“全等”的一般化，因此对其本源性知识要有一个全面的理解，通过边角满足的条件进行分析.

其次，本节课是在二次函数背景下解决问题，所以有其特殊性，需要综合考虑二次函数的相关知识及二者（二次函数、相似三角形）在相应背景下产生的新问题.

第三，本节课主要考虑的是相似三角形的问题，所以需要从相似三角形条件的变换、要素的交替进行思考分析.

第四，问题分析过程中，确定性和不确定性是难点所在，对于问题中的不确定性因素，发现并分析其中的规律，找出解决办法.

在这样的分析过程中，可以引导学生真正理解相似相关知识的本质，理解其在二次函数背景下相关问题的特殊性.

2. 学情的综合分析

本节课需要考虑的是在二次函数的背景下相似三角形的判定问题，因此要求学生熟练掌握相似三角形的知识，尤其是其判定定理;需要学生根据已知条件对相似三角形的判定进行分类讨论，因此要求学生对于不确定情形下的问题能进行合理适当的分类讨论;需要考虑在综合的背景下对相似问题的解决，这对学生分析问题、解决问题、推理能力等方面都有较高的要求.

因此，在学生的学习过程中，本节课的重点是让学生能根据已知条件确定相似三角形的全定条件及相似三角形的对应关系;同时，有两个难点需要引起注意，一是对相似三角形对应关系的确定，二是对相似三角形问题中出现的不确定性问题的分类讨论.

3. 教学实施过程

问题的提出应该建立在问题发生、发展合力的基础上，同时在问题归纳推理的前提下. 本节课主要是提炼学生在学习过程中遇到的、显现出来的一系列问题背后的规律、模式化知识和方法，以更加有效地纳入学生的认知结构. 教学设计要关注学生的自主学习，要在学生学习过程中一些关键的地方进行指导、提炼，引导学生顺利完成学习活动. 具体的实施过程如下：

（1）引入问题.

分析前一天回家作业的第一题，重点是第三小问的解决思路. （引例）如图1所示，已知抛物线y=ax2-2x+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），B（9，10），AC∥x轴.

①求这条抛物线的解析式;

②求tan∠ABC的值;

③若点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上的一点，当△CDE与△ABC相似时，求点E的坐标.

设计意图  通过对前一天布置的回家作业的第一题的第三小问的分析解答，引出本节课主要解决的问题，同时通过分析，明晰这类问题常规的解决思路.

（2）学习新课.

问题1：如引例，其他条件不变，第三小问分别改为以下情形.

情形1：如图2所示，点M是抛物线对称轴上的一点，△CDM与△ABC相似，求点M的坐标.

情形1与引例基本类似，属于“两个三角形中一个全定、一个待定，并且有一个角对应相等”的模型，因此本题由学生自主解答，强化引例的思路和方法的运用.

情形2：如图3所示，点M是y轴上的一点，点N是直线AC上的一点，△ACM与△ABN相似，求点M的坐标.

情形2与之前的情形有所区别，属于“两个三角形都不确定，但各有一个固定角”的模型，通过互推确定这两个三角形，进而解决问题. 本情形中隐含了分类讨论思想，在教学中要关注学生分类讨论意识的形成，这也是本节课的“暗线”所在.

情形3：如图4所示，点M是抛物线对称轴上的一点，点N是直线AC上的一点，△ACM与△ABN相似，求点M的坐標.

情形3属于“两个三角形都不确定，但其中一个定角，一个定形状”的模型，可通过相似关系解决. 本情形仍然考查学生由问题的不确定性而引起的分类讨论思想.

设计意图  对于这样三个情形的设计，引导学生有目的、有方向、有逻辑地分析、思考问题，而不是试运气. 在对这几个问题的综合分析、梳理下，引导学生形成二次函数背景下相似问题的基本分析套路，能有方法解决问题;清楚学生分析问题的思路，明确学生解决问题的方向，优化学生应用模式的途径.

问题2：由“课前练习2”引入问题. （课前练习2）如图5所示，已知抛物线经过点A（0，3），B（4，1），C（3，0）.

