题型拓展，在思维的激活下前行

林彩华

[摘  要] 文章结合与圆有关的辅助线的作法，总结、研究与圆有关的解题策略，并开展相应的实践研究. 文章主要通过题型归纳、题型整合、题型交流三大模块的内容进行“圆”这一单元的复习，并总结出了圆的辅助线的几种作法.

[關键词] 初中数学;圆;复习课;辅助线;解题策略

与圆有关的辅助线作法归纳是“圆”这一单元的重点和难点. 有的学生对圆的知识点一知半解，导致在具体的解题过程中出现各种障碍和困惑. 在“圆”这一单元的复习教学中，笔者先通过题组让学生对本单元的知识点有系统的认识，再结合具体的例题示范，开展相关的思维拓展，引导学生形成开放的思维模式，在实践中总结多种辅助线的作法. 下面是笔者结合圆的解题策略，引导学生添加辅助线的实践研究.

归纳圆的解题策略

1. 题型归纳——遇弦作弦心距或连半径

与圆有关的试题属于几何题，要想解决几何题，重在对题型的归纳. 教师进行题型归纳教学时，应实施趣味教学. 为了激发学生的学习兴趣，引导学生深度学习，笔者从课堂设置问题入手，引导学生对所学知识进行回顾. 值得注意的是，学生独立思考时容易出现一些障碍和困惑，尤其是碰到需要作辅助线的试题，此时，作为教师，要引导学生善于提问，鼓励学生积极质疑，这是引导学生独立思考的开始. 进行圆的题型归纳时，笔者采用的是问题导入结合题型归纳的方式，让学生自主探索、思考，最终，学生总结出了一种解题策略：遇弦作弦心距或连半径.

例1 （1）如图1，☉O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（    ）

A. 5      B. 7    C. 9    D. 11

（2）如图2，☉O是△ABC的外接圆，∠B=60°，☉O的半径为4，则AC的长等于（    ）

A. 4        B. 6

C. 2         D. 8

（3）如图3，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC. 若∠CAB=22.5°，CD=8 cm，则☉O的半径为______cm.

（4）如图4，一把宽为2 cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘的两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是______cm.

从上述几道题中我们发现，只要作弦心距和连半径就可以构造直角三角形，于是求解边的长度问题就迎刃而解了. 上述试题不仅能让学生体会到辅助线在解题中的重要性，而且能让学生在今后的解题中通过题目条件，利用相应的知识点添加辅助线，从而快速解决问题. 上面几道题考查的知识点和考查方式，学生要引起重视. 碰到只有添加辅助线才能解决的试题，很多学生会无从下手，或者有的学生所添的辅助线过于随意，没有科学根据，导致辅助线多此一举，因此，在近几年的中考中，涉及与圆有关的辅助线问题，学生失分较多. 针对这一现象，笔者认为，在教学中，教师可以通过题组、变式的方式，让学生熟记基本模型，找到添加合适辅助线的方法，从而形成解题策略.

2. 题型整合——遇直径添直径所对的圆周角

在定理和性质的复习中，教师需要通过不同层次的试题呈现以及同一试题不同的呈现方式，让学生感受定理和性质的应用. 教学时，教师要积极引导学生通过题型的整合，掌握添加辅助线的方法，为解题起到画龙点睛的作用. 而添加辅助线的法宝是：积累一定的解题经验，通过不同题型的整合，熟悉所学的知识点.

例2 （1）如图5，☉O是△ABC的外接圆，∠B=60°，AC=8，则☉O的直径AD的长为（    ）

A. 16               B. 4

C.      D.

（2）如图6，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的☉O交AB于点D，交BC于点E.

①求证：BE=CE;

②若∠B=70°，求的度数;

③若BD=2，BE=3，求AC的长.

讲解例题时，教师可以让学生先审题，然后根据知识点的提示作适当的辅助线，引导学生边解题边回顾所学的知识. 这种方式有助于学生形成良好的学习习惯. 要解决上面两道题，不添加辅助线是不行的，而补全直径所对的圆周角，是解题的关键. 对于第（1）题，大部分学生会通过连接DC构造直角三角形，然后利用圆周角定理和推论解决;对于第（2）题，需要连接的辅助线比较多（如图7），但也是常见的连半径和补全直径所对的圆周角，然后利用方程思想来解题. 讲评例题时，教师要让学生明白，辅助线可以有多条，且作出相应的辅助线能为解题奠定基础.

通过题型整合，师生共同总结出了解几何题的一般步骤：第一步，标注条件，即通过读题将条件标出序号;第二步，标注图形，即把已知条件标在图形中，以便找到相关的知识点;第三步，分析所求的问题与条件之间的联系，即明确要解决问题，只需要求什么;第四步，根据需要适当添加辅助线;第五步，从条件入手解决问题.

几何题型的步骤总结，能让几何题的解题步骤程序化. 学生做题时，虽然按照步骤不一定能走到最后，但至少可以通过解题步骤，找到部分解题策略，降低空白答题的概率.

