一类新混合−似变分不等式解的存在性和唯一性

李 舜，谢祥俊

（1.成都工业学院，四川 成都 611730；2.西南石油大学理学院，四川 成都 610500）

许多学者[1− 4]之前研究过变分不等式解的存在、唯一性问题。本文在文献[5 − 7]的基础上，引入τ−η−g−余强制与ξ −η−g−松弛Lipschitz 连续概念，利用不动点技巧，研究了一类新混合−似变分不等式，证明了这类不等式解的存在、唯一性，此结果推广和发展了近期这方面的一些研究成果[5−7]。

1 预备知识

设X是自反Banach 空间，X•为其共轭空间，‖·‖表示X中的范数，〈·,·〉表示X•与X的配对，K⊂X为非空闭凸子集，映射T，A：K→X•，g:K→K，η:K×K→X，b:K×K→R=R∪{+∞}且满足：

（a）b(·,·)关于第一变元是线性的；

（b）b(·,·)关于第二变元是凸下半连续的；

（c）存在常数γ ＞0，使得b(x,y)≤γ‖x‖·‖y‖；

（d）b(x,y)−b(x,z)≤b(x,y−z),∀x,y,z∈K；

f:X×X→R且满足：存在常数α ＞0,β ＞0，使∀x,y∈X有

显然α ≤β。本文讨论如下混合−似变分不等式问题：对给定的ϖ ∈X•，求∈K,使

当g=I（恒等映射）,f=0，问题（3）变为文献[5]讨论过的问题；当ϖ=−ϖ1,g=I，f=0,b(x,y)=q(y)，这里q:，问题（3）变为文献[6]讨论过的问题；当T=0,ϖ=0,g=I，问题（3）变为文献[7]讨论过的问题，这里所讨论的问题是一个比前面讨论的问题更广泛的问题。

设T：K→X•，g:K→K，η:K×K→X为3 个映射。

定义：1）称T是τ−η−g−余强制的，若存在常数τ ＞0，使：

特别地，若g=I，则概念回到文献[5]中的τ−η余强制概念。

2）称T是ξ −η−g−松弛Lipschitz连续的，若存在常数ξ ＞0，使：

特别地，若g=I时，则概念回到文献[5]中的ξ −η−松弛Lipschitz连续。

2 主要结论

定理：设K⊂X为非空闭凸子集。映射T，A：K→X•，g:K→K，η:K×K→X，b:K×K→:K×K→且满足：如果

1）T关于η是 τ−η−g−余强制的，T是c−扩张映象，A是ξ −η−g−松弛Lipschitz连续的，并且T，A都是弱拓扑到强拓扑的连续映射。

2）η(x,y)=−η(y,x),∀x,y∈K, η是δ−Lipschitz 连续（见文献[8]定义2.1），A-T和η关于ϖ ∈X•有 0−g对角凹关系（见文献[8]定义2.3），且对固定的是从弱拓扑到强拓扑的连续映射。

3）b(·,·)满足（a）～(d),f(·,·)是双连续、双线性函数，且满足式(1)、式（2）。

4）g是线性、l−Lipschitz连 续映射；并且γ·l2＜τ·c2+α−ξ·l2则问题（3）存在唯一解。

证明任意固定∈K，定义函数φ:K×K→∀x,y∈K，

因g是连续映射，对固定的是从弱拓扑到强拓扑的连续映射，从而对固定的是从弱拓扑到强拓扑的连续映射，加之T，A都是连续映射，故由文献[9]可知对固定的是连续的；b(·,·)满足（c）、(d),易得

即b(·,·)关于第二变元连续，再加上g连续，所以关于x∈K连续；f(·,·)关于两变元连续。这样对固定的y∈K,ϕ(y,x)在K上是连续的，即文献[8]引理2.1 的条件（i）满足。

同样在式（7）中令y=x2，在式（8）中令y=x1，而后再相加得：