①求该抛物线的解析式;

②连接AC，BC，AB，求∠BAC的正切值;

③点P是该抛物线上的一点，且在第一象限内，过点P作PG⊥AP交y轴于点G，当点G在点A的上方，且△APG与△ABC相似时，求点P的坐标.

本题表面上看似一个三角形全定、一个三角形待定，与前面的第一种情形相同，但实际上按照前面的方法并不好解决此题，此时需要综合学生的知识技能，通过转化解决问题.

设计意图  在学生形成了一定解决思路和模式的情况下，回到“一个三角形全定、一个三角形待定”的情形却与之前的解决方法不一样，突破学生的固化思维，让学生在模式化学习中能自由运用.

4. 归纳反馈

通过课堂归纳、课后巩固等环节，提炼、优化本节课的教学主线，明了提出问题、分析问题、解决问题的认识主线，进一步提升本节课的教学效果.

教学主线的设计建议

章建跃博士认为，课堂教学主线是教师在“理解数学”“理解教學”“理解学生”的基础上形成的课堂结构和教学线索，其基本表现形式是反映当前数学知识本质、具有逻辑关联性、循序渐进、逐步深入的“问题串”. 同时强调，教学主线一定要反映学生的认知规律[4]. 所以在教学中，设计有效的“问题串”是整节课成败的关键因素，而“‘问题串’是教学进程的链条，‘问题串’要突出所授内容的结构”. 实际上，好问题的创设应成为教师教学设计的基本追求之一.

（1）要有好问题. 根据章建跃博士的意见，一节好课应该有“一串”好问题. 这些问题应该是在“理解数学”“理解教学”“理解学生”的基础上形成的有助于学生完善知识结构、提升思维结构、优化方法结构的一连串问题. 一节课的问题不在于多少，而在于问题的质量、问题的广度和深度，以及提出问题的契机、方式和形式，还有学生解决问题的自觉性、独立性和积极性.

（2）整体符合规律. 章建跃博士特别强调，教学主线一定要反映学生的认知规律. 我们的教学主线不但要符合学生的认知规律，还要切合教学实际，符合学生的成长规律和身心发展规律，符合学生认知结构形成、完善的规律，要有利于学生将新的知识、方法、思想纳入认知结构，完善新的结构，而不是对一些所谓的方法、技能、技巧死记硬背. 毕竟在数学学习的过程中，尤其是随着年龄的增加，知识难度逐渐加大，真正需要去记忆的东西会越来越少，更多的数学问题都可以通过对数学概念的理解并结合主观能动性进行推理解答.

（3）利于结构完善. 李昌官博士认为，数学是结构性很强的学科，数学教学应坚持结构性原则[5]. 现在的教学中存在着一个非常普遍的现象，即教知识、不教结构，所以导致学生获得的是零散的知识，未能将知识组织、联系在一起，这就是为何会有很多知识丰富、能力低下的现象. 因此，如何在教学中强化知识之间的联系，帮助学生形成、发展、完善知识结构、思维结构、方法结构，应该成为教师最关键或最重要的任务之一.

书本上的知识是静态的，教师实施教学，非常关键的一点就是要让这种静态的知识动起来，让动态的知识成为学生完善认知结构的催化剂. 我们要意识到并始终牢记：知识的作用主要不是知识量的作用，而是知识的有效结构的作用[6]. 尤其是在复习课中，就题论题，大搞题海战术无益于学生的成长，只有将课上所讲的内容有机地串接起来，形成有效的结构，才能最大限度地提升学生的学习效率.

参考文献：

[1]黄伟. 中小学数学知识结构探究[J]. 重庆教育学院学报，2005（06）.

[2]俞健，苏拥英. 知识结构对解题过程影响的一些尝试[J].数学学习与研究，2015（01）.

[3]顾广林. 用“结构化”引领复习课教学——直角三角形复习课的教学实录与反思[J]. 中学数学月刊，2017（12）.

[4]章建跃. 章建跃数学教育随想录[M]. 浙江：浙江教育出版社，2017.

[5]李昌官. 论数学教学的结构性原则[J]. 中小学数学（高中版），2017（10）.

[6]易广聪. 重视知识结构的形成  提高学生的数学素质[J]. 现代教育论丛，1998（04）.

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