3. 题型交流——遇切线连接圆心和切点

在近年来的教学改革实践中，改革的浪潮可谓一浪高过一浪. 在改革中，课程改革的核心在于全面提升学生的学科核心素养. 在教学中，教师要积极引导学生除了总结解题思路而外，还要积极开展题型交流，让学生从传统的被动学习转换为主动学习，并通过主动学习、小组讨论、经验交流等方式，形成学习的积极性和能动性. 在圆的复习课教学中，学生通过合作交流，总结出了这种作辅助线的方法：遇切线连接圆心和切点. 这类题在近年的中考中有所涉及.

例3 （1）如图8，AB切☉O于点B，OA=2，∠BAO=60°，弦BC∥OA，则的长为______（结果保留π）.

（2）如图9，△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，BA的延长线交☉O的切线PC于点P，OF∥BC，交AC于点E，交PC于点F，连接AF.

①求证：AF是☉O的切线;

②若☉O的半径为5，AF=4，求线段AC的长.

积极引导学生在解题过程中开展合作交流，研究解题策略，不仅能让学生巩固所学知识，还能开阔学生的思维. 学生通过交流讨论，不难想到第（1）题可通过连接半径OB，OC，利用切线的性质得到Rt△BOA，再利用一边一角求半径和弧所对的圆心角，从而求出弧长. 对于第（2）题的第①问，要证明AF是☉O的切线，只需要证AF⊥AB. 解题时，教师要引导学生用多种方法证垂直，培养学生的解题思维，另外，教师要给予学生展示的机会，要适时肯定学生的解题方法，给予及时的鼓励，并让学生在分享中得到快乐和自信，让更多的学生参与到思维碰撞的过程中，体验数学解题的乐趣.

对圆的解题策略研究的几点反思

1. 活化教学内容，使之成为夯实基础的“基本点”

传统的复习课堂难以调动学生的积极性和能动性，主要原因在于，传统的复习课堂难免呆板和生硬，学生的复习兴趣和积极性不高，导致复习课堂的教学成效低. 在当前培育核心素养的教学背景之下，我们应力求活化教学内容，使之成为夯实基础的“基本点”. 教学时，在夯实基础知识的基础上，教师可通过例题示范、学生交流、题型归纳总结，培养学生的解题思维能力. “圆”这一单元的知识有一定的深度，有的学生在具体解题中容易忘记之前所学的知识点，所以复习课可以采用边解题边温习基础知识的方式，这样有助于学生夯实基础. 笔者发现，在教学中，有的学生喜欢挑战难题，甚至碰到难度较大的试题都能正确解答，但遇到基础性的试题稍微变换一下反而犯难了，这就是学生容易出现的一种典型现象——眼高手低. 要解决这个问题，需要学生掌握扎实的基础知识，及时检查，发现问题. 因此，在单元复习中，教师要针对相应单元的知识点，通过不同的形式和题目的变形让学生真正掌握基础知识.

2. 活化教学方法，使之成为学生发展的“生长点”

我们时常说过程比结果更重要，而贯穿整个过程的方法更是灵魂所在. 在日常教学中，教师要积极活化教学方法，使之成为学生发展的“生长点”，要在不断激发学生学习兴趣和提升学生学习素养的基础上，力求全面提升学生的学习品质. 在圆的解题策略教学中，教师要积极引导学生开展交流和探讨，真正活化教学方法. 教师可以在平时的教学中，让学生每天轮流讲题. 在学生讲题这件事的整个过程中，学生通过分析题意，掌握了相关的基础知识，通过明晰解题思路，开阔了思维，掌握了相应的解题策略.

3. 活化教学时机，使之成为学生发展的“醒悟点”

学习是一个顿悟的过程，教师要付诸行动和耐心，才能让学生在渐行渐悟中形成对复习内容的深度认识和理解. 在数学复习课堂上，教师要不断活化教学时机，积极为学生寻找合适的学习时机，引导学生在学习过程中不断领悟. 教师要让学生学会总结知识点、归纳解题方法的方式，从而培养学生的思维. 此外，教师还可以适当给出一些与生活实际相关的例题，让学生意识到数学知识与我们的实际生活息息相关，这能让他们真正体会到数学源于生活又应用于生活.

总而言之，师者，所以传道、授业、解惑也. 作为教师，在带领学生解析知识点的时候，要積极引导学生在具体的解题过程中总结试题类型，归纳相同类型试题的解决策略. 对于容易出错的知识点，学生要及时反思. 有的学生在学习的过程中会自行收集错题，制成错题集，这样的话，复习时可通过错题集的查询和总结，实现知识的回顾与解题提醒. 与此同时，笔者深深体会到，作为一名初中数学教师，要不断地总结、探索新的复习模式，向学生呈现更加精彩、丰富、高效的课堂，以真正让每一个学生都能高效地参与到数学学习中.

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